概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題第一章第三章.doc

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1、1.1 寫出下列隨機試驗的樣本空間： (1) 某籃球運動員投籃時, 連續(xù)5 次都命中, 觀察其投籃次數(shù); 解：連續(xù)5 次都命中，至少要投5次以上，故； (2) 擲一顆勻稱的骰子兩次, 觀察前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和; 解：； (3) 觀察某醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù); 解：醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù)理論上可以從0到無窮，所以； (4) 從編號為1，2，3，4，5 的5 件產(chǎn)品中任意取出兩件, 觀察取出哪兩件產(chǎn)品; 解：屬于不放回抽樣，故兩件產(chǎn)品不會相同，編號必是一大一小，故： (5) 檢查兩件產(chǎn)品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不

2、合格，則； (6) 觀察某地一天內(nèi)的最高氣溫和最低氣溫(假設最低氣溫不低于T1, 最高氣溫不高于T2); 解：用表示最低氣溫, 表示最高氣溫;考慮到這是一個二維的樣本空間，故： ； (7) 在單位圓內(nèi)任取兩點, 觀察這兩點的距離; 解：； (8) 在長為的線段上任取一點, 該點將線段分成兩段, 觀察兩線段的長度. 解：； 1.3 設樣本空間, 事件=, 具體寫出下列各事件：(1); (2) ; (3) ; (4) （1） ； (2) =； (3) =; (4) = 1.6 按從小到大次序排列, 并說明理由.

3、 解：由于故，而由加法公式，有： 1.7 若W 表示昆蟲出現(xiàn)殘翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率： (1) 昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛; (2) 昆蟲出現(xiàn)殘翅, 但沒有退化性眼睛; (3) 昆蟲未出現(xiàn)殘翅, 也無退化性眼睛. 解：(1) 昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛對應事件概率為： (2) 由于事件可以分解為互斥事件，昆蟲出現(xiàn)殘翅, 但沒有退化性眼睛對應事件 概率為： (3) 昆蟲未出現(xiàn)殘翅, 也無退化性眼睛的概率為：. 1.8 設A 與B 是兩個事件, P(A) = 0.6

4、; P(B) = 0.8。試問： (1) 在什么條件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少? (2) 在什么條件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少? 解：(1) 由于，故顯然當時P(AB) 取到最大值。 最大值是0.6. (2) 由于。顯然當時P(AB) 取到最小值?，最小值是0.4. 1.9 設P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件 A,B,C 中至少有一個發(fā)生的概率. 解：因為 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.至少有一個發(fā)生的

5、概率為： 1.10 計算下列各題： (1) 設P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.6, 求P(AB); (2) 設P(A) = 0.8, P(AB) = 0.4, 求P(AB); (3) 設P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。 解 （1） 通過作圖，可以知道， （2） 1.11 把3個球隨機地放入4個杯子中，求有球最多的杯子中球數(shù)是1，2，3 概率各為多少？ 解：用表示事件“杯中球的最大個數(shù)為個” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有種，每種放法等可能。 對事件：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法

6、432種，故 (選排列：好比3個球在4個位置做排列)。 對事件：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個杯中選1個杯子，放入此3個球，選法有4種)，故。 1.12 擲一顆勻稱的骰子兩次, 求前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為3; 4; 5 的概率各是多少? 解：此題為典型的古典概型，擲一顆勻稱的骰子兩次基本事件總數(shù)為36。.出現(xiàn)點數(shù)和為“3”對應兩個基本事件（1，2），（2，1）。故前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為3的概率為。 同理可以求得前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為4，5 的概率各是。 1.13 在整數(shù)中任取三個數(shù), 求下列事件的概率： (1) 三個數(shù)中最小的一個是5; (2

7、) 三個數(shù)中最大的一個是5. 解：從10個數(shù)中任取三個數(shù)，共有種取法，亦即基本事件總數(shù)為120。 (1) 若要三個數(shù)中最小的一個是5，先要保證取得5，再從大于5的四個數(shù)里取兩個，取法有種，故所求概率為。 (2) (2) 若要三個數(shù)中最大的一個是5，先要保證取得5，再從小于5的五個數(shù)里取兩個，取法有種，故所求概率為。 1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黃色球?，F(xiàn)從這12 只乒乓球中隨機地取出兩 只, 求下列事件的概率： (1) 取到兩只黃球; (2) 取到兩只白球; (3) 取到一只白球, 一只黃球. 解：分別用表示事件： (1) 取到兩只黃球; (2)

