離散數(shù)學(xué)函數(shù)

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1、第 四 章 函 數(shù)第 一 節(jié) 函 數(shù) 的 基 本 概 念第 二 節(jié) 函 數(shù) 的 合 成 和 合 成 函 數(shù) 的 性 質(zhì)第 三 節(jié) 二 元 運(yùn) 算 第 一 節(jié) 函 數(shù) 的 基 本 概 念一 、 函 數(shù) 的 定 義二 、 特 種 函 數(shù) 一 、 函 數(shù) 的 定 義1、 函 數(shù)2、 函 數(shù) 的 定 義 域3、 函 數(shù) 的 值 域4、 陪 域5、 函 數(shù) 相 等6、 函 數(shù) 的 圖 和 矩 陣 表 示7、 縮 小 和 擴(kuò) 大 (略 ) 1、 函 數(shù)函 數(shù) 是 滿 足 任 意 性 和 唯 一 性 的 二 元 關(guān) 系 。f:XY對 任 意 的 xX都 存 在 唯 一 的 yY fy=f(x)，任 意 性

2、唯 一 性函 數(shù) 映 射 原 像 像 點(diǎn) 函 數(shù) 舉 例設(shè) X=x1,x2,x3,x4,Y=y1,y2,y3判 斷 下 列 關(guān) 系 是 否 是 函 數(shù) ？f1=, ,f2=, f3=, 解 答f1=,不 是 函 數(shù) 。 x2對 應(yīng) 兩 個(gè) 不 同 的 像 點(diǎn) y2和 y3 不 滿 足 唯 一 性 。 解 答f2=,是 函 數(shù)滿 足 任 意 性 和 唯 一 性 。 解 答f3=,不 是 函 數(shù) 。 原 像 x2沒 有 像 點(diǎn) 不 滿 足 任 意 性 。 2、 函 數(shù) 的 定 義 域函 數(shù) f: XY定 義 域 Df 3、 函 數(shù) 的 值 域函 數(shù) f: XYf(X)是 f的 值 域由 像 點(diǎn) 組

3、 成 的 集 合 Rf f(X) Y 4、 陪 域函 數(shù) f: XY 陪 域 定 義 域 、 值 域 及 陪 域 舉 例f: XYX=x1,x2,x3,x4,Y=y1,y2,y3 ,y4,y5 ,y6 函 數(shù) 舉 例判 斷 下 列 關(guān) 系 中 哪 個(gè) 能 構(gòu) 成 函 數(shù) ？(1)f1=|x1,x2N,x1+x210(2)f2=|x1,x2R, x22 =x1(3)f3=|x1 N,x2為 非 負(fù) 整 數(shù) , x2為小 于 等 于 x1的 素 數(shù) 的 個(gè) 數(shù) 解 答(1)f1=|x1,x2N,x1+x210不 能 構(gòu) 成 函 數(shù) 。(1)不 滿 足 任 意 性 :Df=1,2,3,4,5,6,7

4、,8N(2)不 滿 足 唯 一 性 ：f1(1)=1, f1(1)=2, f1(1)=8 解 答(2)f2=|x1,x2R, x22 =x1不 能 構(gòu) 成 函 數(shù) 。(1)不 滿 足 任 意 性 :Df=R+R(2)不 滿 足 唯 一 性 ：一 個(gè) x1對 應(yīng) 兩 個(gè) 不 同 的 x2例 如 ： 22=4, (-2)2=4 解 答(3)f3=|x1N, x2為 非 負(fù) 整 數(shù) , x2為 小于 等 于 x1的 素 數(shù) 的 個(gè) 數(shù) 能 構(gòu) 成 函 數(shù) 。滿 足 任 意 性 和 唯 一 性 ： 對 于 任 意 的 一 個(gè) 自 然 數(shù) x1 ，小 于 x1的 素 數(shù) 個(gè) 數(shù) 是 唯 一 的 。例 如

