【大學(xué)數(shù)學(xué)】重新理解系列之三：抽象代數(shù)

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1、【大學(xué)數(shù)學(xué)】重新理解系列之三：抽象代數(shù) 我學(xué)過一學(xué)期的抽象代數(shù)，但感覺啥都沒學(xué)到，對(duì)那些定義、定理沒啥理解，完全就是考驗(yàn)記憶能力，但是下面的幾篇文章居然勾起了哥學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的欲望，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)三大支柱一直的抽象代數(shù)感興趣的同學(xué)可以慢慢看看，其實(shí)學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)課時(shí)先讀讀這方面的科普文章，對(duì)整體把握和學(xué)習(xí)效果有非常大的提升。 文章列表： 1. 初學(xué)者應(yīng)該如何學(xué)習(xí)抽象代數(shù) 2. 漫談抽象代數(shù)（非常好） 3. 抽象代數(shù)不抽象 4. 抽象代數(shù)的人間煙火 5. 抽象代數(shù)學(xué)習(xí)方法 6. 近世代數(shù)概論前言 7. 近世代數(shù)學(xué)習(xí)方法 （之后的幾篇文章還沒來得及看） 8. 群論問題與物理問題

2、（和眾多牛人的討論總結(jié)） 9. 近世代數(shù)基礎(chǔ)課件（感覺很不錯(cuò)） 10. 近世代數(shù)發(fā)展簡(jiǎn)史 11. 近世代數(shù)的應(yīng)用 12. 抽象代數(shù)學(xué)習(xí)報(bào)告 初學(xué)者應(yīng)該如何學(xué)習(xí)抽象代數(shù) 曾經(jīng)看到一些抽象代數(shù)（近世代數(shù)）的初學(xué)者有這樣的疑問：我們?yōu)槭裁匆芯肯袢哼@樣的抽象結(jié)構(gòu)呢？有人解釋說這是刻畫對(duì)稱性，也有人解釋說是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種語言，有點(diǎn)道理卻又語焉不詳。 【為什么學(xué)抽象代數(shù)？多么實(shí)際而迫切的問題，但學(xué)了也沒能回答這個(gè)問題。既然抽象代數(shù)研究的是結(jié)構(gòu)，那么就對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)物理工程醫(yī)學(xué)中的實(shí)際的結(jié)構(gòu)，如化學(xué)中物質(zhì)結(jié)構(gòu)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等等，我覺得都是可以用上去的，這都是一下想到的，沒有詳細(xì)去考證?！?

3、 為什么要研究群呢？提出這類問題的人困惑的并不是群的本質(zhì)，而是需要一個(gè)合理的過渡，我覺得從具體的代數(shù)到抽象代數(shù)之間的過渡可以類比于從算術(shù)到普通代數(shù)的過渡。記得我第一次遇到代數(shù)時(shí)感到很奇怪，為什么一眼就能看出答案的問題，非要設(shè)個(gè)未知量x來解方程。直到后來發(fā)現(xiàn)幾個(gè)x可以抵消，我才算領(lǐng)會(huì)了方程的方便，再后來遇到二次的情形就非要列方程不可了。如果說方程中字母x代表某個(gè)數(shù)的話，那么群中的字母g又代表什么呢？它不僅代表處在某個(gè)地位上的數(shù)，更是代表一個(gè)特殊的位置，這樣的位置是與整個(gè)群的結(jié)構(gòu)相互聯(lián)系的。比如在三階循環(huán)群中，兩個(gè)生成元盡管作為數(shù)是不同的，但它們?cè)谌旱牡匚粎s是一致的。正如普通代數(shù)中忽略了數(shù)的已知與

4、未知那樣，抽象代數(shù)中忽略的則是具體數(shù)的差異，而集中考慮相應(yīng)的位置與結(jié)構(gòu)。 【普通代數(shù)中忽略了數(shù)的已知與未知那樣，抽象代數(shù)中忽略的則是具體數(shù)的差異，而集中考慮相應(yīng)的位置與結(jié)構(gòu)？不太懂?！? 有的人總是想借助直觀來理解抽象，但這對(duì)抽象代數(shù)的入門卻是一個(gè)妨礙。還有回憶學(xué)習(xí)普通代數(shù)的情形，如果在學(xué)習(xí)普通代數(shù)的時(shí)候固執(zhí)于用數(shù)值檢驗(yàn)未知數(shù)x，并不能讓你真正領(lǐng)會(huì)x的精神，只有直接用x來進(jìn)行運(yùn)算，才能在此基礎(chǔ)上領(lǐng)會(huì)高級(jí)的直觀。抽象代數(shù)的學(xué)習(xí)也需要領(lǐng)會(huì)相應(yīng)的高級(jí)直觀，這里的直觀重在代數(shù)的結(jié)構(gòu)，因此初學(xué)者就應(yīng)該特別注意那些關(guān)于結(jié)構(gòu)的定理。第一個(gè)結(jié)構(gòu)定理大概就是同態(tài)基本定理，由此可以更加深刻的理解商群。此后，一

5、個(gè)非常自然的結(jié)構(gòu)定理就是有限Abel結(jié)構(gòu)定理，如果你能夠依據(jù)此定理確定任意Abel群的結(jié)構(gòu)，那么可以說你基本上已經(jīng)算是入門了。此后，就可以考慮對(duì)付非Abel群的武器，最初級(jí)的武器共軛類，由此衍生出正規(guī)子群的概念，而更加深刻的武器則是Sylow定理。僅僅作為入門的話，能理解Sylow定理也應(yīng)該算是足夠了。 【結(jié)構(gòu)定理是抽象代數(shù)的核心。需要用高級(jí)的直觀來理解抽象的東西，不過借助低級(jí)直觀能幫助我們理解抽象的東西，從而建立高級(jí)直觀?！? 群的上面還有環(huán)、域、模等代數(shù)結(jié)構(gòu)，這里只是簡(jiǎn)單提一下它們之間的關(guān)系。如果說群是青少年的話（半群就是兒童了）；那么環(huán)與域就是中年人，除了加法之外還增加了一個(gè)乘法；而

6、模與向量空間則是老年人，它把環(huán)或域作為系數(shù)，自身還保留有類似群的加法。這里我要提醒一下，Abei群其實(shí)有著雙重身份，它作為群的同時(shí)又是一個(gè)整數(shù)環(huán)Z上的模，不妨就管他叫老頑童吧。如果像群變環(huán)那樣，在模上面再引入一個(gè)乘法會(huì)怎么樣呢？也不知為什么，得到的東西就干脆的稱為代數(shù)。 其實(shí)，只要能把注意把握結(jié)構(gòu)，抽象代數(shù)的入門應(yīng)該不是太困難，我甚至提議數(shù)學(xué)專業(yè)課是不是可以一開始就群論講起，這可以促使學(xué)生盡早完成代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變。只要走過了這道門檻，后面還有更加豐富多彩的內(nèi)容等著你們呢！ 【抽象代數(shù)的入門就是抓住本門課的核心思想：結(jié)構(gòu)思想和抽象思維】 漫談抽象代數(shù) 你若是沒有認(rèn)真看過

7、代數(shù)，你就不能準(zhǔn)確地估計(jì)數(shù)學(xué)到底有多么深刻；你若是沒有認(rèn)真看過代數(shù)，你也不能明白為什么抽象的理論也能為人類思維所把握——代數(shù)中最不可理解的就是，代數(shù)竟然是可以理解的。 【好一個(gè)排比！突出了抽象代數(shù)的抽象性（能抓住本質(zhì)和深刻）】 代數(shù)的深刻來自數(shù)學(xué)思想，而不是運(yùn)算——論運(yùn)算，微分和積分都比它復(fù)雜得多，這就是物理大師Feynman選擇矩陣而不是偏微分方程來給低年級(jí)本科生講述量子力學(xué)的原因（參閱Feynman物理學(xué)講義卷III，趙凱華的新概念量子物理也用的是這種講法：因?yàn)榫仃嚭痛鷶?shù)運(yùn)算更接近高中數(shù)學(xué)，幾乎每個(gè)讀過物理奧賽書的同學(xué)都會(huì)用行列式求解電路的基爾霍夫方程組——奧賽總是盡量回避微積分，必

8、要的時(shí)候就用“小量分析”代替，并且取名為“微元法”、“近似法”，但就是不說這是微積分）。其實(shí)，運(yùn)算的艱深算不得深刻，至多只能算繁瑣（譬如電力系統(tǒng)和集成電路，分析和運(yùn)算極其復(fù)雜，但用到的不過是普通物理和固體物理之類的低級(jí)知識(shí)，根本用不上相對(duì)論、量子力學(xué)、量子場(chǎng)論這類思想深刻的東西）。它沒有幾何那么直觀（因此許多人不喜歡它，嫌它太抽象），確實(shí)（對(duì)于物理學(xué)家來說），但換個(gè)角度來看，這反倒是它的優(yōu)點(diǎn)：一方面，在它的世界里，你不必?fù)?dān)心自己的空間想象能力（和你的同行相比，你的邏輯推理能力恰好可以彌補(bǔ)空間想象能力的不足）；另一方面，就數(shù)學(xué)本身而言，人類總是不可避免要面對(duì)一些高維（甚至無限維）的客體，這時(shí)，不

