2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第04講 基本初等函數(shù)教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第04講 基本初等函數(shù)教案 新人教版 一．課標要求 1．指數(shù)函數(shù) （1）通過具體實例（如細胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景； （2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。 （3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點； （4）在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。 2．對數(shù)函數(shù) （1）理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)

2、；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用； （2）通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點； 3．知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（a＞0，a≠1）。 二．命題走向 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位。從近幾年的高考形勢來看，對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質為依托，結合運算推理，能運用它們的性質解決具體問題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對數(shù)運算法則，明確算理

3、，能對常見的指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)進行變形處理。 預測xx年對本節(jié)的考察是： 1．題型有兩個選擇題和一個解答題； 2．題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復合函數(shù)來考察函數(shù)的性質。同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大。 三．要點精講 1．指數(shù)與對數(shù)運算 （1）根式的概念： ①定義：若一個數(shù)的次方等于，則這個數(shù)稱的次方根。即若，則稱的次方根， 1）當為奇數(shù)時，次方根記作； 2）當為偶數(shù)時，負數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作。 ②性質：1）；2）當為奇數(shù)時，； 3）當為偶數(shù)時，。 （2）．冪的有關概念 ①規(guī)定：1）N*；2）；

4、 n個 3）Q，4）、N* 且。 ②性質：1）、Q）； 2）、 Q）； 3） Q）。 （注）上述性質對r、R均適用。 （3）．對數(shù)的概念 ①定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)。 1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作； 2）以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，，記作； ②基本性質： 1）真數(shù)N為正數(shù)（負數(shù)和零無對數(shù)）；2）； 3）；4）對數(shù)恒等式：。 ③運算性質：如果則 1）； 2）； 3）R）。 ④換底公式： 1）；2）。 2．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) （1）指數(shù)函數(shù)： ①定義：函數(shù)稱

5、指數(shù)函數(shù)， 1）函數(shù)的定義域為R；2）函數(shù)的值域為； 3）當時函數(shù)為減函數(shù)，當時函數(shù)為增函數(shù)。 ②函數(shù)圖像： 1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0，1），且圖象都在第一、二象限； 2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當時，圖象向左無限接近軸，當時，圖象向右無限接近軸）； 3）對于相同的，函數(shù)的圖象關于軸對稱。 ①， ②， ③ ①， ②， ③， ③函數(shù)值的變化特征： （2）對數(shù)函數(shù)： ①定義：函數(shù)稱對數(shù)函數(shù)， 1）函數(shù)的定義域為；2）函數(shù)的值域為R； 3）當時函數(shù)為減函數(shù)，當時函數(shù)為增函數(shù)； 4

6、）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。 ②函數(shù)圖像： 1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0，1），且圖象都在第一、四象限； 2）對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當時，圖象向上無限接近軸；當時，圖象向下無限接近軸）； 4）對于相同的，函數(shù)的圖象關于軸對稱。 ③函數(shù)值的變化特征： ①， ②， ③. ①， ②， ③. 四．典例解析 題型1：指數(shù)運算 例1．（1）計算：； （2）化簡：。 解：（1）原式= ； （2）原式= 。 點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形

7、式，然后利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質求解，對化簡求值的結果，一般用分數(shù)指數(shù)冪的形式保留；一般的進行指數(shù)冪運算時，化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)運算，同時兼顧運算的順序。 例2．已知，求的值。 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴。 點評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運算。 題型2：對數(shù)運算 例3．計算 （1）；（2）； （3）。 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）分子=； 分母=； 原式=。 點評：這是一組很基本的對數(shù)運算的練習題，雖然在考試中

8、這些運算要求并不高，但是數(shù)式運算是學習數(shù)學的基本功，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法則，以及學習數(shù)式變換的各種技巧。 例4．設、、為正數(shù)，且滿足 （1）求證：； （2）若，，求、、的值。 證明：（1）左邊 ； 解：（2）由得， ∴……………① 由得………… ……………② 由①②得……………………………………③ 由①得，代入得， ∵， ∴………………………………④ 由③、④解得，，從而。 點評：對于含對數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對數(shù)運算法則為主，將代數(shù)式化簡到最見形式再來處理即可。 題型3：指數(shù)、對數(shù)方程 例5．設關于的方程R）， （1）若方程有實數(shù)解

