2010年高考數學 試題分析(函數與導數）人教版

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1、 2010年實驗區(qū)高考試題分析(函數與導數） 函數與導數無論是大綱還是課標都是高考考察的重點內容，在選擇、填空、大題中均有體現(xiàn)，小題一般有三個左右，主要考察基本初等函數的基本性質，解答題一般為一個，主要是以導數為工具考察函數的單調性，最值等。 一、課標與大綱的比較 1、對函數概念的認識 “函數是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型，函數的思想方法將貫穿高中數學課程的始終．” 從課程內容本身來看，函數的內容是分階段安排的：《數學1》安排函數的基本概念與基本性質、基本初等函數I：指數函數、對數函數、冪函數；《數學4》安排基本初等函數Ⅱ：三角函數；《選修二1-1》（《選修2-2》）安排導

2、數及其應用。 從函數與其他一些數學內容聯(lián)系來看，《數學5》中“數列”是一種特殊的函數，“一元二次不等式”與二次函數的聯(lián)系；《數學3》及《選修2-3》“統(tǒng)計”中兩個變量線性相關和非線性相關與一次函數的聯(lián)系；《數學2》解析幾何初步以及《選修1-1》（《選修2-1》）中“圓錐曲線與方程”與函數的聯(lián)系等等．學習這些知識內容，可以加深對函數概念的認識，體會不同知識內容的聯(lián)系性，從不同角度看待同一數學內容，感受數學的整體性． 2、關于函數的定義域、值域、奇偶性 函數的定義域和值域是函數的組成部分．盡管《標準》要求“會求一些簡單函數的定義域和值域”，同時“避免在求函數定義域、值域時出現(xiàn)過于繁瑣的技巧訓

3、練，避免人為地編造一些求定義域和值域的偏題”．?因此在教學中，教師不要拔高這方面的要求，出現(xiàn)很多把對數、根號、分母、絕對值、一元二次不等式等“整合”在一起的“堆砌題”，使學生“沉浸”在繁瑣的技巧訓練中，在一定程度上沖淡了對函數本質及有關性質的理解．值域的問題亦如此，很多借助求函數的反函數定義域的方法求函數的值域更是《標準》和教材中沒有提到的．增加這些內容，勢必拓展這方面的要求．關于這方面的要求，要切實把握好．實際上，建立函數模型描述實際問題、解決實際問題時，其定義域和值域是顯而易見的。如果將“一元二次不等式”前置，勢必導致在求函數的定義域、值域方面出現(xiàn)過于繁瑣的技巧訓練，影響對函數概念本身的認

4、識，這也是“一元二次不等式”內容后置的一個重要原因． 除了定義域、值域，函數的奇偶性也是新課標淡化的內容之一，“結合具體函數，了解函數奇偶性的含義”，是課標對奇偶性的要求。所以函數的定義域、值域及奇偶性的內容都不適宜拓寬。 (2010全國理8） 設偶函數滿足，則 （A） （B） （C） （D） 3、關于函數的單調性 單調性雖然是函數的重要性質，但對它的認識、研究是個漫長的過程．在《數學1》中介紹函數單調性的定義，并通過定義，判斷簡單函數的單調性，然后討論了指數函數、對數函數以及冪函數的單調性；《數學4》在介紹正弦函數、余弦函數、正切函數時，進一步研究了函數的單調性；在《

5、選修1-1》（或《選修2-2》）中，用導數作為工具，討論三次多項式函數和一些復雜的函數的單調性．和大綱類似，文科一般仍以多項式函數為考察對象，部分省市也有以自然對數或三角為載體考察的，理科主要以指數、對數、三角或是分式形式為考察載體。 （2010全國5）已知命題 ：函數在R為增函數，：函數在R為減函數， 則在命題：，：，：和：中，真命題是 （A）， （B）， （C）， （D）， （2010北京6）給定函數①，②，③，④，期中在區(qū)間（0，1）上單調遞減的函數序號是 （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④ (2010全國理21)設函

6、數f(x)=. （Ⅰ)若a=0,求f(x)的單調區(qū)間; （Ⅱ）若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍. （2010全國文21）設函數 （Ⅰ）若a=，求的單調區(qū)間； （Ⅱ）若當≥0時≥0，求a的取值范圍 (2010北京文18) 設定函數，且方程 的兩個根分別為1，4。 （Ⅰ）當a=3且曲線過原點時，求的解析式； （Ⅱ）若在無極值點，求a的取值范圍。 （2009全國理21）已知函數 （I） 如，求的單調區(qū)間； （II） 若在單調增加，在單調減少，證明＜6. （2007全國理21） 設函數 （I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調性； （II）若存在極

