5、】利用二倍角公式把已知函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù),再配方求得最值.
【題文】7.對(duì)于空間的一條直線m和兩個(gè)平面,下列命題中的真命題是
A.若則 B. .若則
C.若則 D. 若則
【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系;空間中的垂直關(guān)系. G4 G5
【答案解析】C 解析:若則平面可能平行可能相交,所以A,B是假命題;顯然若則成立,故選C.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線面平行的性質(zhì),線面垂直的性質(zhì)得結(jié)論.
【題文】8.等比數(shù)列中,已知,則前5項(xiàng)和
A. B. C. D.
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和. D3
【答案
6、解析】A 解析:由已知得,解得或
,所以或,故選A.
【思路點(diǎn)撥】由已知條件求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,進(jìn)而求出前5項(xiàng)和.
【題文】9.已知中,BC=3,AC=4,AB=5點(diǎn)P是三邊上的任意一點(diǎn),m=,則m的最小值是
A.-25 B. C. D.0
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算. F3
【答案解析】B 解析:由已知得是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形,所以以C為原點(diǎn),CA所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,則A(4,0),B(0,3),設(shè)P(x,y),則
,所以
當(dāng)點(diǎn)P在線段CA上移動(dòng)時(shí),y=0, ,所以此時(shí),當(dāng)x=2時(shí)m有最小
7、值-4;
當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上移動(dòng)時(shí), ,所以此時(shí),當(dāng)y= 時(shí)
m有最小值;
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí), 且,所以此時(shí)
,當(dāng)x=2時(shí)m有最小值.故選B.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系,利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解.
【題文】10.經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線,交雙曲線與A,B兩點(diǎn),交雙曲線的漸近線于P,Q兩點(diǎn),若|PQ|=2|AB|,則雙曲線的離心率是
A. ?。拢 。茫 。模?
【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì). H6
【答案解析】D 解析:設(shè)雙曲線方程為,把x=c代入雙曲線方程可得
代入漸近線方程可得,因?yàn)椋?/p>
8、PQ|=2|AB|,所以
,又,所以可得.故選D.
【思路點(diǎn)撥】設(shè)出雙曲線方程,求得線段AB、PQ關(guān)于a,b,c的表達(dá)式,然后代入
|PQ|=2|AB|,再與結(jié)合,求得離心率.
二、填空題(本大題共7小題,每小題4分,共28分)
【題文】11.等差數(shù)列中,已知,則 .
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì). D2
【答案解析】1007 解析:由得:.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì):當(dāng),且時(shí),
求解.
【題文】12.已知是鈍角,,則 .
【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的求值. C7
【答案解析】 解析:因?yàn)槭氢g角,,所以,
所以.
【思
9、路點(diǎn)撥】利用同角三角函數(shù)關(guān)系,兩角差的正弦公式求解.
【題文】13.垂直于直線x+2y-3=0且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線的方程 .
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓷l直線垂直的條件;直線的方程. H1 H2
【答案解析】 解析:因?yàn)樗笾本€與直線x+2y-3=0垂直,所以所求直線的斜率為2,又所求直線過(guò)點(diǎn)(2,1),所以所求直線方程為:y-1=2(x-2),即.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)互相垂直的直線斜率乘積為-1,得所求直線的斜率,再由直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程.
【題文】14.若某空間幾何體的三視圖如圖所示,
則該幾何體的體積是 .
【知識(shí)點(diǎn)】空間
10、幾何體的三視圖. G2
【答案解析】32 解析:由三視圖可知:此幾何體是四棱錐,其底面是鄰邊長(zhǎng)分別為6, 4的矩形,且棱錐高為4,所以該幾何體的體積是.
【思路點(diǎn)撥】先由三視圖獲得此幾何體的結(jié)構(gòu),底面特點(diǎn),棱的特點(diǎn),然后求此幾何體的體積.
【題文】15.已知,則的最小值是 .
【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題. E5
【答案解析】-4 解析:畫(huà)出可行域,平移目標(biāo)函數(shù)為0的直線y=2x,得目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解是直線x+y+2=0與直線x-3y+2=0的交點(diǎn)A(-2,0),所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為:
.
【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出可
11、行域,平移目標(biāo)函數(shù)為0的直線y=2x,得目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解是方程組的解,所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為-4.
【題文】16.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足,則ab的最小值是 .
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的應(yīng)用. E6
【答案解析】 解析:因?yàn)閍>0,b>0,所以3 =.
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以ab的最小值是.
【思路點(diǎn)撥】利用基本不等式求解.
【題文】17.若圓C與圓關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱,則圓C的方程是 .
【知識(shí)點(diǎn)】圓的方程;對(duì)稱問(wèn)題. H3
【答案解析】 解析:設(shè)C(a,b),因?yàn)橐阎獔A的圓心A(-1,0),由點(diǎn)A、C
12、關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱得,解得,又圓的半徑是1,所以圓C的方程是,即.