9、僅你想象不出來，其他人也想象不出來，這正是代數(shù)大顯身手的地方。有人說，抽象有什么好，我想象不出來。其實(shí)你那是先給自己灌輸了一個(gè)錯(cuò)誤觀念，即一個(gè)事物只有當(dāng)它可以想象出來才是真實(shí)的，才能接受。為什么非要想象出來呢？只要依循著邏輯一步步嚴(yán)密地推理就足夠了，因而這種擔(dān)心完全是不必要的。所以，你可以把數(shù)學(xué)看得很神圣，但不要把它看得很神秘——望而生畏會(huì)阻礙你的進(jìn)步。 【代數(shù)不研究具體運(yùn)算，幾何中看不中用，代數(shù)中用不中看，只需邏輯推演，無需太強(qiáng)的空間幾何想象能力】 代數(shù)的魅力就在于，深刻又易于思考，哪怕你對(duì)研究對(duì)象一無所知，也能依循著邏輯去思考——它那么簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單到只需要邏輯（除此之外再也不需要?jiǎng)e的了

10、）就能把握真理（你必須相信，純理論可以主宰世界）；但它的思想又那么深刻，深刻到所有幾何都能統(tǒng)一用變換群來描述?，F(xiàn)在覺得，幾何與代數(shù)的特點(diǎn)很像普通物理與理論物理：前者注重說明現(xiàn)象，后者注重說明本質(zhì)。譬如折射：前者注重折射現(xiàn)象（筷子放入水中后變彎了），后者注重折射定律（不管你變成什么形狀了，反正都是nsinθ=n＇sinθ＇）。曾經(jīng)我很迷戀幾何（各種奇妙曲線和曲面），就像當(dāng)初迷戀普通物理（各種奇妙現(xiàn)象）；現(xiàn)在我轉(zhuǎn)向理論物理，更愿意從純理性的角度去思考一些本質(zhì)（透過現(xiàn)象看本質(zhì)），對(duì)數(shù)學(xué)也因而更偏重代數(shù)。代數(shù)和理論物理的美是內(nèi)斂的，就像那種內(nèi)斂的人，長(zhǎng)得很抽象，你不去接近她而只是從外部看看，就不會(huì)發(fā)現(xiàn)

11、她的魅力所在。 【代數(shù)的好處深刻又易于思考，抽象的好處是能抓住本質(zhì)，透過現(xiàn)象看本質(zhì)。】 抽象有什么好？抽象可以使理論更加普適。什么歐式幾何、仿射幾何、射影幾何、微分幾何林林總總，眼花繚亂。它們之間就沒有聯(lián)系嗎？有！不識(shí)幾何真面目，只緣身在幾何中——必須從幾何中跳出來，才能旁觀者清。這個(gè)旁觀者就是代數(shù)。1872年，德國數(shù)學(xué)家Klein在Erlangen大學(xué)的報(bào)告中指出，一種幾何學(xué)可以用公理化方法來構(gòu)建，也可以把變換群和幾何學(xué)聯(lián)系起來，給幾何學(xué)以新的定義：給出集合S和它的一個(gè)變換群G，對(duì)于S中的兩個(gè)集合A和B，如果在G中存在一個(gè)變換f使f(A)=B，則稱A和B等價(jià)?？梢愿鶕?jù)等價(jià)關(guān)系給集合分類

12、，凡是等價(jià)的子集屬于同一類，不等價(jià)的子集屬于不同的類。將這一代數(shù)理論翻譯到幾何中，相應(yīng)的版本便是：集合S叫做空間，S的元素叫做點(diǎn)，S的子集A和B叫做圖形，凡是等價(jià)的圖形都屬于同一類（圖形等價(jià)類）。于是同一類里的一切圖形所具有的幾何性質(zhì)必是變換群G下的不變量，因而可用變換群來研究幾何學(xué)——這就是著名的Erlangen綱領(lǐng)，它支配了自它以來半個(gè)世紀(jì)的所有幾何學(xué)的研究。例如，在正交變換群下保持幾何性質(zhì)不變的便是歐式幾何，在仿射變換群下保持不變的便是仿射幾何，在射影變換群下保持不變的便是射影幾何，在微分同胚群下保持不變的便是微分幾何。 【終于了解了點(diǎn)Erlangen綱領(lǐng)的思想，即變換群下的不變量，同

13、一類中圖形的共同幾何性質(zhì)，就可以根據(jù)不變量對(duì)圖形進(jìn)行分類，圖形等價(jià)】 上面說的是圖形等價(jià)關(guān)系。代數(shù)的普遍性在于，它將各種各樣的相關(guān)的、不相關(guān)的事物放在一起比較，然后從這些個(gè)性的事物中提煉出共性的東西來，比如等價(jià)關(guān)系。除了上面提到的圖形等價(jià)關(guān)系，還有各種各樣的等價(jià)關(guān)系（如同“群公理：只要滿足能封閉、可結(jié)合、有恒元和逆元的集合就是群”一樣，只要滿足反身、對(duì)偶、傳遞這三條的關(guān)系就是等價(jià)關(guān)系——這樣簡(jiǎn)單的條件當(dāng)然很容易滿足，‘曲不高則和不寡’，所以類似的例子不勝枚舉），例如，同余等價(jià)關(guān)系。我們可以按余數(shù)給整數(shù)分類，余數(shù)相同的歸為一類，即同余類。代數(shù)對(duì)于普遍性的追求在于，發(fā)現(xiàn)同余類后并不就此止步，而

14、是精益求精，進(jìn)一步去提煉更具普遍性的概念。既然等價(jià)的圖形和等價(jià)的余數(shù)都可以歸為等價(jià)類，何不將等價(jià)類做成一個(gè)集合呢？由此，又發(fā)現(xiàn)了商集（即在一個(gè)集合中給定了一個(gè)等價(jià)關(guān)系之后相對(duì)于這個(gè)等價(jià)關(guān)系而言的等價(jià)類所構(gòu)成的集合，通俗地說就是將每一個(gè)等價(jià)類中所有點(diǎn)“粘合”為一個(gè)點(diǎn)而得到的集合，如Mbius帶和Klein瓶）、商空間（以同余類為元素構(gòu)成的集合）、商群（以陪集為元素構(gòu)成的集合）等概念。 【等價(jià)類的思想貫穿于整個(gè)代數(shù)，由此引出各種概念】 剛才說了等價(jià)關(guān)系。類似的例子還有很多，再比如說基矢。只要同類的一組元素互不相關(guān)，就能充當(dāng)空間的一組基（將一個(gè)量展開為其他量的線性組合，此即泛函分析中的譜定理）

15、，哪怕它不是向量（因而生成的不是幾何空間）也無所謂，比如它可以是一組函數(shù)（由此生成無限維空間，如量子力學(xué)中的Hilbert空間）。甚至，它可以是一個(gè)不確定（如無窮小量，要多小有多小但又不是零，到底多大只有上帝清楚）的微分元（比如dx、dy、dz，微分幾何中用到的外微分形式就是用這些微分元為基矢張成的空間——微分幾何運(yùn)算很復(fù)雜，但構(gòu)成它的理論基礎(chǔ)之一Grassmann代數(shù)并不是特別復(fù)雜）?？梢姡鷶?shù)的理論是相當(dāng)普適的。 【微分幾何=幾何+代數(shù)+分析，譜定理就是向量在基上的分解定理】 代數(shù)為什么能普適？因?yàn)樗偸峭ㄟ^不斷的抽象來提煉更加基本的概念。用哲學(xué)的話說，便是從具體到抽象，從特殊到一般

16、（例如兩個(gè)群，不論它們的元素多么地不同，只要運(yùn)算性質(zhì)相同，彼此就是同構(gòu)的，并且可以因此認(rèn)為是相同的代數(shù)對(duì)象而不加區(qū)別；不論膨脹、收縮、轉(zhuǎn)動(dòng)、反演都可以統(tǒng)一起來，那就是指數(shù)函數(shù)；不論弦振動(dòng)、聲音、流體、電磁波都可以統(tǒng)一起來，它們?cè)跀?shù)學(xué)中都是雙曲型方程）。每一次抽象都是一次“揚(yáng)棄”（留其精髓，去其平庸）的過程。比如將“距離”概念抽象化而提煉出“單比”概念，進(jìn)一步將“單比”抽象化而提煉出“交比”概念，于是，從歐式幾何中舍棄“距離不變”而保留更普遍的“單比不變”，得到仿射幾何；從仿射幾何中舍棄“單比不變”而保留更普遍的“交比”，得到一般的射影幾何。從歐式空間（長(zhǎng)度，夾角）到內(nèi)積空間（模，不嚴(yán)格的夾角）