8、 取到兩只白球; (3) 取到一只白球, 一只黃球.則。 1.15 已知，, 求 解： 由于-，故 1.16 已知,。 計算下列二式： (1) （2） 解：（1） （2） 注意：因為，所以。 1.17 一批產(chǎn)品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余為正品?，F(xiàn)從這20 件產(chǎn)品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率： (1) 在第一、第二次取到正品的條件下, 第三次取到次品; (2) 第三次才取到次品; (3) 第三次取到次品. 解：用表示事件“第次取到的是正品”（），則表示事件“第次取到的是次品”（）。 (1) 事件“在第一、第二次取到

9、正品的條件下, 第三次取到次品”的概率為： 。注：也可以按條件概率的含義直接計算，省略中間一步。 (2) 事件“第三次才取到次品”的概率為： （3） 事件“第三次取到次品”的概率為： 此題要注意區(qū)分事件（1）、(2）的區(qū)別，一個是求條件概率，一個是一般的概率。再例如，設有兩個產(chǎn)品，一個為正品，一個為次品。用表示事件“第次取到的是正品”（）， 則事件“在第一次取到正品的條件下, 第二次取到次品”的概率為：；而事件“第二次才取到次品”的概率為：。區(qū)別是顯然的。 1.18 有兩批相同的產(chǎn)品, 第一批產(chǎn)品共14 件, 其中有兩件為次品, 裝在第一個箱中; 第二批有10 件, 其中有一件

10、是次品, 裝在第二個箱中。今在第一箱中任意取出兩件混入到第二箱中, 然后再從第二箱中任取一件, 求從第二箱中取到的是次品的概率。 解：用表示事件“在第一箱中取出兩件產(chǎn)品的次品數(shù)”。用表示事件“從第二箱中取到的是次品”。則根據(jù)全概率公式，有： 1.19 一等小麥種子中混有5%的二等種子和3%的三等種子。已知一、二、三等種子將來長出的穗有50 顆以上麥粒的概率分別為50%, 15% 和10%。假設一、二、三等種子的發(fā)芽率相同,求用上述的小麥種子播種后, 這批種子所結的穗有50 顆以上麥粒的概率. 解：設表示事件“所用小麥種子為等種子”，表示事件“種子所結的穗有50 顆以上麥粒”。則根據(jù)全

11、概率公式，有： 1.20 設男女兩性人口之比為51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今從人群中隨機地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人為男性的概率。 解：用表示色盲，表示男性，則表示女性，由已知條件，顯然有：因此： 根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為： 1.21 根據(jù)以往的臨床記錄, 知道癌癥患者對某種試驗呈陽性反應的概率為0.95, 非癌癥患者因?qū)@試驗呈陽性反應的概率為0.01, 被試驗者患有癌癥的概率為0.005。若某人對試驗呈陽性反應, 求此人患有癌癥的概率 解：用表示對試驗呈陽性反應，表示癌癥患者，則表示非癌癥患者，顯然有： 因此根據(jù)貝

12、葉斯公式，所求概率為： 1.22 倉庫中有10 箱同一規(guī)格的產(chǎn)品, 其中2 箱由甲廠生產(chǎn), 3 箱由乙廠生產(chǎn), 5 箱由丙廠生產(chǎn), 三廠產(chǎn)品的合格率分別為95%; 90% 和96%. (1) 求該批產(chǎn)品的合格率; (2) 從該10 箱中任取一箱, 再從這箱中任取一件, 若此件產(chǎn)品為合格品, 問此件產(chǎn)品由甲、 乙、丙三廠生產(chǎn)的概率各是多少? 解：設， ，則 （1） 根據(jù)全概率公式，，該批產(chǎn)品的合格率為0.94. （2） 根據(jù)貝葉斯公式， 同理可以求得，因此，從該10 箱中任取一箱, 再從這箱中任取一件, 若此件產(chǎn)品為合格品, 此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率分別為：。

