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1、第十七講 容斥原理
在應用加法原理時，關鍵在于把所要計數(shù)的對象分為若干個不重不漏的類，使得每類便于計數(shù)。但是具體問題往往是復雜的，常常扭成一團，難以分為不重不漏的類，而要把條理分清楚就得用加法原理的推廣——容斥原理。先請看一個例子。
例1．某校同學參加全市的數(shù)學和語文學科競賽，結果有23人得數(shù)學競賽優(yōu)勝獎，有15人獲得語文競賽優(yōu)勝獎，其中有8人兩門學科競賽都獲得優(yōu)勝獎，問這個學校有多少名學生獲獎？
例2．如圖17-2，在邊長為1的正方形中，以其一對相對頂點為圓心，邊長為半徑作圓弧，則圖中陰影部分的面積是 。
2、
例3．在1到100的全部自然數(shù)中，不是3的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？
例4．在1到100個自然數(shù)中，既非3的倍數(shù)也不是4與5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？
例5．如圖17-6，A，B，C分別是面積為12，28，16的三張不同形狀的紙片，它們疊放在一起蓋住的總面積為38平方米，若A與B，B與C，C與A的公共部分的面積分別為8，7，6，求A，B，C三張紙片的公共部分的面積（圖中陰影部分）。
例6．在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成十等份，第二種將木棍分成十二等份，第三
3、種將木棍分成十五等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸段，木棍總共被鋸成多少段？
練習題17
一、填空題
1．某校有500名學生報名參加學科競賽 ，數(shù)學競賽參加者共312名，作文競賽
參加者共353名，其中這兩科都參加的有292名，那么這兩科都沒有參加的人數(shù)
為 人。
2．某門診部統(tǒng)計一天掛號的病人，內科150人，外科92人，其中內、外兩科都求診的18人，這一天共來了 個病人。
3．兩個正方形的紙片蓋在桌面上，位置與尺寸如
圖17-7所示，則它們蓋住 （平方厘米）。
4．不超過
4、30的正整數(shù)中，是3的倍數(shù)或4的倍
數(shù)的數(shù)有 個。
5．在一次運動會中，甲班參加田賽的有15人，參加徑賽的有12人，既參加田賽又參加徑賽的有7人，沒有參加比賽的有21人，那么甲班共 人。
6．在桌面上放置著三個兩兩重疊的圓紙片（如圖17-8），
它們的面積都是100（cm2）并知A、B兩重疊的面積
是20（cm2）， A、C兩重疊的面積為45（cm2），B、
C兩圓重疊面積為31（cm2），三個圓共同重疊的面積
為15（cm2）。求蓋住桌子的總面積是
平方厘米。
7．在一次考試中，某班數(shù)學得100分的
5、有17人，語文得100分的有13人，兩科都得100分的有7人，那么兩科中至少有一科得100分的共有 人。全班45人中兩科都不得100分的有 人。
8．在1，2，3，…，1000這1000個自然數(shù)中，既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)的數(shù)共有 個。
9．小于1000的自然數(shù)中，是完全平方數(shù)而不是完全立方數(shù)的數(shù)有 個。
10．某校有學生960人，其中有510人訂閱“作文報”，有330人訂閱“數(shù)學報”，有120人訂閱“科學愛好者”，全校學生中有270人訂閱兩種報刊，有58人三種報刊都訂，那么這學校中沒有訂閱任何報刊的有
6、 人。
二、解答題
11．70名學生參加體育比賽，短跑得獎的31人，投擲得獎的36人，彈跳得獎的
29人，短跑與擲二項均得獎的12人，跑、跳、投三項均得獎的有5人，只得彈跳獎的
有7人，只得投擲獎的有15人。求（1）只得短跑獎的人數(shù)。（2）得二項獎的總人數(shù)。
（3）一項獎均未得的人數(shù)。
12．64人訂A，B，C三種雜志。訂A種雜志的28人，訂B種雜志的有41人，
訂C種雜志的有20人，訂A，B兩種雜志的有10人，訂B，C兩種雜志的有12人，
訂A，C兩種雜志的有12人，問三中雜志都訂的有多少人？
13．求從1到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然數(shù)的個數(shù)。
14．夏日的一天，有10個同學去吃冷飲。向服務他員交出需要冷飲的統(tǒng)計，數(shù)字如下，有6個人要可可，有5個人要咖啡，有5個人要果汁，有3個人既要可可又要咖啡，有2個人既要咖啡又要果汁，有3個人既要可可又要果汁，有一個人人既要可可、咖啡又要了果汁。求證其中一定有一個人什么冷飲也沒要。
第十七講容斥原理