17、再到賦范空間（范，完全拋棄夾角）也是如此，不斷的改良（抽象、提煉），一改再改，但最終改到不能再改時(shí)，就完成了一個(gè)革命——甚至連范數(shù)（最熟悉因而最不愿拋棄的度量或度規(guī)）也拋棄了，從不嚴(yán)格的距離發(fā)展到不確定的距離（鄰域δ，就像前面提到的無窮小量一樣不確定），得到了里程碑式的“拓?fù)淇臻g”的概念——有史以來最廣泛最深刻的革命！ 【每種幾何就對(duì)應(yīng)某個(gè)量的不變性，在這有了精彩闡述。因?yàn)槌橄笏云者m，因?yàn)槌橄笏砸话?，因?yàn)槌橄笏阅茏プ”举|(zhì)】 經(jīng)由歐式空間的連續(xù)函數(shù)抽象出度量空間的連續(xù)映射，一直到抽象出拓?fù)淇臻g中的同胚映射，在數(shù)學(xué)史上經(jīng)歷了很長(zhǎng)時(shí)間才完成。無獨(dú)有偶，物理學(xué)史也是如此。且不說從經(jīng)典力學(xué)到

18、相對(duì)論、量子力學(xué)（這個(gè)過程想必大家都聽膩了），單說相對(duì)論本身也是如此。Einstein說：“為什么從狹義相對(duì)論發(fā)表到廣義相對(duì)論建立又經(jīng)歷了7年那么長(zhǎng)時(shí)間？主要原因是，要擺脫坐標(biāo)必須有直接度量意義這個(gè)舊概念是不容易的”?？磥?，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家都遇到了擺脫“度量”概念的困難，在擺脫舊概念走向新理論這一點(diǎn)上物理學(xué)界和數(shù)學(xué)界是相通的（數(shù)學(xué)界走向了拓?fù)鋵W(xué)，物理學(xué)界走向了廣義相對(duì)論）。 【了解抽象學(xué)科的各種概念是如何從具體慢慢抽象為一般的！抽象就是只關(guān)心一點(diǎn)不及其余，去掉不需要的限制】 由于每一次“揚(yáng)棄”都拋棄了一些非本質(zhì)特征而提煉出更普適的精髓特征，因而每一次抽象都是在透過現(xiàn)象看本質(zhì)，每一次提煉都

19、是一次質(zhì)的飛躍和升華，從而使由此得到的新理論更具普遍性與包容性。例如量子力學(xué)不僅能解釋經(jīng)典力學(xué)的各種現(xiàn)象，還能解釋微觀世界里特有的（不能被經(jīng)典力學(xué)或經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)解釋的）現(xiàn)象，如AB效應(yīng)。 【抽象的美！】 當(dāng)然，盡管新理論更有包容性，但也不能完全取代舊理論。比如拓?fù)鋵W(xué)就不能取代測(cè)度論。呵呵，數(shù)學(xué)界都從“everythere”退到“almost everywhere”，物理學(xué)界也不能幻想“theory of everything”吧。記得家樹兄的susy物理學(xué)筆記中有這么一句經(jīng)典臺(tái)詞：物理理論是一個(gè)無法用模型覆蓋的理論流形。果然。 【靈虛以思，還需切實(shí)以行。抽象的東西容易紙上談兵?！?

20、另外，就理論本身而言，彼此也是相通的。例如，拓?fù)淇臻g中的一些核心概念，像開集、閉集、內(nèi)部、邊界、聚點(diǎn)、覆蓋等，在度量空間（測(cè)度論）中也要考慮。呵呵，在地愿為連理枝，畢竟，我們“根，緊握在地下”——我們都是在集合論這片土地上生長(zhǎng)起來的。所以，我們應(yīng)該剛?cè)峄?jì)——你有你的可測(cè)函數(shù)，像積、像角、也像距；我有我連通的空間，像有界的閉集（緊致），又像連續(xù)的一一（同胚映射）。在你面前我常常讓著你，有時(shí)將自己各部分分開一段距離ρ放你進(jìn)去，這樣，你就得到了精神支柱（有限可加的條件）而獲得生命力（定義外測(cè)度）。 當(dāng)然，我的分離不完全為了你，還為了我外孫女——規(guī)范場(chǎng)（既然能量動(dòng)量都是我姐姐——時(shí)空平移對(duì)稱群生

21、成的，那么把數(shù)學(xué)當(dāng)成物理的母函數(shù)不過分吧）。我先把自己分開一個(gè)超級(jí)大口子，以至于每一個(gè)點(diǎn)的開鄰域都沒有交集（即得到Hausdorff空間），然后分娩出遍歷物理學(xué)各個(gè)角落的流形（局部同胚于n維歐式空間）。等她長(zhǎng)大后，就變成了纖維叢，從而生成規(guī)范場(chǎng)（所以我是規(guī)范場(chǎng)的外祖母）。 你遇到困難（如自旋、AB效應(yīng)等）常常求助于我，我總是樂于把我的致命武器——“連通性”借給你。我是這么珍愛自己這件寶貝，以至于不愿意“遺傳”給自己的兒子（子集）。不過有時(shí)也拒絕你，比如你想去類空間隔，我怕你去了之后變成虛數(shù)，就用另一件武器——“緊致性”把超光速的希望變成地平線，就算看得見也永遠(yuǎn)走不到。 盡管我能七十二變

22、（同倫、同調(diào)），但有時(shí)也求助你。比如鉆進(jìn)無底洞——Cantor三分集。這時(shí)你就用p進(jìn)位表數(shù)法將（0,1）中的點(diǎn)表成二進(jìn)位小數(shù)，就像“將（0,1）區(qū)間的點(diǎn)與（0，+∞）區(qū)間的點(diǎn)1-1對(duì)應(yīng)起來”一樣，將Cantor集合中的點(diǎn)和（0,1）區(qū)間也1-1對(duì)應(yīng)起來。 有時(shí)，我不小心鉆進(jìn)謝爾賓斯基海綿，這時(shí)你也無能為力，我就去找我弟——分形幾何。 我期望“弟子不必不如師”的喜劇在我身上重演。目前我最發(fā)愁的就是我的徒子徒孫們（四種基本相互作用）總是吵架，希望有一天它們能統(tǒng)一。當(dāng)然，前面已經(jīng)說過，數(shù)學(xué)是物理的母函數(shù)，那么沒學(xué)過我的武功的“民科”們就不要瞎摻合了。必須牢記牛魔王的遺訓(xùn)：如果說我看得更遠(yuǎn)，那

23、是因?yàn)檎驹诰奕说募绨蛏稀? 【這首詩太有趣了，而且內(nèi)涵深刻，刻畫了概念的演變過程?！? 期待物理學(xué)家們能像Klein用變換群統(tǒng)一幾何學(xué)一樣，也提出一個(gè)物理學(xué)的Erlangen綱領(lǐng)?？赡苓@個(gè)綱領(lǐng)也是變換群，比如SU(3)×SU(2)×U(1)（當(dāng)然也未必用直積，雖然直積能夠構(gòu)造更大的對(duì)稱，如SU(5)等）；或者跟變換群無關(guān)，而是扭結(jié)之類的。 參考文獻(xiàn)： [1]熊金城，點(diǎn)集拓?fù)渲v義，高等教育出版社 [2]江澤堅(jiān)，實(shí)變函數(shù)論，高等教育出版社 [3]葛顯良，應(yīng)用泛函分析，浙江大學(xué)出版社 [4]A.W.約什，物理學(xué)中的群論基礎(chǔ)，科學(xué)出版社 [5]侯伯宇、侯伯元，物理學(xué)家用微分幾何，科

24、學(xué)出版社 [6]梅向明，高等幾何，高等教育出版社 [7]張賢科、許甫華，高等代數(shù)學(xué)，清華大學(xué)出版社 [8]陳紀(jì)修.等，數(shù)學(xué)分析（下），高等教育出版社 [9]梅向明，黃敬之，微分幾何，高等教育出版社 致謝：感謝三位老師：數(shù)學(xué)系的金燕生老師（高等代數(shù)）、信息學(xué)院的邢光龍老師（群論）、物理系的吳一東老師（數(shù)學(xué)物理方法、量子力學(xué)）；感謝四位學(xué)長(zhǎng)：文中部分思想引自尤亦莊學(xué)長(zhǎng)的郵件；用數(shù)學(xué)研究物理的想法主要受牛家樹、潘逸文和李靖陽學(xué)長(zhǎng)熏陶；感謝數(shù)學(xué)系的朋友王新杰、趙春暉給了我走進(jìn)抽象世界的勇氣，尤其春暉，他初中和高中癡迷數(shù)學(xué)的經(jīng)歷一直激勵(lì)著我。當(dāng)然還有其他朋友需要感謝，不一一列舉了。

25、 抽象代數(shù)不抽象 說起代數(shù)，大家并不陌生。當(dāng)年念中學(xué)時(shí)就見過，也不抽象，不就是用字母代替數(shù)字來做事情嘛！開始時(shí),那些英文字母a,b,c和x,y,z,看起來有點(diǎn)別扭，可用習(xí)慣了，還挺親切的呢。到了大學(xué)，學(xué)了高等代數(shù)和近世代數(shù)，才知道，天還很大，地也很闊。原來在中學(xué)里可以運(yùn)算的東西，在很多對(duì)象上也能進(jìn)行； 【只要滿足運(yùn)算規(guī)則就行，不需要關(guān)心具體對(duì)象是什么，抓住本質(zhì)】 挺有趣的。在代數(shù)學(xué)中,常常是將這些共同的性質(zhì)，抽象出來，作為公理和定律的。比如，2乘3等于3乘2，用字母來寫就是ab=ba,在近世代數(shù)里叫它為“交換律”。滿足交換律的代數(shù)對(duì)象，身邊的就有不少；不過，還有好多其他的規(guī)律呢,挺

