2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第2課時 函數(shù)的表示方法學案 新人教B版必修第一冊

《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第2課時 函數(shù)的表示方法學案 新人教B版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第2課時 函數(shù)的表示方法學案 新人教B版必修第一冊（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2課時　函數(shù)的表示方法 (教師獨具內容) 課程標準：1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖像的作用.2.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用． 教學重點：函數(shù)的三種表示方法；分段函數(shù)的圖像及應用． 教學難點：根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù). 【情境導學】(教師獨具內容) 我們已經知道圓的面積A與半徑r之間的關系A＝πr2是函數(shù)關系，銀行里常用的“利息表”和我國人口出生率的變化曲線也是函數(shù)關系等等，既然都是函數(shù)關系，它們的表示各有什么特征？對你解決問題有哪些益處？學了本節(jié)知識，你一定有很深的體會． 【知

2、識導學】 知識點一　函數(shù)的表示方法 (1)解析法 用代數(shù)式(或解析式)來表示函數(shù)的方法稱為解析法． (2)列表法 用列表的形式給出函數(shù)的對應關系，這種表示函數(shù)的方法稱為列表法． (3)圖像法 一般地，將函數(shù)y＝f(x)，x∈A中的自變量x和對應的函數(shù)值y，分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點(x，y)組成的集合F稱為函數(shù)的圖像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}． 這就是說，如果F是函數(shù)y＝f(x)的圖像，則圖像上任意一點的坐標(x，y)都滿足函數(shù)關系y＝f(x)；反之，滿足函數(shù)關系y＝f(x)的點(x，y)都在函數(shù)圖像F上． 用函數(shù)的圖像表示函

3、數(shù)的方法稱為圖像法． 知識點二 分段函數(shù) 如果一個函數(shù)，在其定義域內，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應方式，則稱其為分段函數(shù)． 知識點三 常數(shù)函數(shù) 值域只有一個元素的函數(shù)，這類函數(shù)通常稱為常數(shù)函數(shù)． 【新知拓展】 1．對函數(shù)的三種表示法的說明 (1)列表法：采用列表法的前提是定義域內自變量的個數(shù)較少，當自變量的個數(shù)較多時，使用不方便． (2)圖像法：圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是離散的點． (3)解析法：利用解析式表示函數(shù)的前提是變量間的對應關系明確，且利用解析法表示函數(shù)時要注意注明其定義域． 2．關于分段函數(shù) (1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)． (2

4、)研究分段函數(shù)的性質時，應根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是在作分段函數(shù)的圖像時，可將各段的圖像分別畫出來，從而得到整個函數(shù)的圖像． (3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，其值域是各段值域的并集，寫定義域時，區(qū)間端點應不重不漏． (4)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，關鍵是看自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式求解． 3．關于函數(shù)的實際應用問題，在確定出函數(shù)的解析式后，不僅要注意解析式本身對自變量的限制，還要注意自變量的實際意義． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任何一個函數(shù)都可以用解析法表示．(　　) (2)函數(shù)的圖像一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．(　　

5、) (3)分段函數(shù)分幾段，其圖像就有相應的幾段．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．做一做 (1)已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)等于(　　) x 1≤x<2 2 2

6、式為________． 答案　(1)C　(2)[－1,2)　(－1,1]　(3)4　(4)f(x)＝x＋ 題型一 函數(shù)的三種表示方法 例1　某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x(臺)與收款總額y(元)之間的函數(shù)關系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來． [解]　(1)列表法： (2)圖像法： (3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}． 金版點睛 函數(shù)的表示方法 (1)解析法有兩個優(yōu)點：一是簡明、全面地概括了變量間的關系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數(shù)值．中學階段所研究的主要是能夠用解析式表示的函數(shù)．

7、 (2)圖像法的優(yōu)點是能直觀形象地表示出隨自變量的變化，相應的函數(shù)值的變化趨勢，有利于我們通過圖像來研究函數(shù)的某些性質．圖像法在生產和生活中有許多應用，如企業(yè)生產圖、股市走勢圖等． (3)列表法的優(yōu)點是不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數(shù)值，表格法在實際生產和生活中也有廣泛應用，如銀行利率表、列車時刻表等． 　某問答游戲的規(guī)則是：共5道選擇題，基礎分為50分，每答錯一道題扣10分，答對不扣分，試分別用列表法、圖像法、解析法表示一個參與者的得分y與答錯題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關系． 解　(1)該函數(shù)關系用列表法表示為： x/道 0

8、 1 2 3 4 5 y/分 50 40 30 20 10 0 (2)該函數(shù)關系用圖像法表示，如圖． (3)該函數(shù)關系用解析法表示為y＝50－10x(x∈{0,1,2,3,4,5}). 題型二 作函數(shù)的圖像 例2　作出下列各函數(shù)的圖像： (1)y＝1－x，x∈Z； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [解]　(1)列表： x … －2 －1 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 －1 －2 … 描點可得這個函數(shù)的圖像由一些點組成，這些點都在直線y＝1－x上， ∵x∈Z，∴y∈Z，這些點稱為整

9、點，如圖(1)所示． (2)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 描點、連線可得這個函數(shù)的圖像是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分，如圖(2)所示． 金版點睛 作函數(shù)圖像應注意的問題 (1)作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點、連線．作圖像時一般應先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內化簡函數(shù)解析式，最后列表畫出圖像． (2)函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點，畫圖時要注意關鍵點，如圖像與坐標軸的交點、區(qū)間端點，二次函數(shù)的頂點等等，還要分清這些關鍵點是實心點還是空心點． 　畫出下列函數(shù)的圖像：

