2020屆高考數(shù)學大二輪復習 刷題首選卷 第二部分 刷題型 壓軸題（四）理

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1、壓軸題(四) 12．已知函數(shù)f(x)＝ax－a2－4(a>0，x∈R)，若p2＋q2＝8，則的取值范圍是(　　) A．(－∞，2－) B．[2＋，＋∞) C．(2－，2＋) D．[2－，2＋] 答案　D 解析　＝＝，表示點A(p，q)與點B連線的斜率．又a＋≥4，故取點E(4,4)． 當AB與圓的切線EC重合時，kAB取最小值，可求得kEC＝tan15°＝2－，所以的最小值為2－；當AB與圓的切線ED重合時，kAB取最大值，可求得kED＝tan75°＝2＋，所以的最大值為2＋；故的取值范圍是[2－，2＋]． 16．(2019·江西上饒重點中學六校第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝

2、若關于x的方程f2(x)＋2f(x)＋m＝0有三個不同的實根，則m的取值范圍為________． 答案　(－∞，－3] 解析　作出函數(shù)f(x)的圖象如圖： 設f(x)＝a，當a≥1時，f(x)＝a有兩個實根；當a<1時，f(x)＝a有一個實根．所以當關于x的方程f2(x)＋2f(x)＋m＝0有三個不同的實根時，t2＋2t＋m＝0的兩實根一個比1大，一個比1小，所以1＋2＋m<0，即m<－3.當m＝－3時，f(x)＝1或f(x)＝－3符合題意．綜上可得m≤－3. 20．(2019·安徽蚌埠第三次教學質(zhì)量檢查)某地種植常規(guī)稻α和雜交稻β，常規(guī)稻α的畝產(chǎn)穩(wěn)定為485公斤，今年單價為3.7

3、0元/公斤，估計明年單價不變的可能性為10%，變?yōu)?.90元/公斤的可能性為70%，變?yōu)?.00元/公斤的可能性為20%.統(tǒng)計雜交稻β的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)，得到畝產(chǎn)的頻率分布直方圖如圖1，統(tǒng)計近10年雜交稻β的單價(單位：元/公斤)與種植畝數(shù)(單位：萬畝)的關系，得到的10組數(shù)據(jù)記為(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，并得到散點圖如圖2. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計明年常規(guī)稻α的單價平均值； (2)在頻率分布直方圖中，各組的取值按中間值來計算，求雜交稻β的畝產(chǎn)平均值；以頻率作為概率，預計將來三年中至少有兩年雜交稻β的畝產(chǎn)超過795公斤的概率； (3)①判斷雜交稻β的單價y(單位：元/公斤)與種

4、植畝數(shù)x(單位：萬畝)是否線性相關？若相關，試根據(jù)以下的參考數(shù)據(jù)求出y關于x的線性回歸方程； ②調(diào)查得知明年此地雜交稻β的種植畝數(shù)預計為2萬畝．若在常規(guī)稻α和雜交稻β中選擇，明年種植哪種水稻收入更高？ 統(tǒng)計參考數(shù)據(jù)：＝1.60，＝2.82，(xi－)(yi－)＝－0.52，(xi－)2＝0.65. 附：線性回歸方程＝x＋，＝，＝－ . 解　(1)設明年常規(guī)稻α的單價為ξ，則ξ的分布列為 ξ 3.70 3.90 4.00 P 0.1 0.7 0.2 E(ξ)＝3.7×0.1＋3.9×0.7＋4×0.2＝3.9，估計明年常規(guī)稻α的單價平均值為3.9元/公斤． (2)雜交

5、稻β的畝產(chǎn)平均值為[(750＋810＋820)×0.005＋(760＋800)×0.01＋(770＋790)×0.02＋780×0.025]×10＝78.2×10＝782. 依題意，知雜交稻β的畝產(chǎn)超過795公斤的概率P＝0.1＋0.05×2＝0.2，則將來三年中至少兩年雜交稻β的畝產(chǎn)超過795公斤的概率為C×0.22×(1－0.2)＋0.23＝0.104. (3)①∵散點圖中各點大致分布在一條直線附近， ∴可以判斷雜交稻β的單價y與種植畝數(shù)x線性相關， 由題中提供的數(shù)據(jù)，得＝＝－0.8， ＝－ ＝2.82＋0.8×1.60＝4.10， ∴線性回歸方程為＝－0.8x＋4.10.

6、②估計明年雜交稻β的單價＝－0.8×2＋4.10＝2.50元/公斤，估計明年雜交稻β的每畝平均收入為782×2.50＝1955元，估計明年常規(guī)稻α的每畝平均收入為485×E(ξ)＝485×3.9＝1891.5元， ∵1955>1891.5，∴明年種植雜交稻β收入更高． 21．已知函數(shù)f(x)＝2aln x－x2＋3－2a，g(x)＝xf(x)，其中a∈R. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍． 解　(1)由于函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)， 且f′(x)＝－2x＝，所以 ①當a≤0時，有f′(x)<0恒成立，從而

7、f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減； ②當a>0時，有f′(x)＝ ＝， 當x∈(0，)時，f′(x)>0，即f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增； 當x∈(，＋∞)時，f′(x)<0，即f(x)在區(qū)間(，＋∞)上單調(diào)遞減． (2)由于g(x)＝2axln x－x3＋(3－2a)x，x>0， 所以g′(x)＝2aln x－3x2＋3＝2aln x－3(x2－1)，且g′(1)＝0， ①當a≤0時，有g′(x)≤0在區(qū)間[1，＋∞)上恒成立，即g(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞減； ②當a>0時，令h(x)＝g′(x)＝2aln x－3x2＋3， 則h′(x)＝－6x＝ ＝， 得x∈時，h′(x)>0， 即h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增； x∈時，h′(x)<0， 即h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減． 從而03時，h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增． 從而在區(qū)間上g′(x)＝h(x)>h(1)＝0， 即g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意． 綜上，當函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞減時，a的取值范圍為(－∞，3]． - 5 -