數(shù)學(xué)第七章 不等式 第三節(jié) 二元一次不等式(組)及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 理

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1、第三節(jié)二元一次不等式(組)及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題總綱目錄教材研讀1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域考點(diǎn)突破2.線性規(guī)劃的有關(guān)概念考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)的最值（或范圍）問題考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)的最值（或范圍）問題考點(diǎn)一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線,不等式Ax+By+C0所表示的平面區(qū)域包括邊界直線,故把邊界直線畫成實(shí)線實(shí)線.對(duì)于直線Ax+By+C=

2、0同一側(cè)的所有點(diǎn),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得到的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0,y0),由Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0(或0)表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.教材研讀教材研讀2.線性規(guī)劃的有關(guān)概念線性規(guī)劃的有關(guān)概念1.不等式組表示的平面區(qū)域是()360,20 xyxyC答案答案Cx-3y+61)的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1,3B.3,+)C.(1,2D.2,+)(2)(2016北京朝陽二模)已知關(guān)于x,y的不等式組所表示的平面區(qū)域D為三角形,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.3100,360 xyxy0,2,2xy

3、xxyxyk答案答案(1)B(2)k-2或0k1解析解析(1)作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖:由得A(3,1),此時(shí)滿足loga31,3100,360 xyxy3100,360 xyxy解得a3,實(shí)數(shù)a的取值范圍是3,+),故選B.(2)根據(jù)題意作圖如下.由圖可知,要使不等式組所表示的平面區(qū)域是三角形,則有-1-k0或-k2,k-2或0k或-1,2+2a0,則平面區(qū)域的面積S=(2+2a)2=2+2a=3,故a=,故選B.20,20 xxy2,20 xaxy1212考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)的最值考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)的最值(或范圍或范圍)問題問題命題方向一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值命題方向一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例

4、典例2(2017北京,4,5分)若x,y滿足則x+2y的最大值為()A.1B.3C.5D.93,2,xxyyxD答案答案D作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分.令z=x+2y,當(dāng)z=x+2y過A點(diǎn)時(shí),z取最大值.由得A(3,3),z的最大值為3+23=9.故選D.3,xyx典例典例3(1)如果點(diǎn)P(x,y)在平面區(qū)域內(nèi),則x2+(y+1)2的最大值和最小值分別是()A.3,B.9,C.9,2D.3,(2)(2017北京豐臺(tái)一模,12)若x,y滿足則的取值范圍是.220,210,20 xyxyxy 3595220,70,1,xyxyxyx命題方向二求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值命題方向二求非線性目

5、標(biāo)函數(shù)的最值答案答案(1)B(2)9,65解析解析(1)如圖,作出點(diǎn)P(x,y)所在的平面區(qū)域.x2+(y+1)2表示動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)Q(0,-1)的距離的平方.過點(diǎn)Q作QP0直線x-2y+1=0于點(diǎn)P0,易知當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)P0處時(shí),離Q最近,|P0Q|2=,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)(0,2)處時(shí),離Q最遠(yuǎn),|PQ|2=9.因此x2+(y+1)2的最大值為9,最小值為.9595的幾何意義為可行域中的點(diǎn)(x,y)和(0,0)連線的斜率,易得A,B(1,6),即6,的取值范圍為.yx5 9,2 29252yx6195yxyx9,65(2)作出可行域,如圖:典例典例4設(shè)x,y滿足約束條件若z=x+3y的最大值與最小值的差

6、為7,則實(shí)數(shù)m=()A.B.-C.D.-1,3,yxxyym32321414命題方向三線性規(guī)劃中的參數(shù)問題命題方向三線性規(guī)劃中的參數(shù)問題C答案答案C解析解析由約束條件作出可行域,如圖.聯(lián)立解得A(1,2),1,3,yxxyym1,3,yxxy聯(lián)立解得B(m-1,m),由z=x+3y,得y=-+.由圖可知,當(dāng)直線y=-+過點(diǎn)A時(shí),z有最大值,為7,當(dāng)直線y=-+過點(diǎn)B時(shí),z有最小值,為4m-1,由題意知7-(4m-1)=7,解得m=.故選C.,1,ymyx3x3z3x3z3x3z14方法技巧方法技巧1.線性規(guī)劃問題的解題步驟(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原

7、點(diǎn)的那一條直線;(2)平移將直線平行移動(dòng),以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置;(3)求值解方程組求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解),代入目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.2.常見代數(shù)式的幾何意義(1)表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)的距離;(2)表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)之間的距離;(3)表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率;(4)表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,b)連線的斜率.22xy22()()xaybyxybxa2-1(2014北京,6,5分)若x,y滿足且z=y-x的最小值為-4,則k的值為()A.2B.-2C.D.-20,20,0,xykxyy1212D答案答案D由得A(4,0).由圖推測(cè)直線kx-y+2

8、=0必過A(4,0),得k=-,經(jīng)驗(yàn)證符合題目條件.故選D.4,0yxy 122-2在平面上,過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影.由區(qū)域中的點(diǎn)在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB,則|AB|=()A.2B.4C.3D.620,0,340 xxyxy22C答案答案C由不等式組畫出可行域,如圖中的陰影部分所示.因?yàn)橹本€x+y-2=0與直線x+y=0平行,所以可行域內(nèi)的點(diǎn)在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線段的長|AB|即為|CD|.易得C(2,-2),D(-1,1),所以|AB|=|CD|=3.故選C.22(2 1)( 2 1) 22-3設(shè)x,y滿足約束條件則z=x+

9、3y的最大值是.2 ,1,10,yxxyy 73答案答案73解析解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分).由z=x+3y得y=-x+,易知當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),z取得最大值,zmax=+3=.133z1 2,3 3132373典例典例5某貨運(yùn)員擬運(yùn)送甲、乙兩種貨物,每件貨物的體積、質(zhì)量、可獲利潤以及運(yùn)輸限制如下表:在最合理的安排下,獲得的最大利潤的值為62.貨物體積(升/件)質(zhì)量(千克/件)利潤(元/件)甲20108乙102010運(yùn)輸限制110100考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用答案答案62解析解析設(shè)甲種貨物的件數(shù)為x件,乙種貨物的件數(shù)為y件,獲得的利潤為z元.由題意

10、知即目標(biāo)函數(shù)為z=8x+10y,作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖.由圖可知z的最大值在(4,3)處取得,即zmax=62.2010110,1020100,N,xyxyx y211,210,N,xyxyx y方法技巧方法技巧解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟(1)轉(zhuǎn)化設(shè)元,寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù),從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題;(2)求解解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題;(3)作答將數(shù)學(xué)問題的答案還原為實(shí)際問題的答案.3-1某生產(chǎn)廠家根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析,決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案,準(zhǔn)備每周(按5天計(jì)算)生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品共15噸(同一時(shí)間段內(nèi)只能生產(chǎn)一種產(chǎn)品),已知生產(chǎn)每噸產(chǎn)品所需天數(shù)和每噸產(chǎn)值如表:產(chǎn)品名稱ABC天數(shù)產(chǎn)值/萬元43.52則每周最高產(chǎn)值是()A.30萬元B.40萬元C.47.5萬元D.52.5萬元D答案答案D設(shè)生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品的噸數(shù)分別為x,y,15-x-y,產(chǎn)值為z萬元,根據(jù)題意可得z=4x+3.5y+2(15-x-y)=2x+1.5y+30,作出可行域如圖所示,0,0,150,111(15)5,234xyxyxyxy由圖可以看出,當(dāng)x=0,y=15時(shí),z取得最大值52.5,故選D.