7、值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于． 4、關于分段函數 分段函數是好多生活實例要用到的函數模型，故新課標對分段函數的要求是“能簡單應用”，近幾年考題中時有出現(xiàn)。 （2010全國理11）已知函數若a，b，c互不相等，且，則abc的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） （2010江蘇11）已知函數,則滿足不等式的x的范圍是___ （2010北京文9）已知函數右圖表示的 是給定x的值，求其對應的函數值y的程序框圖， ①處應填寫 ；②處應填寫 。 5、關于冪函數 冪函數在高中數學大綱教材中反反復復地出現(xiàn)，但大綱教

8、材沒有提出“冪函數”的概念，這次高中新課程中又一次提出冪函數的概念．其實教師和學生對冪函數并不陌生，正比例函數y = x，反比例函數y = x－1，最簡單的二次函數y = x2都是冪函數．現(xiàn)在只不過是給出了冪函數的形式化定義，且只討論指數是1，2，3，–1，1/2 的冪函數，結合它們的圖象，了解它們的變化情況．尤其對y = x3在《選修1-1》（《選修2-2》）的“導數及其應用”中有更深入的研究；y = x1/2從“圓錐曲線與方程”的角度看是拋物線的一部分．在《數學1》中，對冪函數的要求很低，主要是結合它們的圖象，了解它們的變化情況。 6、關于反函數 對反函數的處理，《標準》“只要求以具體

9、函數為例進行解釋和直觀理解，不要求一般地討論形式化的反函數定義，也不要求“求已知函數的反函數”，“知道指數函數y = ax與對數函數y = logax互為反函數（a＞0，a≠0）”．至于“互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y = x對稱”更不作為要求．因此關于反函數的問題，《標準》和教材的要求非常明確，不要拓展內容，不要提高要求，應適可而止． 7、關于函數模型及其應用 首先要對“數學模型”有個正確的認識．《標準》中多次提到“數學模型”一詞，目的是進一步加強數學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系．數學模型是把實際問題用數學語言抽象概括，再從數學角度來反映或近似地反映實際問題，所得出的關于實際問題的描述。數學模

10、型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形，也可以是方程式、函數等等．實際問題越復雜，相應的數學模型也越復雜．當數學模型的形式是函數時，這時，我們稱之為函數模型．函數模型的表現(xiàn)形式也是多樣的：解析式、圖象、表格等． 本次高中數學課程改革把“發(fā)展學生的數學應用意識”作為課程的基本理念之一，提出“高中數學課程應提供基本內容的實際背景，反映數學的應用價值”．?《標準》中，函數模型的建立及其應用貫穿于整個高中數學課程教材的始終，分層次、分步驟，螺旋安排，逐步深入．在《數學1》、《數學4》的“三角函數”、《數學5》的“數列”以及《選修1-1》（《選修2-2》）的“導數及其應用”中都有函數模型及其應用的內容．

11、它們包含了許多社會生活中普遍使用的函數模型（指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等）的實例。 （2010全國理4）如圖，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為，角速度為1，那么點P到x軸距離d關于時間t的函數圖像大致為 （2010北京理14）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿軸滾動。設頂點的軌跡方程是， 則函數的最小正周期為 ； 在其兩個相鄰零點間的圖象 與軸所圍區(qū)域的面積為 。 (2010北京文14)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動。 設頂點p（x，y）的縱坐標與橫坐標的函數關系是 ，則的最小正周期為

12、 ； 在其兩個相鄰零點間的圖像與x軸 所圍區(qū)域的面積為 。 8、關于二分法與算法 二分法是這次高中數學課改新增加的內容．引入二分法的主要目的是加強函數與方程的聯(lián)系，它是求方程近似解的一種方法．由于二分法中算法思想非常明確，在《數學1》中介紹二分法，可以為講解“算法”內容提供重要的素材．介紹二分法時，教師心中始終要有整個高中數學課程的框架． 二、對高三復習的建議 1、對重點的傳統(tǒng)知識作適當拓廣，例如函數的圖像和二次函數，二次函數一直是高(初)中的重點基礎知識，在高中數學中二次函數可以與其它許多數學知識相聯(lián)系，因此拓廣和加深二次函數是必要的，又如在高中數

13、學中如閉區(qū)間上二次函數的最值；二次函數含參數問題的討論；利用二次函數判斷方程根的分布等，這些內容可作適當拓廣． 2、對新增加的知識內容加強基礎訓練．新課標中增加了一部分新的數學知識，特別是選修系列中新內容較多，有些新內容與高等數學有關，對這些內容在教學中不宜當作高等數學知識來講，只要讓學生認識基本思想即可． 3、對新教材的刪除內容要控制知識拓廣，如指數方程和對數方程的解法，指數不等式和對數不等式的解法等． 4、對新課標淡化的知識內容不宜拓廣．例如，集合、簡單的冪函數、函數定義域、值域、奇偶性等． 5、對有關數學背景的拓廣．數學教學中應該講背景、講聯(lián)系、講思想，要通過背景知識的介紹，使學生感悟其中的數學思想方法． 6 用心 愛心 專心