2013年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 一元二次方程

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1、2013年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編 一元二次方程 【例1】已知：關(guān)于的方程． ⑴求證：取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根； ⑵若二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱． ①求二次函數(shù)的解析式； ②已知一次函數(shù)，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立； ⑶在⑵條件下，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對于的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，均成立，求二次函數(shù)的解析式． 【思路分析】本題是一道典型的從方程轉(zhuǎn)函數(shù)的問題，這是比較常見的關(guān)于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和M≠0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二

2、問的第一小問考關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項(xiàng)系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問加入了一個(gè)一次函數(shù)，證明因變量的大小關(guān)系，直接相減即可。事實(shí)上這個(gè)一次函數(shù)恰好是拋物線的一條切線，只有一個(gè)公共點(diǎn)（1，0）。根據(jù)這個(gè)信息，第三問的函數(shù)如果要取不等式等號，也必須過該點(diǎn)。于是通過代點(diǎn)，將用只含a的表達(dá)式表示出來,再利用,構(gòu)建兩個(gè)不等式,最終分析出a為何值時(shí)不等式取等號,于是可以得出結(jié)果. 【解析】 解：（1）分兩種情況： 當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得， （不要遺漏） ∴當(dāng)，原方程有實(shí)數(shù)根. 當(dāng)時(shí)，原方程為關(guān)于的一元二次方程， ∵. ∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （如果上面的方程不是完全

3、平方式該怎樣辦？再來一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過中考如果不是壓軸題基本判別式都會是完全平方式，大家注意就是了） 綜上所述，取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根. （2）①∵關(guān)于的二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱， ∴.（關(guān)于Y軸對稱的二次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)一定為0） ∴ ∴拋物線的解析式為. ②∵，（判斷大小直接做差） ∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）. （3）由②知，當(dāng)時(shí)，. ∴、的圖象都經(jīng)過. （很重要，要對那個(gè)等號有敏銳的感覺） ∵對于的同一個(gè)值，， ∴的圖象必經(jīng)過. 又∵經(jīng)過， ∴. （巧妙的將表達(dá)式化成兩點(diǎn)式，避免繁瑣計(jì)算） 設(shè). ∵對于的同一

4、個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值均成立， ∴， ∴. 又根據(jù)、的圖象可得 ， ∴.（a>0時(shí),頂點(diǎn)縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值） ∴. ∴. 而. 只有，解得. ∴拋物線的解析式為. 【例2】關(guān)于的一元二次方程. （1）當(dāng)為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2）點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，求拋物線的解析式； （3）在（2）的條件下，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，是否存在與拋物線只交于點(diǎn)的直線，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由. 【思路分析】第一問判別式依然要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一條件。第二問給點(diǎn)求解析式，比較簡單。值得關(guān)注的是第三問，要注意如果有一

5、次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，則需要設(shè)直線y=kx+b以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因?yàn)閥=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn),所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能. 【解析】： （1）由題意得 解得 解得 當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. （2）由題意得 解得（舍） (始終牢記二次項(xiàng)系數(shù)不為0) （3）拋物線的對稱軸是 由題意得 (關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的性質(zhì)要掌握) 與拋物線有且只有一

6、個(gè)交點(diǎn) (這種情況考試中容易遺漏) 另設(shè)過點(diǎn)的直線（） 把代入，得， 整理得 有且只有一個(gè)交點(diǎn)， 解得 綜上，與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的解析式有， 【例3】 已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點(diǎn)． （1）求的值； （2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0是否有實(shí)數(shù)根，若有，求出它的實(shí)數(shù)根；若沒有，請說明理由； （3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個(gè)單位，使平移后的圖象與軸無交點(diǎn)，求的最小值． 【思路分析】 拿到題目，很多同學(xué)不假思索就直接開始代點(diǎn)，然后建立二元方程組， 十分麻煩，計(jì)算量大，浪費(fèi)時(shí)間并