13、1.23 甲、乙、丙三人獨立地向同一目標各射擊一次, 他們擊中目標的概率分別為0.7， 0.8 和 0.9，求目標被擊中的概率。 解：記={目標被擊中}，則 1.24 在四次獨立試驗中, 事件A 至少發(fā)生一次的概率為0.5904, 求在三次獨立試驗中, 事件A發(fā)生一次的概率. 解：記={四次獨立試驗，事件A 至少發(fā)生一次}，={四次獨立試驗，事件A 一次也不發(fā)生}。而，因此。所以 三次獨立試驗中, 事件A 發(fā)生一次的概率為：。 第三章習題詳解： 3.1設二維隨機向量的分布函數(shù)為: 求. 解：因為 ， ， 所以 3.2 盒中裝有3個黑球, 2個白球. 現(xiàn)從中任取

14、4個球, 用X表示取到的黑球的個數(shù), 用Y表示取到的白球的個數(shù), 求(X , Y ) 的概率分布. 解：因為X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值為(2,2),(3,1) 且 ， ， 故(X,Y)的概率分布為 X\Y 1 2 2 0 0.6 3 0.4 0 3.3 將一枚均勻的硬幣拋擲3次, 用X表示在3次中出現(xiàn)正面的次數(shù), 用Y表示3次中出 現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值，求(X , Y ) 的概率分布. 解：因為，又X的可能取值為0,1,2,3 所以(X,Y)的可能取值為(0,3),(1,1), (2,1),(3,3) 且

15、 ， ， 故(X,Y)的概率分布為 X\Y 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/8 3.4設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為: (1) 確定常數(shù);(2) 求 (3) 求,這里是由這三條直線所圍成的三角形區(qū)域. 解：(1)因為 由 ，得9a=1，故a=1/9. (2) (3) 3.5 設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為: (1) 求分布函數(shù);(2) 求 解：(1) 求分布函數(shù); 當， 其他情形，由于=0，顯然有=0。綜合起來，有 (2) 求 3.6 向一

16、個無限平面靶射擊, 設命中點的概率密度函數(shù)為 求命中點與靶心(坐標原點) 的距離不超過a 的概率. 解： 3.7設二維隨機向量的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的邊緣概率分布. X\Y 0 2 5 1 0.15 0.25 0.35 3 0.05 0.18 0.02 解：因為 所以，X的邊緣分布為 X 1 3 P 0.75 0.25 因為 所以，Y的邊緣分布為 Y 0 2 5 P 0.20 0.43 0.37 3.8 設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為 求邊緣概率密度. 解：因為，當時，；其他情形，顯

17、然所以，X的邊緣分布密度為 又因為，當時， 其他情形，顯然所以，Y的邊緣分布密度為 3.9 設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為 求邊緣概率密度. 解，積分區(qū)域顯然為三角形區(qū)域，當時，，因此； 其他情形，顯然所以，X的邊緣分布密度為 同理，當時，因此 其他情形，顯然所以，Y的邊緣分布密度為 3.10 設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為 (1)確定常數(shù)c的值. (2)求邊緣概率密度. 解：(1)因為 所以 c = 6. (2) 因為，當時， 所以，X的邊緣分布密度為 又因為，當時， 所以，Y的邊緣分布密度為 3.11

18、 求習題3.7 中的條件概率分布. 解：由T3.7知，X、Y的邊緣分布分別是 X 1 3 Y 0 2 5 P 0.75 0.25 P 0.20 0.43 0.37 (1)當X=1時，Y的條件分布為 即 Y 0 2 5 P 1/5 1/3 7/15 (2)當X=3時，Y的條件分布為 即 Y 0 2 5 P 1/5 18/25 2/25 (3)當Y=0時，X的條件分布為 即 X 1 3 P 3/4 1/4 (4)當Y=2時，X

19、的條件分布為 即 X 1 3 P 0.581 0.419 (5)當Y=5時，X的條件分布為 即 X 1 3 P 0.946 0.054 3.12 設 X 在區(qū)間(0,1) 上隨機地取值, 當觀察到X = x(0 < x < 1) 時, Y 在區(qū)間(x,1) 上 隨機地取值, 求 Y 的概率密度函數(shù). 解：因為 ， 所以(X,Y)的聯(lián)合密度為 于是 故Y的密度函數(shù)為 3.13 設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為 求條件概率密度以及. 解：因為，當時， 又當時， 所以，在Y=y的條件下X的條件概率密度為

20、 在X=x的條件下Y的條件概率密度為 3.14 問習題3.7 中的X 與Y 是否相互獨立？ 解: 由T3.7知，X、Y的邊緣分布分別是 X 1 3 Y 0 2 5 P 0.75 0.25 P 0.20 0.43 0.37 0.75, ,而,顯然 ,從而X 與Y 不相互獨立. 3.15設二維隨機向量的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的邊緣概率分布. X\Y 0 2 5 1 0.15 0.25 0.35 3 0.05 0.18 0.02 問取何值時, X 與Y 相互獨立? 解：因為 ， 要X和Y相互獨立，

