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1、1,第五章：布朗運動與鞅,布朗運動的定義與基本性質(zhì) 鞅的定義與例,2,隨機游動與布朗運動,考慮在直線上的無限隨機游動：質(zhì)點每經(jīng)過t時間，隨機地以概率p=0.5向右移動x0；以概率q=0.5向左移動x，且每次移動相互獨立。令,則質(zhì)點在時刻t的位置X(t)可表示為：,其均值和方差為：,3,t和x的取值：,使得DX(t)在t和x趨于零時，極限有意義。,如： t = x，當(dāng)t-0， DX(t)-0，則X(t)=0，a.s.,若取t = x3 ，當(dāng)t-0， DX(t)-，不合理。,一般情況下，有 此時：,4,X(t)為獨立同分布的隨機變量之和，由中心極限定理，可得： 1）X(t)N(0, 2t
2、); 隨機游動的值在不相重疊的時間區(qū)段內(nèi)相互獨立，得 2）X(t)是獨立增量過程； 在任一時間區(qū)間隨機游動的值僅與時長有關(guān)，得 3）X(t)是平穩(wěn)增量過程,5,布朗運動定義1：隨機過程W(t)，t0，如果滿足： 1）W(0)=0； 2）W(t)是獨立、平穩(wěn)增量過程； 3）對任意t0，W(t)服從正態(tài)分布N(0, 2t)。 則稱W(t)，t0為維納過程，或稱為布朗運動（B(t)， t0 ）。,如果=1，稱為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。,一般布朗運動可用W(t)/，t0變換成標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，后面我們 假定都是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。,6,布朗運動定義2：隨機過程B(t)，t0為布朗運動，如果滿足： 1）（
3、正態(tài)增量）B(t)-B(s)N(0,t-s) ； 2）（獨立增量）B(t)-B(s)獨立于過去的狀態(tài)B(v)，0v s； 3）（軌道連續(xù)） B(t)，t0的軌道是t的連續(xù)函數(shù)。,注：并未強調(diào)B(0)=0，如果B(0)=x，可用B(t)-x進(jìn)行變換。,定理：設(shè)B(t)，t0是正態(tài)過程，軌道連續(xù)，B(0)=0，對任意的s，t0，有EB(t)=0，EB(s)B(t)=min(s,t)，則B(t)，t0為布朗運動，反之亦然。,7,推論：設(shè)B(t)，t0 為布朗運動，則：,例：設(shè)B(t)，t0 為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，計算PB(2) 0及PB(t) 0，t=1,2 。,8,9,布朗運動的軌道,從時刻0到時刻
4、T對布朗運動的一次觀察稱為布朗運動在區(qū)間0,T上的一條軌道或路徑。,1）是t的連續(xù)函數(shù)； 2）在任何點都不可微,軌道的基本性質(zhì),10,鞅的定義與例,博弈問題：博弈者進(jìn)行一序列博弈（輪盤賭），每次博弈輸和贏的概率相同，每次的下注額自定。問博弈者采用何種下注方式贏面大？,定義：隨機過程Xn，n0稱為關(guān)于Yn，n0的下鞅，如果對n0， Xn是Y0, ,Yn的函數(shù)，EXn<，且EXn+1| Y0, ,Yn Xn。,定義：隨機過程Xn，n0稱為關(guān)于Yn，n0的上鞅，如果對n0， Xn是Y0, ,Yn的函數(shù)，EXn<，且EXn+1| Y0, ,Yn Xn。,若 Xn，n0同時是關(guān)于Yn，n0的上鞅和下鞅，則稱之為關(guān)于Yn的鞅。,鞅描述的是“公平”的博弈，下鞅和上鞅則是“有利”和“無利”的博弈。,11,定理：設(shè)Xn，n0是關(guān)于Yn，n0的鞅，則 1）對任意的0
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