26、好玩的。想要知道更多、更有趣的東西,那就得再學(xué)點(diǎn)《抽象代數(shù)》、等等。 【任何抽象的東西都是有實(shí)際的數(shù)學(xué)、物理、工程背景的】 《抽象代數(shù)》不抽象，這是為何？首先，“抽象”的意思并不是通常人們所理解的抽象，即“具體”的反義詞。其實(shí)這里的抽象代表的是將研究對(duì)象的本質(zhì)抽煉出來，加以高度概括，來描述其形象。舉個(gè)例子來說吧，整數(shù)有很多性質(zhì)，其中這整數(shù)的帶余除法大家都知道：兩個(gè)整數(shù)a和b，如果b不為零，一定有一個(gè)整數(shù)q和一個(gè)非負(fù)整數(shù)r使得a=qb+r,其中0≤r<|b|.可當(dāng)你學(xué)了實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)規(guī)則，對(duì)于多項(xiàng)式也是對(duì)的。于是，人們?yōu)榱藢⑦@樣一大類的研究對(duì)象來統(tǒng)一處理，就引入了“歐氏

27、環(huán)”這個(gè)概念，并將上面的這一條作為它的公理。這樣一來，你就可以象在整數(shù)環(huán)上一樣，做歐氏環(huán)的除法、因子分解,等等。許多的定理和結(jié)論，你也不必分別對(duì)整數(shù)、多項(xiàng)式等來一一驗(yàn)證，只要能知道它是歐氏環(huán)，那么相應(yīng)的結(jié)論都對(duì)，真是省力又省時(shí)。再如，你知道，怎樣從整數(shù)來做分?jǐn)?shù)，這個(gè)辦法在抽象代數(shù)里，通過提取最核心的東西，可以在任意的交換環(huán)上來做，即也有“分?jǐn)?shù)”這個(gè)概念。這兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子說明，抽象代數(shù)也是具體的，并非不可琢磨。相反，這“抽象”概括的能力卻是人人應(yīng)該具備的。 【抽象代數(shù)的好處，給了幾個(gè)例子?！? 可不是嘛!當(dāng)你求職面試或做其它事務(wù)時(shí),可能要面對(duì)一大堆的信息和資料,你無法全都記住它們。也許,你會(huì)

28、用現(xiàn)代的掌上電子設(shè)備將所有信息保存下來,但你總不能當(dāng)著老板的面,拿出微型電子筆記本,邊看邊談話吧!所以,你就得抽象概括這些信息的要害,總結(jié)出幾條。只要掌握住這幾條,其它的就可以臨場(chǎng)發(fā)揮了。從抽象代數(shù)的角度來看,就是說，你得抽象出“公理”，以此為基點(diǎn)，進(jìn)行運(yùn)作。這就是通常人們所說的，你得有會(huì)抓住主要問題的能力。 【抓住本質(zhì)也就是抓住那幾條公理，其余都可以由此推導(dǎo)出來】 如果你上研究生,讀更深的抽象代數(shù),你會(huì)發(fā)現(xiàn),許多的概念都來自現(xiàn)實(shí)生活,一個(gè)典型的例子就是“路代數(shù)”,它極其形象地表示出了一類代數(shù)的“象”。關(guān)于這個(gè)例子的細(xì)節(jié)，大家可以查看有關(guān)表示論的普通書籍。而且抽象代數(shù)，它把許多問題都納入

29、一個(gè)大的框架，進(jìn)行統(tǒng)籌安排、統(tǒng)一處理；不是一個(gè)問題，一個(gè)方案，而是一類問題一個(gè)方案。這種思維方式，也許，對(duì)于今后要做企業(yè)的高層管理者來說，更為需要，因?yàn)樵谟邢薜臅r(shí)間里，你是無法對(duì)每一個(gè)具體的事情都來設(shè)計(jì)一個(gè)方案的。 【需要普適性，每件事弄一個(gè)太費(fèi)時(shí)費(fèi)力了，利用到生活中】 但是，要學(xué)好抽象代數(shù)，你別以為就象讀報(bào)看雜志一樣，它畢竟是一門數(shù)學(xué)課程，你得花點(diǎn)力氣！首先，要概念清楚，其次，要掌握一些典型的具體例子，第三，也是最重要的，就是要多思考，多聯(lián)想，達(dá)到理解。更深的一步是，你得學(xué)著用它來做點(diǎn)事情。（在這里，解說一下，為什么要學(xué)習(xí)一些例子，一般說來，你是無法一下子完全理解所學(xué)的東西的。通過學(xué)習(xí)

30、一個(gè)典型的例子，來幫助你了解、體會(huì)和理解所學(xué)的東西的含義和它的實(shí)質(zhì)。這就象一個(gè)高層管理者“無法對(duì)每一個(gè)具體的事情都來設(shè)計(jì)一個(gè)方案”一樣，而是通過處理一、兩個(gè)個(gè)案來推動(dòng)整個(gè)企業(yè)在這一方向上的發(fā)展。） 【抽象代數(shù)學(xué)習(xí)方法：清楚概念，掌握具體例子、多思考聯(lián)想聯(lián)系到理解、應(yīng)用。例子和理論是相輔相成的?！? 相信你自己，學(xué)習(xí)《抽象代數(shù)》沒商量！ 抽象代數(shù)的人間煙火 李尚志 北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 北京, 100191 摘 要 抽象代數(shù)課如果只是死記硬背一些自己根本不懂的定義，沒有例子，沒有計(jì)算，不會(huì)解決任何問題，這樣的抽象代數(shù)只能給零分。 抽象代數(shù)能不能有

31、既體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、又引人入勝的例子？本文介紹的就是這樣的例子。 【抽象代數(shù)入門：懂定義、知例子、會(huì)計(jì)算、能解決問題】 關(guān)鍵詞：抽象代數(shù)，精彩案例 某校有一個(gè)被保送讀研的學(xué)生參加我們的面試。我問她哪門課程學(xué)得最好。答曰“抽象代數(shù)”。不等我問問題，她就開始自問自答，開始背誦群的定義。我馬上制止她，說不要你背定義，只要你舉例。讓她舉一個(gè)非交換群。舉不出來。舉一個(gè)有限域，舉不出來。我說：這兩個(gè)例子舉不出來，抽象代數(shù)零分! 她大惑不解，說：“抽象代數(shù)就是沒有例子嘛！”她大概認(rèn)為我學(xué)的是假的抽象代數(shù)，她學(xué)的真的抽象代數(shù)就是死記硬背一些自己根本不懂的定義，沒有任何例子，不解決任何問題，也沒有任何前因

32、后果。 【學(xué)習(xí)一個(gè)概念后需要記幾個(gè)典型的例子】 如果只是少數(shù)學(xué)生這樣認(rèn)為，可以怪她自己學(xué)得不好。問題的嚴(yán)重性在于：持這樣觀點(diǎn)的學(xué)生不是一兩個(gè)，也不是10%--20%，我估計(jì)：學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的大學(xué)生中有90%都持這種觀點(diǎn)，只不過這個(gè)學(xué)生將這種觀點(diǎn)總結(jié)得特別明確、特別精彩而已。這恐怕就不能怪學(xué)生，而應(yīng)當(dāng)從教材和教學(xué)中找原因了。 現(xiàn)有的抽象代數(shù)教材，不是沒有例子。這些例子本來就很精彩。三等分角的尺規(guī)作圖，五次方程的求根公式，這是迄今為止一些“民間科學(xué)家”還在花費(fèi)畢生精力苦心鉆研的世界“難題”，早就被抽象代數(shù)解決了，這還不夠精彩嗎？密碼、編碼中的理論和實(shí)踐，抽象代數(shù)大顯身手，也夠精彩了。但是，這些

33、精彩問題的解答敘述起來太難，學(xué)生不容易懂。要講清楚，課時(shí)也不夠。只有少數(shù)名牌大學(xué)的抽象代數(shù)課程還稍微講一些，在其余的學(xué)校，就將抽象代數(shù)這些精華和靈魂砍掉了，只剩下最容易講的：讓學(xué)生死背一些自己也不懂的定義?？荚囈膊豢加弥R(shí)解決問題，只考背定義。抽象代數(shù)就不是數(shù)學(xué)課，而是識(shí)字課，只要死記硬背就行了。金庸的武俠小說《射雕英雄傳》中的武功秘籍《九陰真經(jīng)》中有一段用梵文寫的話：“努爾七八,哈瓜兒,寧血契卡,混花察察,學(xué)根許八涂,米爾米爾?！敝灰J(rèn)識(shí)字，小學(xué)生也可以化功夫死記硬背下來，但是根本不懂它的意思，更不可能照著去練習(xí)，難道就因?yàn)楸呈炝诉@些句子就成了武功高手嗎？顯然不是。同樣，死記硬背抽象代數(shù)教材