7、且可能出錯(cuò)。但是仔細(xì)看題，發(fā)現(xiàn)P,Q縱坐標(biāo)是一樣的，說明他們關(guān)于拋物線的對稱軸對稱。而拋物線只有一個(gè)未知系數(shù)，所以輕松寫出對稱軸求出b。 第二問依然是判別式問題，比較簡單。第三問考平移，也是這類問題的一個(gè)熱點(diǎn)，在其他區(qū)縣的模擬題中也有類似的考察?？忌欢ㄒ盐掌揭坪蠼馕鍪桨l(fā)生的變化，即左加右減(單獨(dú)的x),上加下減(表達(dá)式整體)然后求出結(jié)果。 【解析】 (1)因?yàn)辄c(diǎn)P 、Q在拋物線上且縱坐標(biāo)相同，所以P、Q關(guān)于拋物線對稱軸對稱并且到對稱軸距離相等． 所以，拋物線對稱軸，所以，． （2）由（1）可知，關(guān)于的一元二次方程為=0． 因?yàn)椋?16－8=80． 所以，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

8、分別是 ，． （3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個(gè)單位后的解析式為． 若使拋物線的圖象與軸無交點(diǎn)，只需 無實(shí)數(shù)解即可． 由==<0，得 又是正整數(shù)，所以得最小值為2． 【例4】 已知拋物線，其中是常數(shù)． （1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若，且拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)），求此拋物線的解析式． 【思路分析】本題第一問較為簡單，用直接求頂點(diǎn)的公式也可以算，但是如果巧妙的將a提出來,里面就是一個(gè)關(guān)于X的完全平方式,從而得到拋物線的頂點(diǎn)式,節(jié)省了時(shí)間.第二問則需要把握拋物線與X軸交于整數(shù)點(diǎn)的判別式性質(zhì).這和一元二次方程有整數(shù)根

9、是一樣的.尤其注意利用題中所給,合理變換以后代入判別式,求得整點(diǎn)的可能取值. （1）依題意，得， ∴ ∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （2）∵拋物線與軸交于整數(shù)點(diǎn)， ∴的根是整數(shù)． ∴是整數(shù)． ∵， ∴是整數(shù)． ∴是整數(shù)的完全平方數(shù)． ∵， ∴． (很多考生想不到這種變化而導(dǎo)致后面無從下手) ∴取1，4， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， ． ∴的值為2或 ． ∴拋物線的解析式為或． 【例5】 已知：關(guān)于的一元二次方程（為實(shí)數(shù)） （1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍； （2）在（1）的條件下，求證：無論取何值，拋物線總過軸上的一個(gè)

10、固定點(diǎn)； （3）若是整數(shù)，且關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，把拋物線向右平移個(gè)單位長度，求平移后的解析式． 【思路分析】本題第一問比較簡單，直接判別式≥0就可以了，依然不能遺漏的是m－1≠0。第二問則是比較常見的題型.一般來說求固定點(diǎn)既是求一個(gè)和未知系數(shù)無關(guān)的X,Y的取值.對于本題來說,直接將拋物線中的m提出,對其進(jìn)行因式分解得到y(tǒng)=(mx－x－1)(x+1)就可以看出當(dāng)x=－1時(shí),Y=0，而這一點(diǎn)恰是拋物線橫過的X軸上固定點(diǎn).如果想不到因式分解,由于本題固定點(diǎn)的特殊性(在X軸上),也可以直接用求根公式求出兩個(gè)根,標(biāo)準(zhǔn)答案既是如此,但是有些麻煩,不如直接因式分解來得快.至于第三問,又是整數(shù)根問題+平移問題,因?yàn)榈诙栔幸亚蟪隽硪桓?所以直接令其為整數(shù)即可,比較簡單. 解：（1） ∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, ∴ ∵, ∴的取值范圍是且. （2）證明：令得. ∴. ∴ (這樣做是因?yàn)橐呀?jīng)知道判別式是,計(jì)算量比較小,如果根號內(nèi)不是完全平方就需要注意了) ∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為, ∴無論取何值，拋物線總過定點(diǎn) （3）∵是整數(shù) ∴只需是整數(shù). ∵是整數(shù)，且, ∴ 當(dāng)時(shí)，拋物線為． 把它的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的拋物線解析式為