10、 (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)． 解　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一條射線，圖像如圖(1)． (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，(x>1或x<－1)是拋物線y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之間的部分后剩余的曲線，如圖(2)． 題型三 函數(shù)解析式的求法 例3　(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式． [解]　(1)設f(x)＝kx＋b(k≠0)， 則f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴解得k＝3，b＝1或

11、k＝－3，b＝－2. ∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)解法一(配湊法)： ∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法二(換元法)： 令＋1＝t(t≥1)，則x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)． ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 金版點睛 求函數(shù)解析式的五種常用方法 (1)待定系數(shù)法：已知函數(shù)f(x)的函數(shù)類型，求f(x)的解析式時，根據(jù)類型設出其解析式，確定其系數(shù)即可． (2)換元法：即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一個含t的解析式，即為函數(shù)解析

12、式，注意：換元后新元的范圍． (3)配湊法：已知f[g(x)]的解析式，要求f(x)時，可從f[g(x)]的解析式中拼湊出“g(x)”，即用g(x)來表示f(x)，再將解析式兩邊的g(x)用x代替即可． (4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f[g(x)]的解析式時，可直接用新自變量g(x)替換y＝f(x)中的x. (5)方程組法：當同一個對應關系中的含有自變量的兩個表達式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關系時，可構造方程組求解． 　(1)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求該二次函數(shù)的解析式； (2)已知函數(shù)f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f

13、(x)； (3)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)； (4)已知函數(shù)y＝f(x)，滿足2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)． 解　(1)設二次函數(shù)的解析式為 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由題意，得 解得故f(x)＝x2＋1. (2)解法一：令x＋1＝t，則x＝t－1， 代入，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2， 即f(t)＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6. 解法二：f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1 ＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6. (3)解法一：∵f(＋4)＝()2＋8＝(＋4)

14、2－16， ∴f(x)＝x2－16(x≥4)． ∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)． 解法二：令＋4＝t(t≥4)，則x＝(t－4)2. ∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)， 即f(x)＝x2－16(x≥4)． ∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)． (4)用代替x有2f＋f(x)＝， 所以有 ①×2－②，得3f(x)＝4x－，即f(x)＝－(x≠0). 題型四 分段函數(shù) 例4　(1)已知函數(shù)f(x)＝ ①求f(2)，f； ②若f(a)＝3，求a的值； (2)已知函數(shù)f(x)＝ ①畫出函數(shù)f(x)的圖像； ②求函數(shù)f

15、(x)的定義域和值域； ③利用圖像解不等式f(x)>x. [解]　(1)①f(2)＝2×2＝4，f＝2＝. ②當a≤－1時，f(a)＝a＋2，即a＋2＝3， ∴a＝1(舍去)． 當－11時，f(x)＝1，所以函數(shù)f(x)的值域為[0,1]． ③由圖像，知不

16、等式f(x)>x的解集為{x|x<0}． 金版點睛 分段函數(shù)求值應注意的問題 (1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，然后代入相應的解析式求得，當不明確時要分類討論． (2)分段函數(shù)的解析式因其特點可以分成兩個或兩個以上的不同解析式，所以它的圖像也由幾部分構成，有的可以是光滑的曲線段，有的也可以是一些孤立的點或幾段線段，而分段函數(shù)的定義域與值域的最好的求法也是“圖像法”，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是分別求出各段上的值域的并集． 　(1)已知函數(shù)f(x)＝則f＝________； (2)如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿逆時針方向

17、由B點(起點)向A點(終點)移動，設P點移動的路程為x，△ABP的面積為y. ①根據(jù)題意寫出y與x之間的函數(shù)解析式； ②作出函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像求y的最大值． 答案　(1)　(2)見解析 解析　(1)由于≤1，所以f＝－2＝－， 而>1，所以f＝1＋2＝. 所以f＝. (2)①點P移動，△ABP的面積隨之變化，可分點P落在邊BC上，CD上，DA上三種情況進行討論，得關系式 y＝ ②函數(shù)的圖像如圖所示．由圖像可得ymax＝8. 1．在下面四個圖中，可表示函數(shù)y＝f(x)的圖像的只可能是(　　) 答案　D 解析　根據(jù)函數(shù)的定義，任意作出與x軸垂直的直線

18、，直線與函數(shù)圖像至多有一個交點，因此只有D符合． 2．若f(x)＝3x－4，g(x－1)＝f(x)，則g(x)＝(　　) A．3x－3 B．3x－5 C．3x－1 D．3x＋4 答案　C 解析　∵g(x－1)＝3x－4＝3(x－1)－1， ∴g(x)＝3x－1. 3．函數(shù)y＝x＋的圖像是圖中的(　　) 答案　C 解析　∵y＝x＋＝畫出圖像即為C. 4．設函數(shù)f(x)＝則f的值為______． 答案　 解析　f＝，f＝f＝. 5．某市“招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)則制定： (1)5 km以內(含5 km)，票價2元； (2)5 km以上，每增加5 km，票價增加1元(不足5 km的部分按5 km計算)． 如果某條線路的總里程為20 km，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像． 解　設里程為x km時，票價為y元． 由題意可知，自變量x的取值范圍是(0,20]．由“招手即?！惫财嚻眱r的制定規(guī)則，可得函數(shù)解析式為 y＝ 根據(jù)這個函數(shù)的解析式，可畫出函數(shù)的圖像，如圖所示． 11