34、中的定義而根本不懂它的意思，舉不出一個(gè)例子，不會(huì)用來解決任何一個(gè)問題，這樣學(xué)習(xí)的抽象代數(shù)就是假冒的，通通都應(yīng)當(dāng)給零分！ 這些年來，我們?cè)诔橄蟠鷶?shù)課程建設(shè)中所做的全部努力，就是要破除這種“就是沒有例子”的假抽象代數(shù)。我們?nèi)〉玫闹饕煽?jī)，就是積累了一批既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、又為學(xué)生喜歡的案例。下面是其中的一部分案例。 【抽象代數(shù)的應(yīng)用】 1. 幻方一變八----正方形的對(duì)稱群 我在抽象代數(shù)考試中考過這樣的題：將如下的3階幻方通過旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱變出盡可能多的不同的幻方。 【旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱就構(gòu)成了對(duì)稱群，各種代數(shù)概念自然引入】 2 9 4 7 5 3 6 1 8 這不是考小學(xué)

35、奧數(shù)。而是考正方形的對(duì)稱群：旋轉(zhuǎn)90o,180o,270o得到3個(gè)新的幻方，關(guān)于第2行、第2列、兩條對(duì)角線做軸對(duì)稱得到4個(gè)新的幻方，包括原來的幻方在內(nèi)一共可以得到8個(gè)。 為什么只能得到8個(gè)而不能得到更多? 通過旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱只能將左上角的2變到4個(gè)不同的位置(正方形的4個(gè)角)。將2固定在每個(gè)角不動(dòng)，只能通過軸對(duì)稱得到2個(gè)不同的幻方，4組總共2×4=8 個(gè)。這實(shí)際上是說：將正方形變到與自己重合，有8個(gè)不同的動(dòng)作。這8個(gè)動(dòng)作組成的集合對(duì)乘法(復(fù)合)與求逆運(yùn)算封閉，組成一個(gè)群。其中保持2不動(dòng)的動(dòng)作組成一個(gè)2階子群，將2變到同一個(gè)位置的動(dòng)作組成一個(gè)陪集。非交換群、子群與陪集、子群的元素個(gè)數(shù)2是整個(gè)群的

36、元素個(gè)數(shù)8的因子。這些概念和知識(shí)都自然而然引入了。 類似地，可以計(jì)算正方體的對(duì)稱群或者旋轉(zhuǎn)群的元素個(gè)數(shù)，或者任意正多邊形和正多面體的對(duì)稱群的元素個(gè)數(shù)。特別，正三角形的對(duì)稱群由三個(gè)頂點(diǎn)的所有置換組成，就是元素最少的非交換群S3。 2．0與1的算術(shù)----二元域（只關(guān)心奇偶性） 許多人說有限域是抽象代數(shù)最后一節(jié)課講的，最難，沒學(xué)好情有可原，考試也不應(yīng)當(dāng)考。其實(shí)有限域最容易講，最有趣，最有用，最有抽象代數(shù)味道，可以在抽象代數(shù)課第一節(jié)課第一分鐘講。我的抽象代數(shù)考試每次必考有限域。 小學(xué)生都懂得奇偶數(shù)的運(yùn)算規(guī)律：偶+偶=偶，偶+奇=奇，奇+奇=偶; 偶×整數(shù)=偶，奇×奇=奇。將偶數(shù)用0表示

37、，奇數(shù)用1表示，就得到：0+0=0, 0+1=1, 1+1=0; 0×a=0 (a=0或1),1×1=1。按這樣的運(yùn)算公式，兩個(gè)元素0,1組成的集合Z2就對(duì)加、減、乘、除封閉，Z2就是二元域，最簡(jiǎn)單的有限域。 我的導(dǎo)師曾肯成教授出過一個(gè)題：求隨機(jī)整數(shù)組成的n階行列式為奇數(shù)和偶數(shù)的概率。貌似概率題，其實(shí)是代數(shù)題。將行列式中的偶數(shù)用0表示，奇數(shù)用1表示，行列式為奇數(shù)(也就是等于1)就是二元域上可逆矩陣，充分必要條件就是各行線性無關(guān)。歸結(jié)為二元域上的線性代數(shù)題。另一個(gè)例子是：在二元域上解齊次線性方程組，得到糾錯(cuò)碼的一個(gè)設(shè)計(jì)方案。二元域在信息與計(jì)算機(jī)科學(xué)中至關(guān)重要。會(huì)算1+1=0，就懂了一點(diǎn)真正的抽

38、象代數(shù)。 為什么兩個(gè)整數(shù)a,b的和、差、積的奇偶性只與a,b的奇偶性有關(guān)而與奇數(shù)與偶數(shù)的不同取值無關(guān)？將a,b分別用它們除以2的余數(shù)r,s代表（r,s取值為0或1），寫成a=r+偶，b=s+偶的形式，則a±b=(r+偶)±(s+偶)=(r±s)+(偶±偶)，ab=(r+偶)(s+偶)= rs+r×偶+偶×s+偶×偶。不論其中的“偶”取什么偶數(shù)值，總有：偶±偶=偶，偶×整數(shù)=偶，就好象0±0=0, 0×數(shù)=0一樣?？梢詫⑺闶街械摹芭肌笨醋?來運(yùn)算，得到a±b = (r±s)+偶，ab = rs+偶。也就是說：將a,b 替換成與它們奇偶性相同的0或1進(jìn)行運(yùn)算，得到的和、差、積的奇偶性不變。這件事

39、可以推廣：a,b取值的整數(shù)集合Z替換成對(duì)合法的加法與乘法封閉的任意集合D，稱為環(huán); 偶數(shù)集合替換成D中具有類似于0的運(yùn)算性質(zhì)O±O=O，D×O=O的子集O，稱為理想。D中兩個(gè)元素a,b的差如果在O中，就將a,b“看成”同一類，得到的同余類組成的集合可以定義加、減、乘運(yùn)算，這就是商環(huán)D/O。特別，當(dāng)D=Z，O=nZ時(shí)，商環(huán)D/O 就是整數(shù)模n的同余類環(huán)Z n 。另一個(gè)重要例子：D是在某點(diǎn)c連續(xù)的全體全體實(shí)函數(shù)f(x)組成的環(huán)，記Dx=x－c，O(Dx)與o(Dx)分別是當(dāng)Dxà0時(shí)的無窮小量和高階無窮小量組成的集合，則O(Dx)與o(Dx)都是D的理想，同余式f(x)≡a (mod O(Dx))

40、表示當(dāng) xàc時(shí)f(x)的極限是a，而f(x)≡a+bDx (mod o(Dx)) 表示b是f(x)在c的導(dǎo)數(shù)。 3．從凱撒密碼談起-----整數(shù)的同余類。 密碼的重要性不容置疑，神秘性也令人向往。最早的一種簡(jiǎn)單密碼是凱撒設(shè)計(jì)的，加密方案是將每個(gè)英文字母用它后面第3個(gè)字母代替。將26個(gè)字母依次用整數(shù)模26的各個(gè)同余類表示，凱撒密碼的加密就可以用最簡(jiǎn)單的加法函數(shù)y = x+3 表示，解密函數(shù)為x = y－3。更進(jìn)一步，可以用Z26上的一次函數(shù)y=ax+b加密，其中a可逆，稱為仿射密碼。例如3×9 =1就說明9=3-1，加密函數(shù)y=3x+5的解密函數(shù)就是 x=9(y-5)。Z26中的乘法可

41、逆元組成乘法群Z26*，由與26互素的整數(shù)所在的同余類組成。更進(jìn)一步，可以將若干個(gè)字母對(duì)應(yīng)的同余類組成列向量X，用矩陣運(yùn)算Y=AX+B來加密，其中A的行列式在Z26*中。也可以將信息寫成二元域Z2上的列向量，用Z2上的矩陣運(yùn)算Y=AX+B加密。 更一般地，討論Zn的乘法群Zn*。特別，當(dāng)n為素?cái)?shù)p時(shí)，Zp中的p-1個(gè)非零元都可逆，組成乘法群Zp*。Zp是有限域，Zp*中的元素都可以寫成一個(gè)元素的冪，Zp*是循環(huán)群。在另一種情形，n = pq是兩個(gè)素?cái)?shù)p,q的乘積，為了討論Zn及其乘法群Zn*的構(gòu)造，將每個(gè)整數(shù)a除以p,q各得到一個(gè)余數(shù)r,s，將a對(duì)應(yīng)到“坐標(biāo)”(r,s)，就建立了環(huán)同態(tài) Zà

