中南大學(xué)《自動控制理論》第三章控制系統(tǒng)的時域分析法3.4

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1、Wednesday, September 23, 2020,1,3.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,Wednesday, September 23, 2020,2,一. 穩(wěn)定性(Stability)的概念,(a) 穩(wěn)定的 (b) 不穩(wěn)定的,定義,系統(tǒng)在受到外作用力后，偏離了正常工作點(diǎn)，而當(dāng)外作用力消失后，系統(tǒng)能夠返回到原來的工作點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的,在有界輸入的作用下，其輸出響應(yīng)也是有界的。這叫做有界輸入有界輸出穩(wěn)定，又簡稱為BIBO穩(wěn)定,Wednesday, September 23, 2020,3,二.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部

2、的共軛復(fù)根?；蛘哒f，特征方程的根應(yīng)全部位于s平面的左半部。,Wednesday, September 23, 2020,4,充要條件說明,如果特征方程中有一個正實(shí)根，它所對應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)將隨時間單調(diào)增長； 如果特征方程中有一對實(shí)部為正的共軛復(fù)根，它的對應(yīng)項(xiàng)是發(fā)散的周期振蕩。 上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果特征方程中有一個零根，它所對應(yīng)于一個常數(shù)項(xiàng)，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)； 如果特征方程中有一對共軛虛根，它的對應(yīng)于等幅的周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。 從控制工程的角度認(rèn)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。,Wednesday, Sept

3、ember 23, 2020,5,對于一階系統(tǒng)， 只要 都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,對于三階或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。,充要條件說明,注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無關(guān)。,Wednesday, September 23, 2020,6,（一）、胡爾維茨判據(jù),胡爾維茨行列式的構(gòu)造：主對角線上的各項(xiàng)為特征方程的第二項(xiàng)系數(shù) 至最后一項(xiàng)系數(shù) ，在主對角線以下各行中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次增加，在主對角線以上各行中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次減小。當(dāng)下標(biāo)大于n或小于0時，行列

4、式中的項(xiàng)取0。,胡爾維茨行列式：,三、 勞思赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù),Wednesday, September 23, 2020,7,胡爾維茨判據(jù),以4階系統(tǒng)為例使用胡爾維茨判據(jù)：,穩(wěn)定的充要條件是：,Wednesday, September 23, 2020,8,胡爾維茨判據(jù)的另一種形式,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（Lienard-Chipard定理）： 若 或 ， 則系統(tǒng)穩(wěn)定。,胡爾維茨判據(jù)的另一種形式：,式中， 為胡爾維茨主子行列式。采用這種形式的判據(jù)可減少一半的計(jì)算工作量。,Wednesday, September 23, 2020,9,（二）、勞思

5、判據(jù) 設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為 則該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： 特征方程的全部系數(shù)為正值； 由特征方程系數(shù)組成的勞思陣的第一列也為正。,勞思陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。 第一行為1，3，5，項(xiàng)系數(shù)組成， 第二行為2，4，6，項(xiàng)系數(shù)組成。,勞斯判據(jù),Wednesday, September 23, 2020,10,Wednesday, September 23, 2020,11,勞斯判據(jù),以下各項(xiàng)的計(jì)算式為：,Wednesday, September 23, 2020,12,勞斯判據(jù),依次類推。可求得,Wednesday, September 23, 2020,13

6、,勞斯判據(jù)例子,例：特征方程為： ，試判斷穩(wěn)定性。,解：勞斯陣為：,Wednesday, September 23, 2020,14,特殊情況下勞斯陣列的列寫及結(jié)論：,用一個正數(shù)去乘或除某整行，不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論； 勞斯陣第一列所有系數(shù)均不為零，但也不全為正數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。表示s右半平面上有極點(diǎn)，極點(diǎn)個數(shù)等于勞斯陣列第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。,例：系統(tǒng)的特征方程為：,勞斯陣第一列有負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符號變化兩次，表示有兩個極點(diǎn)在s的右半平面。,勞斯判據(jù)特殊情況,Wednesday, September 23, 2020,15,勞斯判據(jù)特殊情況,勞思陣某一行第一

7、項(xiàng)系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零。 處理辦法：用很小的正數(shù) 代替零的那一項(xiàng)，然后據(jù)此計(jì)算出勞斯陣列中的其他項(xiàng)。若第一次零（即 ）與其上項(xiàng)或下項(xiàng)的符號相反，計(jì)作一次符號變化。,例：,令 則 故第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個極點(diǎn)。,Wednesday, September 23, 2020,16,勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位置徑向相反的根。至少要下述幾種情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號相反的一對實(shí)根，或一對共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸的兩對共軛復(fù)根。,勞斯判據(jù)特殊情況,例如:,處理辦法：可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，對此輔助方程式對s求導(dǎo)所

8、得方程的系數(shù)代替全零的行。大小相等，位置徑向相反的根可以通過求解輔助方程得到。輔助方程應(yīng)為偶次數(shù)的。,Wednesday, September 23, 2020,17,例：,從第一列都大于零可見，好象系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意此時還要計(jì)算大小相等位置徑向相反的根再來判穩(wěn)。由輔助方程求得：,,勞斯判據(jù)特殊情況,輔助方程為： ，求導(dǎo)得： ， 或 ，用1，3，0代 替全零行即可。,此時系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的?？刂乒こ躺险J(rèn)為是不穩(wěn)定的。,Wednesday, September 23, 2020,18,（三）勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用,判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例3-4 系統(tǒng)的特征方程為