5、 : f3(1)=0:小 于 1的 素 數(shù) 不 存 在 ； f3(2)=1:小 于 2的 素 數(shù) 有 1個(gè) ： 1 f 3(3)=2:小 于 3的 素 數(shù) 有 2個(gè) ： 1,2 f3(4)=3:小 于 3的 素 數(shù) 有 3個(gè) ： 1,2,3 5、 函 數(shù) 相 等函 數(shù) f和 函 數(shù) g相 等函 數(shù) f:AB， g:C DA=CB=D對 所 有 x A和 x C都 有 f(x)=g(x)f=g 函 數(shù) 相 等 舉 例設(shè) f:AB, g:CD, h:EFA=C=E=1,2,3,B=D=a,b,c,F=a,b,c,df(1)=a,f(2)=a,f(3)=c h(1)=a,h(2)=a,h(3)=cg

6、(1)=a,g(2)=a,g(3)=cf=gfh BFgh DF 6、 函 數(shù) 的 圖 和 矩 陣 表 示圖 Gf ：f(x)=y f從 x有 一 條 到 y的 有 向 弧矩 陣 Mf ：每 一 行 有 且 僅 有 一 個(gè) 元 素 為 “ 1” 。化 簡 的 Mf ：二 列 矩 陣第 一 列 ： Df第 二 列 ： Rf 函 數(shù) 的 圖 和 矩 陣 表 示 舉 例X=a,b,c,d,e Y=,f=,求 ： Df、 Rf、 Gf 、 Mf 、 簡 化 的 MfDf =X=a,b,c,d,eRf =, Y 解 答X=a,b,c,d,e Y=,f=, 舉 例X=a,b,c Y=0,1問 ： 存 在

7、多 少 個(gè) 從 X到 Y的 二 元 關(guān) 系 ？ 存 在 多 少 個(gè) 從 X到 Y的 函 數(shù) ？ 解 答XY=,|XY|=6關(guān) 系 是 笛 卡 爾 乘 積 的 子 集|(XY)|=26結(jié) 論 ： 存 在 26個(gè) 從 X到 Y的 二 元 關(guān) 系 解 答函 數(shù) 是 滿 足 任 意 性 和 唯 一 性 的 二 元 關(guān) 系結(jié) 論 ： 存 在 |Y| |X|=23個(gè) 從 X到 Y的 函 數(shù) 。 結(jié) 論則 : |BA|=|B|A|BA: 從 A到 B的 所 有 可 能 的 函 數(shù) 的 集 合BA=f|f:AB 7、 縮 小 和 擴(kuò) 大 (略 )f:X Y AX(1)g: A Y g=f (AY)稱 g是 函

8、 數(shù) f的 縮 小 ， 并 記 作 f/A(2)若 g是 f的 縮 小 ， 則 f是 g的 擴(kuò) 大 。由 定 義 可 知 ： Dg Df g f縮 小 即 原 有 的 對 應(yīng) 關(guān) 系 不 變 ， 但 定 義 域 縮 小 。 縮 小 和 擴(kuò) 大 舉 例設(shè) A=-1， 0， 1 f:A2 B(1)寫 出 f的 全 部 序 偶 ；(2)求 Rf;(3)寫 出 f/0,12中 的 全 部 序 偶 。 000),( yxyx yxyxf 若若 f的 全 部 序 偶 和 Rf(1)A2=AA=-1,0,1-1,0,1=, ,f()=0, f()=-1, f()=-2,f()=1, f()=0, f()=-

9、1f()=2, f()=1, f()=0f= ,0, ,-1, ,-2, ,1, ,0, ,-1, ,2, ,1, ,0 (2)R f =-2,-1,0,1,2 000),( yxyx yxyxf 若若 0,12 Rf中 的 全 部 序 偶f/0,12 = f (0,12 Rf )0,12 = 0,1 0,1 =,Rf =-2,-1,0,1,20,12 Rf = ,-2, ,-1, ,0, ,1, ,2, ,-2, ,-1, ,0, , 1, ,2, ,-2, ,-1, ,0, ,1, ,2, ,-2 , ,-1 , ,0 , ,1 , ,2 f/0,12中 的 全 部 序 偶f/0,12 =