42、Zp×Zq ，進(jìn)而得到環(huán)同構(gòu) ZnàZp×Zq，這就引出了中國剩余定理，環(huán)同態(tài)基本定理，環(huán)的直積。進(jìn)而可以討論Zn上的冪函數(shù)y=xm 是可逆變換的條件，得到RSA公鑰密碼。 4．復(fù)數(shù)的幾何模型--- 同構(gòu)、同態(tài)與單位根群 中學(xué)數(shù)學(xué)強(qiáng)行定義i2=–1，不解釋這種定義的合理性。其實(shí)，很容易給出i2 =–1的一個(gè)幾何解釋：–1乘向量是向后轉(zhuǎn)180度; 用i表示向左轉(zhuǎn)90度, 則i2就是向后轉(zhuǎn)180度，就是–1。這其實(shí)是將虛數(shù)單位i用“左轉(zhuǎn)90度”的線性變 求逆運(yùn)算，是復(fù)數(shù)域C與它的幾何版本(由線性變換組成)和矩陣版本(由矩陣組成)之間的環(huán)同構(gòu)、域同構(gòu)。 【復(fù)數(shù)域C與它的幾何版本(由線

43、性變換組成)和矩陣版本(由矩陣組成)之間的環(huán)同構(gòu)、域同構(gòu)，這很精彩?。。?！】 在這個(gè)同構(gòu)下，復(fù)數(shù)cosa + i sina 對(duì)應(yīng)的變換是旋轉(zhuǎn)角a, 其 n次冪就是旋轉(zhuǎn)na, 由此立即得到 (cosa + i sina ) n = cos na + i sin na (棣美弗公式)及其矩陣版本 。 由旋轉(zhuǎn)角a到復(fù)數(shù)cosa+isina 的對(duì)應(yīng)關(guān)系f具有性質(zhì)f(a+b) = f(a)f(b)，將實(shí)數(shù)的加法對(duì)應(yīng)到復(fù)數(shù)的乘法，這說明加法與乘法本質(zhì)上是一回事（都滿足結(jié)合律與交換律，加法的0對(duì)應(yīng)于乘法的1，加法的負(fù)元對(duì)應(yīng)于乘法的逆元），對(duì)加減法封閉的與對(duì)乘除法封閉的集合同樣都稱為群。以上對(duì)應(yīng)關(guān)系

44、f是實(shí)數(shù)加法群R到表示旋轉(zhuǎn)的(模為1)的復(fù)數(shù)乘法群P的同態(tài)，同態(tài)核為2p的全體整倍數(shù)2pZ。將相差2p 的整倍數(shù)的角a對(duì)應(yīng)于同一個(gè)復(fù)數(shù)f(a)。將相差2p 的整倍數(shù)的角a看成相等，組成一個(gè)同余類，得到同余類集合R/2pZ到P的1-1對(duì)應(yīng)s 并且保持運(yùn)算(將加法變到乘法)，s 是群同構(gòu)R/2pZàP。這就是群同態(tài)基本定理。 既然群同態(tài)f將2p 的整數(shù)倍2kp 對(duì)應(yīng)到1，求1的n次方根也就相當(dāng)于將2kp 除以n，得到的方根為f(2kp/n) = cos(2kp/n)+isin(2kp/n)= wk ，讓k取遍n個(gè)值0,1,2,…,n-1就得到n個(gè)不同的方根，稱為n次單位根，它們都可以寫成其中一個(gè)

45、根 w = cos(2p/n)+isin(2p/n) 的整數(shù)次冪，其幾何意義就是旋轉(zhuǎn)2kp 的n分之一。對(duì)應(yīng)關(guān)系 f ：k à wk 是整數(shù)加群到單位根乘法群的同態(tài)，同態(tài)核由n的全體整數(shù)倍組成。讓相差n的整倍數(shù)的整數(shù)組成一個(gè)同余類，得到同余類 Z n的加法群到單位根乘法群的同構(gòu)，這是群同態(tài)基本定理又一個(gè)例子。 5. x15-1在有理數(shù)范圍內(nèi)的因式分解 x15－1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解為一次因子的乘積(x－1)(x－w)…(x－w n-1 )，每個(gè)一次因子x－wk對(duì)應(yīng)于一個(gè)15次單位根wk，每個(gè)wk 的在乘法群中的階d都是15的因子，共有4個(gè)不同的值1,3,5,15。將15個(gè)根按階的不同值分成

46、4類，以階是d的單位根為根的一次因子的乘積記為Fd(x)，稱為分圓多項(xiàng)式，分別等于F1(x) = x－1，F(xiàn)3(x) =(x3－1)/(x－1)=x2+x+1，F(xiàn)5(x) = (x5－1)/(x－1)= x4+x3+x2+x+1，F(xiàn)15(x)=(x15-1)/ F1(x) /F3(x)/ F5(x) = x8-x7+x5-x4+x3-x+1，都是有理整系數(shù)多項(xiàng)式。x15－1分解為這4個(gè)有理系數(shù)因式的乘積。 6．無限循環(huán)小數(shù)--- p元域乘法群中的元素的階 分?jǐn)?shù)化小數(shù)，得到的無限小數(shù)為什么一定循環(huán)？循環(huán)節(jié)的長(zhǎng)度有何規(guī)律？這是小學(xué)算術(shù)中的問題。其中的奧妙卻需要抽象代數(shù)來解釋。 怎樣描述小

47、數(shù)的循環(huán)性質(zhì)？例如，無限循環(huán)小數(shù)a=0.090909…以09為循環(huán)節(jié)，這可以描述為：將a的小數(shù)點(diǎn)往右移動(dòng)兩位得到的102a=9.0909…與a的小數(shù)部分相同，差102a－a=09為整數(shù)，并且就是循環(huán)節(jié)。一般地，要使既約分?jǐn)?shù)m/n 化成的小數(shù)a是純循環(huán)小數(shù)，只要存在正整數(shù)d使10da-a=(10d -1)m/n是整數(shù)，也就是10d =1在同余類環(huán)Zn中成立。當(dāng)n與10互素時(shí)10是Zn中的可逆元，滿足條件的最小正整數(shù)d就是10在Zn的乘法群中的階，必然是f(n)的因子。當(dāng)n為素?cái)?shù)p時(shí)f(p)=p－1，m/p的循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度是p－1的因子。如果n與10不互素，則有足夠大的正整數(shù)k使10km/n約分后得到

48、的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)m1/n1數(shù)的分母與10互素，化成的無限小數(shù)10ka的小數(shù)部分是純循環(huán)小數(shù)，a=m/n由這個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)往左移動(dòng)k位之后得到，是混循環(huán)小數(shù)。 以真分?jǐn)?shù)m/7為例。10的1,2,…,6次冪被7除的余數(shù)依次為3,2,6,4,5,1，說明10在乘法群Z7*中的階為6，由m/7 展開的小數(shù)的循環(huán)節(jié)為 (106－1)m/7=142857m，是142857的m倍(m=1,2,…,6)。D=142857是1/7的小數(shù)展開式a=0.142857…的循環(huán)節(jié)。對(duì)正整數(shù)k=1,2,…,5，將D=142857的前k位移到末尾得到的6位數(shù)Dk就是10ka－qk =10k/7－qk = rk / 7的循環(huán)

49、節(jié)，等于D=142857的rk倍，其中qk,rk分別是10k被7除的商和余數(shù)。當(dāng)k=1,2,…,5時(shí)rk依次為3,2,6,4,5，因此將142857的前k位移到末尾依次得到142857的3,2,6,4,5倍。 一般地，當(dāng)n與10互素時(shí)，將1/n的循環(huán)節(jié)D的前若干位移到末尾得到的整數(shù)都是D的整倍數(shù)。如果n是素?cái)?shù)p，且10是乘法群Zp*的生成元，階是p－1，則1/p的循環(huán)節(jié)D的2,3,…,p－1倍都可以由D的前若干位移到末尾得到。p=7就是如此。試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)p=17,19時(shí)也是如此，1/17與1/19的循環(huán)節(jié)0588235294117647,052631578947368421也有類似性質(zhì)。 1/

50、7的循環(huán)節(jié)142857還有另外的神奇性質(zhì)：將它平均分成兩段的和142+857=999，平均分成3段之和14+28+57=99，全都由9組成！不難證明，這個(gè)性質(zhì)可以推廣到別的1/p 。 抽象代數(shù)學(xué)習(xí)方法 近世代數(shù)又稱為抽象代數(shù)，最突出的特點(diǎn)是抽象，也是學(xué)習(xí)中的主要難點(diǎn)。相對(duì)分析而言，近世代數(shù)對(duì)論證和推導(dǎo)的技巧性要求不高。因此，在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，主要是要適應(yīng)抽象思考和表述，為此都要特別注意抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)的具體例子，以及隨時(shí)歸納總結(jié)學(xué)過具體數(shù)學(xué)對(duì)象(例如高等代數(shù)中學(xué)過的數(shù)域、線性空間、對(duì)偶空間等)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。 【抽象代數(shù)學(xué)習(xí)方法】 下列幾點(diǎn)可以在學(xué)習(xí)