9、： ，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：排列勞斯陣如下：,因?yàn)椋? ，且勞斯陣第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 由于勞斯陣第一列有兩次符號變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個極點(diǎn)。,Wednesday, September 23, 2020,19,例3-5：系統(tǒng)的特征方程為： 試用胡爾維茨定理判穩(wěn)。,所以，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,注意：由于 所以根據(jù)Lienard-Chipard定理，只要計(jì)算 這樣可以減小一半的計(jì)算量。,Wednesday, September 23, 2020,20,例3-6系統(tǒng)的特征方程為：

10、 該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個極點(diǎn)并畫出極點(diǎn)分布圖。,解：勞斯陣如下,因?yàn)?行全為零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下： 由于有特征根為共軛虛數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,Wednesday, September 23, 2020,21,極點(diǎn)分布如下：,注意： 勞斯判據(jù)實(shí)際上只能判斷代數(shù)方程的根是在s平面左半閉平面還是在右半開平面。對于虛軸上的根要用輔助方程求出。 若代數(shù)方程有對稱于虛軸的實(shí)根或共軛復(fù)根，則一定在勞斯表的第一列有變號，并可由輔助方程求出,Wednesday, September 23, 2020,22,分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響,利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個別參數(shù)

11、對穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K稱為臨界放大系數(shù) 。,例3-7已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，試確定系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。,解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,特征方程為：,Wednesday, September 23, 2020,23,勞斯陣：,所以，臨界放大系數(shù),確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度）,利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對穩(wěn)定性。在實(shí)際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。,Wednesday, September 23, 2020,24,利用實(shí)部最大的特征方程的根 p（若穩(wěn)定的話，

12、它離虛軸最近）和虛軸的距離 表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。,若p處于虛軸上，則 ，表示穩(wěn)定裕量為0。,作 的垂線，若系統(tǒng)的極點(diǎn)都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。一般說， 越大，穩(wěn)定程度越高?？捎? 代入特征方程，得以z為變量的新的特征方程，用勞斯-胡爾維茨判據(jù)進(jìn)行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)具有 的穩(wěn)定裕度。,例系統(tǒng)特征為： ，可知它是穩(wěn)定的。令 則：,Wednesday, September 23, 2020,25,例3-7已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，為使系統(tǒng)特征方程的根的實(shí)數(shù)部分不大于-1，試確定k值的取值范圍。,解：閉環(huán)特征方程為：,現(xiàn)以 s=x-1代入上式，得,勞斯陣：,所以

13、，此時k的取值范圍為,Wednesday, September 23, 2020,26,討論相對穩(wěn)定性除了考慮極點(diǎn)離虛軸遠(yuǎn)近外，還要考慮共軛極點(diǎn)的振蕩情況。對于共軛極點(diǎn)，其實(shí)部反映響應(yīng)的衰減快慢，虛部反映響應(yīng)的振蕩情況。對于極點(diǎn) ，對應(yīng)的時域響應(yīng)為 。所以， 越小，衰減越慢， 越大，振蕩越激烈。如下圖示意：,可用共軛極點(diǎn)對負(fù)實(shí)軸的張角 來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。當(dāng) 時，表示極點(diǎn)在虛軸上，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。 越小，穩(wěn)定性越高。相對穩(wěn)定性越好。,Wednesday, September 23, 2020,27,三、結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng) 及其改進(jìn)措施,僅僅調(diào)節(jié)參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為

14、結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。,結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施,杠桿和放大器的傳遞函數(shù),執(zhí)行電機(jī)的傳遞函數(shù),進(jìn)水閥門的傳遞函數(shù),控制對象水箱的傳遞函數(shù),例：如圖所示的液位控制系統(tǒng),Wednesday, September 23, 2020,28,結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施,閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,令：,閉環(huán)特征方程為：,展開為：,方程系數(shù)：,由于 ，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這也可從勞斯表看出。,勞斯表：,由于無論怎樣調(diào)節(jié)參數(shù)K和T都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定，所以是一個結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。,欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須改變原系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。,Wednesday, September 23, 2020,29,結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系

15、統(tǒng)及其改進(jìn)措施,由圖可看出，造成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的原因是前向通路中有兩個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，而傳遞函數(shù)的分子只有增益K。這樣，造成系統(tǒng)閉環(huán)特征方程缺項(xiàng)，即s一次項(xiàng)系數(shù)為零。 因此，消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的措施可以有兩種，一是改變積分性質(zhì)；二是引入開環(huán)零點(diǎn)，補(bǔ)上特征方程中的缺項(xiàng)。,Wednesday, September 23, 2020,30,結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施, 改變積分性質(zhì)：用反饋包圍積分環(huán)節(jié)，破壞其積分性質(zhì)。,積分性質(zhì)的破壞將改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但會使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度下降。,Wednesday, September 23, 2020,31,結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施, 引入開環(huán)零點(diǎn), 速度反饋, 比例+微分,Wednesday, September 23, 2020,32,結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施,閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,閉環(huán)特征方程為：,方程系數(shù)：,勞斯表：,引入比例+微分控制后，補(bǔ)上了特征方程中s一次項(xiàng)系數(shù)。故只要適當(dāng)匹配參數(shù)，滿足上述條件，系統(tǒng)就可穩(wěn)定。,穩(wěn)定的充分必要條件為： 即, 即,Wednesday, September 23, 2020,33,小結(jié),線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 勞斯代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（勞斯陣，各種特殊情況下勞斯陣的排列和判穩(wěn)方法） 勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用 判穩(wěn) 系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進(jìn)措施,