10、 f (0,12 Rf )= ,0, ,-1, ,-2, ,1, ,0, ,-1, ,2, ,1, ,0 ,-2, ,-1, ,0, ,1, ,2, ,-2, ,-1, ,0, , 1, ,2, ,-2, ,-1, ,0, ,1, ,2, ,-2 , ,-1 , ,0 , ,1 , ,2 = ,0, ,-1, ,1, ,0 縮 小 的 舉 例X=a1,a2,a3,x4,x5Y=y1,y2,y3,y4,y5A=a1,a2,a3f=, ,求 ： f/A 解 答f/A=, 二 、 特 種 關(guān) 系1、 滿 射 函 數(shù)2、 內(nèi) 射 函 數(shù)3、 單 射 函 數(shù)4、 雙 射 函 數(shù)5、 恒 等 函 數(shù) 1、

11、 滿 射 函 數(shù)函 數(shù) f: XY若 f(X)=Rf=Y 值 域 陪 域f是 滿 射 函 數(shù) 映 滿 的 映 射f是 滿 射 函 數(shù)對 任 意 的 yY， 在 X中 必 有 原 像 x與 之 對 應(yīng)f(x)=y像 點(diǎn) 的 集 合 滿 射 舉 例A=a,b,c,dB=1,2,3f:ABf(a)=f(b)=1,f(c)=3,f(d)=2 Rf = 1,2,3=B f是 滿 射 函 數(shù) 。 2、 內(nèi) 射 函 數(shù)函 數(shù) f: XY若 RfY f是 內(nèi) 射 函 數(shù) 映 入 的 映 射 3、 單 射 函 數(shù)函 數(shù) f: XY 對 任 意 x1， x2 Xx1x2 f(x1)f(x2)如 果 原 像 不 同

12、 ,則 像 點(diǎn) 不 同或 f(x1)=f(x2) X1=x2如 果 像 點(diǎn) 相 同 ,則 原 像 相 同則 f是 單 射 函 數(shù) 一 對 一 的 映 射 內(nèi) 射 、 單 射 舉 例A=a,b B=2,4,6f:ABf(a)=2,f(b)=4 Rf = 2,4 B f是 內(nèi) 射 函 數(shù)且 f也 是 單 射 函 數(shù) 。 4、 雙 射 函 數(shù)函 數(shù) f: XYf是 滿 射 的f是 單 射 的 f是 雙 射 函 數(shù)一 對 一 映 滿 的 映 射 5、 恒 等 函 數(shù)函 數(shù) Ix: XX對 于 所 有 的 x X:Ix=| x X恒 等 函 數(shù) 雙 射 函 數(shù) 特 種 函 數(shù) 舉 例(1)f1(x)=x

13、2(2)f2(x)=2x(3)f3(x)=x3(4)f4(x)=x3-x2-5x+6問 以 上 4個(gè) 函 數(shù) 各 是 什 么 函 數(shù) ？ 解 答(1)f1(x)=x2 f1不 是 滿 射 函 數(shù) ； f1(x)= f1(x)= x2 f1不 是 單 射 函 數(shù) ； Rf1為 正 實(shí) 數(shù) 集 合 ， 不 是 實(shí) 數(shù) 集 合 解 答(2)f2(x)=2x不 是 滿 射 函 數(shù) 。是 單 射 函 數(shù) 解 答(3)f3(x)=x3是 單 射 函 數(shù)是 滿 射 函 數(shù) 是 雙 射 函 數(shù) 解 答(4)f4(x)=x3-x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)是 滿 射 函 數(shù)不 是 單 射 函 數(shù)

14、 第 二 節(jié) 函 數(shù) 的 合 成 和 合 成 函 數(shù) 的 性 質(zhì)一 、 合 成 函 數(shù) 的 定 義二 、 反 函 數(shù) 一 、 合 成 函 數(shù) 的 定 義函 數(shù) f: XY 函 數(shù) g: YZg f=|x X z Z (y)(y Y y=f(x) z=g(y)f和 g的 合 成 函 數(shù) 復(fù) 合 函 數(shù)函 數(shù) f和 g合 成 的 書 寫 格 式 :關(guān) 系 R和 S合 成 的 書 寫 格 式 : R Sg f 從 左 到 右從 右 到 左 f g 定 理函 數(shù) f: XY 函 數(shù) g: YZg f: XZ是 函 數(shù)(g f)(x)=g(f(x) xX 證 明顯 然 g f是 從 X到 Z的 關(guān) 系(