51、和復(fù)習(xí)時(shí)留意。 1透徹理解運(yùn)算的概念和性質(zhì)。運(yùn)算的性質(zhì)是代數(shù)的核心，所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)就是定義了運(yùn)算的某種集合。運(yùn)算的定義很簡(jiǎn)單但有些抽象，就是集合與自身的直積到該集合的映射。運(yùn)算性質(zhì)中，最重要的應(yīng)該是結(jié)合律，如果結(jié)合律不成立，多次運(yùn)算的結(jié)果取決于運(yùn)算的順序，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)很少有實(shí)際意義。因此，結(jié)合律往往是近世代數(shù)中所研究運(yùn)算必備的性質(zhì)。交換律是種特殊的性質(zhì)，并非普遍成立，知道矩陣乘法和變換復(fù)合的對(duì)此應(yīng)該不陌生；但在學(xué)矩陣乘法之前，所有數(shù)字的運(yùn)算都滿足交換律，因此有先入為主的誤解。分配律描述2種運(yùn)算直接關(guān)系。運(yùn)算的屬性還包括特殊元素的存在性，特殊元素指與參與運(yùn)算后但不改變結(jié)果的元素(零元或單位元)，

52、以及與特定元素運(yùn)算后結(jié)果為前述元素的元素(負(fù)元或逆元)；注意到交換律不成立時(shí)，前述元素有左、右之分。 2把握住同構(gòu)和同態(tài)。近世代數(shù)只關(guān)注代數(shù)結(jié)構(gòu)，因此代數(shù)結(jié)構(gòu)相同的數(shù)學(xué)對(duì)象，即與運(yùn)算關(guān)聯(lián)的性質(zhì)相同，在近世代數(shù)中就不必加以區(qū)分。代數(shù)結(jié)構(gòu)相同的確切描述就是同構(gòu)，2個(gè)集合間保持運(yùn)算的雙射。更弱些，只保持運(yùn)算的映射稱為同態(tài)。所謂保持運(yùn)算，是指先運(yùn)算再求映射下的像與先求映射的像再運(yùn)算結(jié)果相同。有些情形，同態(tài)滿射本身也是個(gè)有用的概念。因?yàn)殚_始時(shí)掌握的代數(shù)結(jié)構(gòu)比較少，難以理解同構(gòu)的重要性。但學(xué)了群論就會(huì)知道，任何有限群與某個(gè)置換群同構(gòu)，原則上只需要研究具體的置換群就可以得到所有抽象的有限群的性質(zhì)。 3對(duì)

53、具體數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)如群、環(huán)和域，注重它們的子結(jié)構(gòu)。子結(jié)構(gòu)的核心要求是運(yùn)算的封閉性和特殊元的存在性。與子結(jié)構(gòu)相關(guān)的還有等價(jià)分類和擴(kuò)張等。這樣，就能理解群論中的陪集和商群、環(huán)論中的理想和商環(huán)、域論中的擴(kuò)域等。 當(dāng)年我對(duì)數(shù)學(xué)的膚淺理解，認(rèn)為深刻就是抽象。因此比較喜歡形式化的東西。對(duì)抽象代數(shù)非常感興趣，看的書多，做的題目也多。教材是用張禾瑞的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》。篇幅比較小，內(nèi)容也不多，習(xí)題少而且不難，認(rèn)真的學(xué)生很容易都做1遍。上課的是位學(xué)問很好的老先生，學(xué)校僅有的少數(shù)副教授之1。傳說是曾肯成的學(xué)生。不過，我這種非常感興趣的學(xué)生都難以欣賞老先生的學(xué)問，對(duì)其他人可能更是白講了。 我自己主要參考的是吳品三的

54、《近似代數(shù)》。作者與張禾瑞先生都是北京師范大學(xué)的。我感覺該教材青出于藍(lán)。最大的優(yōu)點(diǎn)是例題習(xí)題組織的好，特別是習(xí)題，量比較大，而且有難度梯度。我記得習(xí)題基本都做了。如果非說缺點(diǎn)，就是啟發(fā)性方面差些，引入許多結(jié)構(gòu)，讓人只知其然不知其所以然。 另1本我挺喜歡的書是武漢大學(xué)熊全淹先生的《近似代數(shù)》。與前面2本純粹的教材有些不同，有些像專著，因?yàn)樵摃空掠袇⒖嘉墨I(xiàn)。雖然這些文獻(xiàn)我1篇也沒有看，但感覺還是很好。該書習(xí)題不多，但有些有答案或提示，比前2本教材更教材。該書內(nèi)容比前2本也多些，但比較深的內(nèi)容我都沒有仔細(xì)看。 國外最接近教材的是Jacobson的3卷本的第1冊(cè)，用的是文革前的漢譯本。后來也

55、有修訂版的影印本，但沒有特別仔細(xì)看。老譯本在教學(xué)法方面與張禾瑞的書接近，內(nèi)容當(dāng)然要多些。說實(shí)話，我并不是很欣賞，只是覺得例子所涉及的數(shù)學(xué)背景知識(shí)似乎稍多些。新版本BasicAlgebra1在習(xí)題方面有很大改進(jìn)，到底作者是Yale的教授。我覺得是很好的入門書，但可惜當(dāng)時(shí)我已經(jīng)有比做習(xí)題更有意思的事情了。 還翻過VanderWaerden的名著《代數(shù)學(xué)》。我買的版本還沒有列入“數(shù)學(xué)名著譯叢”。我對(duì)書的優(yōu)劣似乎有本能的感覺，看到這本書，就感覺是本偉大的書。但讀過前面些內(nèi)容，感覺自己的數(shù)學(xué)成熟性還差些火候。就暫時(shí)沒有下功夫攻讀。在這種研究生層次上的代數(shù)教材還翻過2本。1本是俄國群論專家?guī)炻迨驳摹兑?/p>

56、般代數(shù)學(xué)講義》，另1本是吉林大學(xué)謝邦杰先生的《抽象代數(shù)學(xué)》。前者面比較廣，似乎不是很難。謝先生的書對(duì)我而言過于艱深，第1章有些集合論的內(nèi)容如選擇公理就把我難住了。 我最喜歡的代數(shù)書是Birkhoff和MacLane的《近世代數(shù)概論》，人民教育出版社有分成上下冊(cè)的漢譯本。該書不是嚴(yán)格意義上的近世代數(shù)，只討論群、環(huán)、域等抽象結(jié)構(gòu)。是用抽象觀點(diǎn)寫的代數(shù)學(xué)，還包括數(shù)、多項(xiàng)式、線性空間、矩陣、變換、行列式、標(biāo)準(zhǔn)型等，基本上相當(dāng)于國內(nèi)的高等代數(shù)和近世代數(shù)。習(xí)題很多，有1300多道。多數(shù)不是很難。我曾想把題目都解1遍，本子都準(zhǔn)備好了，但還是沒有做。很長(zhǎng)時(shí)間，我都把該書當(dāng)成某種枕中秘籍，有空就看看。似乎還

57、看過盜版的影印英文版。近年也出了合法的影印本，我也買了本。這樣本給過帶來快樂的書，更不用說2位大師級(jí)的作者，應(yīng)該有這樣的禮遇。只是，該書明明只是 【各種好的代數(shù)教材】 第4版，國內(nèi)版本悍然宣稱是第5版。 附：數(shù)學(xué)專業(yè)參考書整理推薦5：代數(shù)2 近世代數(shù)：不光是數(shù)學(xué)系最重要的幾門課，而且在計(jì)算機(jī)方面有很多應(yīng)用，通常的離散數(shù)學(xué)第二部分就是近世代數(shù)內(nèi)容，也叫抽象代數(shù)。 1《近世代數(shù)引論》馮克勤 2《近世代數(shù)》熊全淹 3《代數(shù)學(xué)》莫宗堅(jiān) 4《代數(shù)學(xué)引論》聶靈沼 5《近世代數(shù)》盛德成 近世代數(shù)概論前言 “我們始終力求表達(dá)各種常用的定義的構(gòu)思背景。為此，我

58、們盡可能用較多的熟悉的例子說明每個(gè)新術(shù)語。這在基礎(chǔ)教材里特別重要，因?yàn)樗梢哉f明一切抽象概念都來源于對(duì)具體情況的分析。 【實(shí)際背景】 “為了提高學(xué)生按照新概念獨(dú)立思考的能力，每個(gè)課題里我們都編入廣泛多樣的習(xí)題。這些習(xí)題中，一些用來計(jì)算，一些用來進(jìn)一步尋找新概念的例子，另一些給出附加的理論推導(dǎo)，后一種類型的習(xí)題對(duì)于學(xué)生熟悉正式證明的結(jié)構(gòu)有重要的作用。習(xí)題的選擇使授課教師可根據(jù)情況取舍，以適應(yīng)大學(xué)本科生或一年級(jí)研究生不同程度的需要。 【習(xí)題】 “近世代數(shù)也能夠重新解釋古典代數(shù)的結(jié)果，使它們具有更大的統(tǒng)一性和一般性。因此，我們并不省略這些結(jié)果，而努力把它們系統(tǒng)地編入近世代數(shù)的范圍內(nèi)。