9、，求實數(shù)b的取值范圍； （2）當方程有實數(shù)解時，討論方程實根的個數(shù)，并求出方程的解。 解：（1）原方程為， ， 時方程有實數(shù)解； （2）①當時，，∴方程有唯一解； ②當時，. 的解為； 令 的解為； 綜合①、②，得 1）當時原方程有兩解：； 2）當時，原方程有唯一解； 3）當時，原方程無解。 點評：具有一些綜合性的指數(shù)、對數(shù)問題，問題的解答涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數(shù)、對數(shù)問題的特點，題型非常廣泛，應通過解題學習不斷積累經(jīng)驗。 例6．（xx遼寧 文13）方程的解為 。 解：考察對數(shù)運算。原方程變形為

10、，即，得。且有。從而結果為。 點評：上面兩例是關于含指數(shù)式、對數(shù)式等式的形式，解題思路是轉化為不含指數(shù)、對數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來求解。 題型4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質 例7．設（ ） A．0 　B．1 C．2 D．3 解：C；，。 點評：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值。 例8．已知試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。 解：令，則x=，t∈R。 所以即，（x∈R）。 因為f(－x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故只需討論f(x)在[0，+∞）上的單調(diào)性。 任取，，且使，則

11、 （1）當a>1時，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增。 （2）當0

12、點評：本題考察了復雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征，解題的出發(fā)點仍然是兩種情況下函數(shù)的圖像特征。 例10．設函數(shù)的取值范圍。 解：由于是增函數(shù)，等價于　　　?、? 1)當時，，①式恒成立； 2)當時，，①式化為，即； 3)當時，，①式無解； 綜上的取值范圍是。 點評：處理含有指數(shù)式的不等式問題，借助指數(shù)函數(shù)的性質將含有指數(shù)式的不等式轉化為普通不等式問題（一元一次、一元二次不等式）來處理。 題型6：對數(shù)函數(shù)的概念與性質 例11．（1）函數(shù)的定義域是（ ） A． B． C． D． （2）（xx湖北）設f(x)＝，則的定義域為（

13、 ） A． B．(－4,－1)(1，4) C．(－2,－1)(1，2) D．(－4,－2)(2，4) 解：（1）D（2）B。 點評：求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時才有意義。對于抽象函數(shù)的處理要注意對應法則的對應關系。 例12．對于， （1）函數(shù)的“定義域為R”和“值域為R”是否是一回事； （2）結合“實數(shù)a的取何值時在上有意義”與“實數(shù)a的取何值時函數(shù)的定義域為”說明求“有意義”問題與求“定義域”問題的區(qū)別； （3）結合（1）（2）兩問，說明實數(shù)a的取何值時的值域為 （

14、4）實數(shù)a的取何值時在內(nèi)是增函數(shù)。 解：記，則； （1）不一樣； 定義域為R恒成立。 得：，解得實數(shù)a的取值范圍為。 值域為R：值域為R至少取遍所有的正實數(shù)， 則，解得實數(shù)a的取值范圍為。 （2）實數(shù)a的取何值時在上有意義： 命題等價于對于任意恒成立， 則或， 解得實數(shù)a得取值范圍為。 實數(shù)a的取何值時函數(shù)的定義域為： 由已知得二次不等式的解集為可得，則a=2。故a的取值范圍為{2}。 區(qū)別：“有意義問題”正好轉化成“恒成立問題”來處理，而“定義域問題”剛好轉化成“取遍所有問題”來解決（這里轉化成了解集問題，即取遍解集內(nèi)所有的數(shù)值） （3）易知得值域是，又得值域是，

15、 得，故a得取值范圍為{－1，1}。 （4）命題等價于在上為減函數(shù)，且對任意的恒成立，則，解得a得取值范圍為。 點評：該題主要考察復合對數(shù)函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)性問題。解題過程中遇到了恒成立問題，“恒為正”與“取遍所有大于零的數(shù)”不等價，同時又考察了一元二次函數(shù)函數(shù)值的分布情況，解題過程中結合三個“二次”的重要結論來進行處理。 題型7：對數(shù)函數(shù)的圖像及應用 例13．當a>1時，函數(shù)y=logax和y=(1－a)x的圖象只可能是( ) 解：當a>1時，函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選， 又a>1時，y=(1－a)x為減函數(shù)。 答案：B 點評：要正確識別函數(shù)