15、1)任 意 性 ：f是 函 數(shù) :對 任 意 的 xX 存 在 yY， 使 得 fg是 函 數(shù) :對 任 意 的 yY 存 在 zZ， 使 得 gfg g f由 復(fù) 合 關(guān) 系 的 定 義 ：對 于 每 一 個(gè) xX， 都 存 在 Z中 的 某 個(gè) 像 點(diǎn) z與 之 對 應(yīng)Dg f X 證 明 （ 續(xù) ）(2)唯 一 性 ： g f g f假 設(shè) 且 z1 z2 g f 存 在 y1Y f g g f 存 在 y2Y f gy1 y2 yz1 z2 z 合 成 函 數(shù) 舉 例設(shè) X=1,2,3,Y=p,q,Z=a,b, f=, g=,求 g f。g f=, 定 理函 數(shù) 的 合 成 運(yùn) 算 是

16、 可 結(jié) 合 的 ， 即 ：h ( g f)= (h g) ff: XY g: YZh:Z W 證 明設(shè) ： f， g， hfg g fh h (g f)gh h gf (h g) f是 任 意 的h ( g f)= (h g) f 合 成 函 數(shù) 滿 足 結(jié) 合 律 的 圖 解 表 示f g hg f h gh (g f)(h g) f 合 成 函 數(shù) 舉 例設(shè) R為 實(shí) 數(shù) 集 合 ,對 x R有 ：f(x)=x+2, g(x)=2x, h(x)=3x; 求 g f， h (g f)， f f， g g， f g，(h g) f 解 答合 成 函 數(shù) 不 滿 足 交 換 律g f (x)=

17、g(f(x)=g(x+2)=2(x+2) h (g f)(x)=h(g f(x)=h(2(x+2)=6(x+2) f f(x)=f(f(x)=f(x+2)=(x+2)+2=x+4g g(x)=g(g(x)=g(2x)=4xf g(x)=f(g(x)=f(2x)=2x+2=2(x+1) (h g) f(x)= (h g)(f(x)= (h g)(x+2)=6(x+2)h g(x)=h(g(x)=h(2x)=6x 合 成 函 數(shù) 滿 足 結(jié) 合 律 函 數(shù) 合 成 運(yùn) 算 結(jié) 合 律 的 推 廣f1:X1 X2, f2:X2 X3, , fn:Xn Xn+1fn fn-1 f2 f1 : X1 X

18、n+1若 ： f1=f2= =fn X1=X2= =Xn+1， 則 ：fn=f f f f : X X 等 冪 函 數(shù)函 數(shù) f:X Xf2=ff f 等 冪 函 數(shù) 定 理設(shè) 函 數(shù) f: XY ,g: YZ,g f是 一 個(gè) 復(fù)合 函 數(shù) ， 則 ： (1) 若 g和 f是 滿 射 的 ,則 g f是 滿 射 的 . (2) 若 g和 f是 單 射 的 ,則 g f是 單 射 的 . (3) 若 g和 f是 雙 射 的 ,則 g f是 雙 射 的 . 證 明 （ 1）對 于 任 意 的 z Z 存 在 x X,使 得 ： g f對 于 任 意 的 z Z g是 滿 射 的存 在 一 個(gè) y

19、 Y， 使 得 g(y)=z f是 滿 射 的對 于 y Y， 必 有 x X， 使 得 f(x)=yz=g(y)=g(f(x)= g f(x) g f g f是 滿 射 函 數(shù) 證 明 （ 2）x1x2 g f(x1)g f(x2)x1x2 f是 單 射 的f(x1)f(x2)y1y2 g是 單 射 的g(y1)g(y2)g(f(x1)g(f(x2)g f(x 1)g f(x2) g f是 單 射 的 定 理設(shè) 函 數(shù) f: XY ,g: YZ,g f是 一個(gè) 復(fù) 合 函 數(shù) ， 則 ： (1) 若 g f是 滿 射 的 ,則 g是 滿 射 的 . (2) 若 g f是 單 射 的 ,則 f