【思路點(diǎn)撥】由兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱,則兩圓圓心關(guān)于此直線對(duì)稱,因此設(shè)出圓心C的坐標(biāo)(a,b),由對(duì)稱軸垂直平分兩圓心確定的線段,得關(guān)于a,b的方程組求得a,b,又兩圓半徑相等,從而得到圓C方程.
三、解答題(本大題共5小題,共72分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
【題文】18.(本題14分)
在中,已知(1)求 角C; (2)若c=4,求a+b的最大值.
【知識(shí)點(diǎn)】解三角形;利用基本不等式求最值. C8 E6
【答案解析】(1);(2)8. 解析:(1)因?yàn)椋?
所以. ┅4分
13、
又,故角. ┅8分
(2)因?yàn)椋裕?┅10分
又,所以,從而,其中時(shí)等號(hào)成立.
故,的最大值為8. ┅14分
【思路點(diǎn)撥】(1)利用余弦定理求角B;(2)利用余弦定理及基本不等式求a+b的最大值.
【題文】19已知數(shù)列滿足:
求證數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng);
若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【知識(shí)點(diǎn)】已知遞推公式求通項(xiàng);數(shù)列求和. D1 D4
【答案解析】(1)證明略,(2) .
解析:(1)由,得.
所以,成等比,公比,首項(xiàng). ┅4分
所以,,即. ┅8分
(2), ┅10分
所以,數(shù)列的前項(xiàng)和
14、
┅12分
. ┅14分
【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)等比數(shù)列的定義:從第二項(xiàng)起,后項(xiàng)與前項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù),所以只需求的值即可;(2)由(1)可得,它是由兩個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)常數(shù)列的和構(gòu)成的,所以可以用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【題文】20.(本題15分)
如圖,三棱錐P-ABC中,底面ABC,是正三角形,AB=4,PA=3,M是AB的中點(diǎn). (1)求證:平面PAB;
(2)設(shè)二面角A-PB-C的大小為,求的值.
【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直的判定;二面角的求法. G5 G11
【答案解析】(1)證明:略;(2).
解析:(1)因?yàn)榈酌?,所以?
15、 ┅3分
因?yàn)椤魇钦切?,是的中點(diǎn),所以. ┅6分
所以,平面. ┅7分
(第20題)
(2)(幾何法)
作于,連,則.
所以,是二面角的平面角. ┅11分
因?yàn)椋?,所以,?
從而,故. ┅15分
(向量法)
以為原點(diǎn),為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.
平面的一個(gè)法向量. ┅10分
(第20題)
,.
設(shè)是平面的法向量,
則,取法向量. ┅13分
故. ┅15分
【思路點(diǎn)撥】(1)只需證明直線CM與平面PAB中兩條相交直線AB、AP垂直;
(2)(幾何法)作出二面角的平面角,構(gòu)造含此角的三角形求解.
(向量法)
16、 建立空間直角坐標(biāo)系,確定所求二面角中每一個(gè)半平面的一個(gè)法向量,因?yàn)閮煞ㄏ蛄康膴A角與二面角的平面角相等或互補(bǔ),所以只需求這兩法向量夾角的余弦值即可.
【題文】21.(本題15分)
如圖,已知拋物線,點(diǎn)是x軸上的一點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且斜率為1的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn).
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),求證線段AB的中點(diǎn)在一條直線上;
若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求a的值.
【知識(shí)點(diǎn)】曲線與方程;直線與圓錐曲線. H9 H8
【答案解析】(1)證明:略;(2). 解析:(1)設(shè),,
中點(diǎn)為.則, ┅2分
又,,
所以,從而. ┅6分
故,線段的中點(diǎn)在直線上.
17、┅7分
(2)直線:,
由. ┅9分
,. ┅12分
若,則,即.
解得:. ┅15分
【思路點(diǎn)撥】(1)利用點(diǎn)差法求出線段AB的中點(diǎn)軌跡方程即可;
(2)把直線方程代入拋物線方程消去x得關(guān)于y的一元二次方程,再由弦長(zhǎng)公式及已知條件得關(guān)于a的方程,解得a值.
【題文】22.(本題14分)
已知a>0,函數(shù).
試用定義證明:在上單調(diào)遞增;
若時(shí),不等式恒成立,求a的取值范圍.
【知識(shí)點(diǎn)】(1)函數(shù)的單調(diào)性;不等式恒成立求參數(shù)范圍. B3 E1
【答案解析】(1)證明:略;(2). 解析:(1)設(shè),則
18、. ┅2分
因?yàn)?,所以,,?
所以,即,
故,在上單調(diào)遞增. ┅6分
(2)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
①若,則在上單調(diào)遞增,.
所以,,即,所以. ┅8分
②若,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
.所以,,即,所以. ┅10分
③若,則在上單調(diào)遞減,.
所以,,即,所以. ┅12分
綜合①②③,. ┅14分
【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義,在給定區(qū)間上任取兩個(gè)數(shù),且,
通過(guò)判定的符號(hào),來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性;(2)時(shí),不等式恒成立,只需時(shí)即可,利用的單調(diào)性,通過(guò)討論a的取值情況,確定在區(qū)間上的最小值情況.