16、圖像，一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像，二是把握圖像的性質，根據(jù)圖像的性質去判斷，如過定點、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。 例14．設A、B是函數(shù)y= log2x圖象上兩點, 其橫坐標分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數(shù)y= log2x圖象交于點C, 與直線AB交于點D。 （1）求點D的坐標； （2）當△ABC的面積大于1時, 求實數(shù)a的取值范圍。 解：（1）易知D為線段AB的中點, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))， 所以由中點公式得D(a+2, log2 )。 （2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…

17、= log2, 其中A′,B′,C′為A,B,C在x軸上的射影。 由S△ABC= log2>1, 得0< a<2－2。 點評：解題過程中用到了對數(shù)函數(shù)性質，注意底數(shù)分類來處理，根據(jù)函數(shù)的性質來處理復雜問題。 題型8：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合問題 例15．在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，對每個自然數(shù)n點Pn位于函數(shù)y=xx()x(0

18、一個三角形，求a的取值范圍； (3)設Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列{Cn}前多少項的和最大？試說明理由。 解：(1)由題意知：an=n+,∴bn=xx()。 (2)∵函數(shù)y=xx()x(0bn+1>bn+2。 則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn， 即()2+()－1>0， 解得a<－5(1+)或a>5(－1)。 ∴5(－1)

19、 對每個自然數(shù)n≥2,Bn=bnBn－1。 于是當bn≥1時，Bn

20、義域是。 （2）若a=2，則 設 ， 則 故f(x)為增函數(shù)。 （3）設 ① ∵f(x)是增函數(shù)， ∴f(x1)＞f(x2) 即 ② 聯(lián)立①、②知a＞1， ∴a∈(1，+∞)。 點評：該題屬于純粹的研究復合對函數(shù)性質的問題，我們抓住對數(shù)函數(shù)的特點，結合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對“路”處理即可。 題型9：課標創(chuàng)新題 例17．對于在區(qū)間上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x)，如果對任意的，均有，則稱f(x)與g(x)在上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在上是非接近的，現(xiàn)有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間。 （1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值

21、范圍； （2）討論與在給定區(qū)間上是否是接近的。 解：（1）兩個函數(shù)與在給定區(qū)間有意義，因為函數(shù)給定區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在給定區(qū)間上恒為正數(shù)， 故有意義當且僅當； （2）構造函數(shù)， 對于函數(shù)來講， 顯然其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。 且在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)。 由于，得 所以原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，只需保證 當時，與在區(qū)間上是接近的； 當時，與在區(qū)間上是非接近的。 點評：該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對含有對數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進行研究，轉化成含有對數(shù)因式的不等式問題，解不等式即可。 例18．設，，且，求的最小值。

22、 解：令 ， ∵，，∴。 由得，∴， ∴，∵，∴，即，∴， ∴， ∵，∴當時，。 點評：對數(shù)函數(shù)結合不等式知識處理最值問題，這是出題的一個亮點。同時考察了學生的變形能力。 五．思維總結 1．（其中）是同一數(shù)量關系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常常化為指數(shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應化為同應化為同底； 2．要熟練運用初中學習的多項式各種乘法公式；進行數(shù)式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項、添項、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過各種題型的

23、訓練逐漸積累經(jīng)驗； 3．解決含指數(shù)式或對數(shù)式的各種問題，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)運算法則及運算性質，更關鍵是熟練運用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識； 4．指數(shù)、對數(shù)函數(shù)值的變化特點（上面知識結構表中的12個小點）是解決含指數(shù)、對數(shù)式的問題時使用頻繁的關鍵知識，要達到滾瓜爛熟，運用自如的水平，在使用時常常還要結合指數(shù)、對數(shù)的特殊值共同分析； 5．含有參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題的最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類； 6．在學習中含有指數(shù)、對數(shù)的復合函數(shù)問題大多數(shù)都是以綜合形式出現(xiàn)，如與其它函數(shù)（特別是二次函數(shù)）形成的復合函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要努力提高綜合能力。