21、則 即 ，得 由 ，得 即 ，得 3.16 問習題3.8 和習題3.9 中的X 與Y 是否相互獨立？ 解：由習題3.8，二維隨機向量的概率密度函數(shù)為 X的邊緣分布密度為，Y的邊緣分布密度為 ，顯然有，X 與Y 相互獨立. 由習題3.9,維隨機向量的概率密度函數(shù)為 ,X的邊緣分布密度為，Y的邊緣分布密度為 ,顯然有，X 與Y 不獨立. 3.17設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為 ,問X與Y是否相互獨立? 解：因為 對于x>0,y>0，都有 ,所以，X與Y是相互獨立的. 3.18 設二維隨機向量的分布函數(shù)為討論的獨立性. 解：因為

22、 由于 所以，X與Y是相互獨立的。 3.19 設X 與Y 是兩個相互獨立的隨機變量, 并且均服從區(qū)間(0, 1) 上的均勻分布, 求X+Y 的概率密度函數(shù). 解：由于X 與Y均服從區(qū)間(0, 1) 上的均勻分布，故X 與Y的邊緣密度函數(shù)分別為： ， 記,由于X 與Y 是兩個相互獨立的隨機變量,根據(jù)書中72頁（3.7.3）式,的概率密度函數(shù)可以寫為 當時,若，則；若或，被積函數(shù)為0，此時顯然有. 當時，若,則，若或，被積函數(shù)為0，此時顯然有； 的其他情形,顯然有=0. 綜合起來，有 此題也可以用先求分布函數(shù)然后再求導的方法來解,

23、需要注意的一點是, 當時，積分區(qū)域要分成兩個部分. 3.20 設X 與Y 是兩個相互獨立的隨機變量, 概率密度函數(shù)分別為 求的概率密度函數(shù). 解：記,由于X 與Y 是兩個相互獨立的隨機變量,根據(jù)書中72頁（3.7.3）式, 的概率密度函數(shù)可以寫為，于是有 3.21 設二維隨機向量的概率密度函數(shù)為 求的概率密度函數(shù). 解: 根據(jù)書中72頁（3.7.1）式,的概率密度函數(shù)可以寫為 當時,若， 則， 若或，被積函數(shù)為0，此時顯然有； 當時，若, 則， 若或，被積函數(shù)為0，此時顯然有； 的其他情形,顯然有.綜合起來，有 3.22 設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,并

24、且與相互獨立,求的概率密度函數(shù). 解：由于所以分布函數(shù)為 由于服從參數(shù)為的指數(shù)分布，所以分布函數(shù)為 與相互獨立，故的分布函數(shù)為 對分布函數(shù)求導以后得的密度函數(shù) 3.23 設隨機變量,并且與相互獨立,求的概率密度函數(shù). 解：由于所以分布函數(shù)為 由于，所以分布函數(shù)為 與相互獨立，故的分布函數(shù)為 對分布函數(shù)求導以后得的密度函數(shù) 3.24 設隨機變量相互獨立,并且都服從正態(tài)分布,求的概率密度函數(shù). 解：由于相互獨立,根據(jù)P76公式（3.8.4），易知，于是的概率密度函數(shù)為： 其中，

25、3.25 對某種電子裝置的輸出測量了5 次, 得到觀察值.設它們是相互獨 立的隨機變量, 且有相同的概率密度函數(shù), 求的分布函數(shù). 解：由題意，的分布函數(shù)為： 又由于，是相互獨立的隨機變量, 根據(jù)書中77頁（3.8.6）式, 的分布函數(shù)為： 3.26 設電子元件的壽命X(單位: 小時) 的概率密度函數(shù)為 今測試 6 個元件, 并記錄下它們各自的失效時間. 求 (1) 到 800 小時時沒有一個元件失效的概率;(2) 到 3000 小時時所有元件都失效的概率. 解：電子元件的壽命X(單位: 小時) 的分布函數(shù)為： (1) 一個元件使用到 800 小時時沒有一個失效的概率為 =，由于6 個元件顯然彼此獨立，因此，到 800 小時時沒有一個元件失效的概率為