59、【古典代數(shù)統(tǒng)一到現(xiàn)代代數(shù)】 近世代數(shù)學(xué)習(xí)方法 “近世代數(shù)”是一門比較抽象的學(xué)科，初學(xué)者往往感到虛無飄渺，困難重重。為此，下面介紹五種常用的學(xué)習(xí)方法。 一、通過例子來加深對(duì)基本理論的理解 針對(duì)“近世代數(shù)”課程的概念抽象、難于理解的特點(diǎn)，我們認(rèn)為理解概念的一種有效方法是多舉已學(xué)過的典型例子。例如，一元多項(xiàng)式環(huán)和整數(shù)環(huán)是主理想整環(huán)的例子，關(guān)于主理想整環(huán)的許多結(jié)論都是通過推廣關(guān)于多項(xiàng)式和整數(shù)的結(jié)論得到；一個(gè)無零因子交換環(huán)的商域就是模仿整數(shù)環(huán)和有理數(shù)環(huán)間的關(guān)系構(gòu)造的；整環(huán)里的因子分解理論就是分解質(zhì)因數(shù)和多項(xiàng)式的因式分解理論的推廣。 當(dāng)我們學(xué)習(xí)“近世代數(shù)”時(shí)，就僅僅背下來一些

60、命題、性質(zhì)和定理，并不意味著真正地理解。要想真正理解，需要清楚這些命題、性質(zhì)和定理的前提條件為什么是必要的？而達(dá)到這個(gè)目的的最有效的方法就是構(gòu)造反例。通常的做法是：去掉一個(gè)前提條件后，構(gòu)造一個(gè)結(jié)論不成立的例子，從而表明所去掉的前提條件是必要的。例如，關(guān)于素理想和極大理想的關(guān)系有結(jié)論：設(shè)R是含1交換環(huán)，則R的極大理想一定是素理想。那么這個(gè)結(jié)論的條件“含1”是必要的嗎？這個(gè)問題的答案可從下面的例子容易得到。例：設(shè)R是所有偶數(shù)構(gòu)成的環(huán)，Z表示整數(shù)環(huán)，則4Z是R的極大理想，但4Z不是R的素理想。 二、通過變換角度來尋求問題的解法 通過變換角度來尋求問題的解法是一種很普遍的解題方法，通常是將已知

61、或未知較復(fù)雜的問題變換為等價(jià)的較簡(jiǎn)單的問題，或者是將新問題變換為已經(jīng)解決的問題，或者是將未知與已知關(guān)系較少的問題變?yōu)橐阎c未知關(guān)系較多的問題等等。下面舉例說明這種方法： 例：設(shè) 是從G1到G2的滿同態(tài)，N2是G2的不變子群，N1= -1(N2)，證明G1/N1同構(gòu)于G2/N2。 對(duì)于這個(gè)問題，我們不直接證明G1/N1同構(gòu)于G2/N2，而是將問題進(jìn)行變換，先構(gòu)造從G1到G2/N2的滿同態(tài) ，再證明N1是 的核，然后根據(jù)同態(tài)基本定理知結(jié)論正確。 三、通過“同構(gòu)”的觀點(diǎn)將知識(shí)點(diǎn)（問題）歸類 “同構(gòu)”的概念非常重要，因?yàn)榉彩蔷哂型瑯?gòu)性質(zhì)的結(jié)構(gòu)在本質(zhì)上可看成是同一結(jié)構(gòu)。這樣就可以將對(duì)其中一個(gè)

62、結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析得到的性質(zhì)遷移到其它結(jié)構(gòu)上去。例如，在群結(jié)構(gòu)理論下，一個(gè)由元a所生成的循環(huán)群G，它的構(gòu)造完全可以由a的階來決定: 如果a的階無限，那么G與整數(shù)加群同構(gòu)；如果a的階是有限整數(shù)n，那么G與模n的剩余類加群同構(gòu)。這樣研究了整數(shù)加群和以n為模的剩余類加群，整個(gè)循環(huán)群就都在我們掌握之中了。 運(yùn)用同構(gòu)的觀點(diǎn)來學(xué)習(xí)“近世代數(shù)”，有利于弄清群、環(huán)、域間的縱橫關(guān)系，有利于全面、深刻、系統(tǒng)的理解所學(xué)的知識(shí)，也有利于培養(yǎng)分析、綜合、抽象、概括的能力。 四、加強(qiáng)與其它課程的聯(lián)系 在學(xué)習(xí)近世代數(shù)時(shí)，應(yīng)該注意將所學(xué)的內(nèi)容和其它課程相聯(lián)系。例如：群論中的許多結(jié)論可依據(jù)高等代數(shù)的知識(shí)構(gòu)造矩陣群來加以解釋

63、；環(huán)論中的許多結(jié)論可依據(jù)數(shù)論知識(shí)或多項(xiàng)式理論加以解釋來加以解釋。 五、通過重復(fù)加深理解 對(duì)于“近世代數(shù)”中很抽象的內(nèi)容，需要反復(fù)閱讀，逐漸推敲，從不同角度去理解本質(zhì)所在。經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，讀第一遍時(shí)明白了，而讀第二遍時(shí)又糊涂了，這時(shí)要聯(lián)系前后內(nèi)容認(rèn)真思考未明白的地方。實(shí)際上是第一遍沒有真正明白，或者只明白了表面的東西，尚未理解本質(zhì)所在。 上面僅就我們的理解提出了學(xué)習(xí)“近世代數(shù)”的五種方法 群論問題與物理問題（和眾多牛人的討論總結(jié)） 轉(zhuǎn)載自 群：終極理論之夢(mèng) 2009-11-30 一、與尤亦莊的討論 2009/9/28 在2009-09-27，"Yi-

64、Zhuang You" 寫道： 1.有一本高等代數(shù)的書中說“幺正”是指矩陣與它的逆之積等于1，而“正交”則是之積等于單位陣E. 看書認(rèn)真一點(diǎn)，我敢保證書上不是這樣定義的。任何矩陣和它的逆之積都是1，這里的1不是數(shù)字，1 = E 都是是代表單位陣的符號(hào)。我不給你重復(fù)正確的定義了，你自己再去認(rèn)真看，我只強(qiáng)調(diào)一下“幺正”和“正交”的區(qū)別就像復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)的區(qū)別一樣，你要是體會(huì)清楚這個(gè)類比了，那你就算懂了。 2.有一本書說U代表酉群。為什么用“酉”這個(gè)詞？另外，U既代表“幺正”，又代表“酉”，是不是說二者同義？ “幺正”=“酉”，這兩個(gè)詞是同一個(gè)英文單詞(unitary)的不同翻譯，前者是意譯，后

65、者是音譯，這就是區(qū)別。 還說“正交”對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)域上的線性空間，而“酉”是推廣到復(fù)數(shù)域上的結(jié)果。那么與第1條比較，發(fā)現(xiàn)從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域時(shí)，矩陣與它的逆之積從E變?yōu)?.這說明什么？矩陣和群什么關(guān)系？“矩陣”中的概念是否可以移用到“群”中來？ ok，這里你已經(jīng)看到這個(gè)類比了，實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的關(guān)系。那么與第一條相比，你別瞎比了，第一條的定義是錯(cuò)的，E 和 1沒有任何區(qū)別，他們都是單位陣的記號(hào)，不同的書不一樣而已。O和U的區(qū)別不是 E和1的區(qū)別，而是轉(zhuǎn)置(transpose)和厄米共軛(hermitian conjugate)的區(qū)別。 3.Hermite（埃爾米特）的意思是共軛轉(zhuǎn)置。這與量子力學(xué)中可觀

66、測(cè)的“厄米算符”有什么區(qū)別？ 厄米算符(Hermitian operator)是這樣一類特殊的算符，特殊之處在于它的厄米共軛恰好就是它自己本身。 這個(gè)出現(xiàn)在“酉”中，與“幺正”的聯(lián)系是什么？ 再說一次，“酉”和“幺正”是同一個(gè)詞的不同翻譯，它們同義?！扮壅焙汀岸蛎住钡年P(guān)系是：幺正陣 = exp (i×厄米陣)，就類比于復(fù)數(shù)（幺正）和它的幅角（厄米）的關(guān)系。 4.O群經(jīng)常用來討論轉(zhuǎn)動(dòng)。那么用什么討論平移呢？為什么轉(zhuǎn)動(dòng)那么特殊，使得討論10維宇宙之類問題用的是O群而不是別的？ 用平移群討論平移，用轉(zhuǎn)動(dòng)群討論轉(zhuǎn)動(dòng)。平移群的記號(hào)是R，轉(zhuǎn)動(dòng)群的記號(hào)是O。討論10維宇宙之類問題用的是O群，這是你的認(rèn)識(shí)，你只見過用O群討論10維宇宙，但并不意味著10維宇宙只有O群的對(duì)稱性，10維宇宙還有很多其他的對(duì)稱性，你現(xiàn)在沒見過而已。 5.電磁場(chǎng)為什么是U（1）？怎么由“相位變換”體現(xiàn)？ 這兩個(gè)問題是目前為止最有水準(zhǔn)的好問題。你問電磁場(chǎng)為什么是U(1)之前應(yīng)該先問，電磁場(chǎng)是什么？電磁場(chǎng)就是電場(chǎng)+磁場(chǎng)