20、是 單 射 的 . (3) 若 g f是 雙 射 的 ,則 g是 滿 射 的 ，f是 單 射 的 . 證 明 （ 2）x1x2 f(x1)f(x2)x1x2 g f是 單 射 的g f(x1)g f(x2)g(f(x1)g(f(x2)g(y1)g(y2) 函 數(shù) 的 唯 一 性y1y2 f(x1)f(x2) f是 單 射 的 定 理設(shè) 函 數(shù) f: XY, IX是 X上 的 恒 等 函 數(shù) ，IY是 Y上 的 恒 等 函 數(shù) ， 則 f= f IX= IY f 證 明設(shè) :xX yY IX(x)=x IY(y)= yf IX (x)=f(IX (x)=f(x)f IX=fIY f (x)=IY

21、 (f(x)=f(x)IY f = f 定 理函 數(shù) f: XY f-1:f的 逆 關(guān) 系 ， 則 ：f-1是 從 Y到 X的 函 數(shù) f是 雙 射 函 數(shù) 舉 例 :f不 是 滿 射 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù) f: XYX=a,b,c Y=1,2,3,4f=,f的 逆 關(guān) 系f-1 =,，不 滿 足 函 數(shù) 的 任 意 性不 是 函 數(shù) 舉 例 :f不 是 單 射 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù) f: XYX=a,b,c Y=1,2f=,f的 逆 關(guān) 系f-1 =,，不 滿 足 唯 一 性不 是 函 數(shù) 2、 反 函 數(shù)設(shè) f: XY是 雙 射 函 數(shù) ， 則 : f的 逆 關(guān) 系 稱 f的 反 函 數(shù)注 意 ：

22、 只 有 雙 射 函 數(shù) 才 有 反 函 數(shù) 。f-1 證 明(1) f: XY 則 f-1 : YX假 設(shè) f不 是 滿 射 函 數(shù) ， 則 :與 函 數(shù) 的 任 意 性 相 矛 盾RfYRf=Df-1Df-1Y 證 明(2)假 設(shè) f不 是 單 射 函 數(shù) ， 則 ：x1x2 f(x1) f(x2) yf(x1) yf(x2) y f-1(y) x1f-1(y) x2原 像 像 點(diǎn)像 點(diǎn)與 函 數(shù) 的 唯 一 性 相 矛 盾 定 理設(shè) f: XY是 一 雙 射 函 數(shù) ,則 :f的 反 函 數(shù) f-1 : YX也 是 一 個(gè) 雙 射 函 數(shù) 。 證 明(1) f-1 是 從 Y到 X的 函

23、 數(shù) ；(2) f-1是 滿 射 函 數(shù) ；(3) f-1是 單 射 函 數(shù) ； 證 明 ： f-1 是 從 Y到 X的 函 數(shù)f是 雙 射 函 數(shù) f是 滿 射 函 數(shù)對 任 意 的 yY必 存 在 xXf f-1 Df-1 Yf-1是 滿 足 任 意 性 的f是 雙 射 函 數(shù) f是 單 射 函 數(shù)對 任 意 的 yY恰 有 一 個(gè) 的 xXf 僅 有 一 個(gè) xX f-1f-1是 滿 足 唯 一 性 的 證 明 ： f-1是 滿 射 函 數(shù) R f-1= f-1是 滿 射 函 數(shù)Df= X 證 明 ： f-1是 單 射 函 數(shù)假 設(shè) f-1不 是 單 射 函 數(shù) ， 即 ：y1y2 但

24、是 有 f-1(y1) f-1(y2) f是 函 數(shù)f-1(y1) x1f-1(y2) x2 x1 x2 f(x1) f(x2) y1 y2與 假 設(shè) 相 矛 盾 f-1是 單 射 函 數(shù) 定 理若 f: XY是 雙 射 函 數(shù) ,則 (f-1)-1=f。證 明 ： 對 任 意 的 (f-1)-1 f-1 f (f-1)-1=f 定 理函 數(shù) f: XY 反 函 數(shù) f-1: YXf-1 f=IX f f-1=IY證 明 ： 設(shè) f(x)=y f-1(y)=xf-1 f(x)=f-1 (f(x)=f-1 (y)=x f-1 f=IXf f-1 (y) =f(f-1 (y)=f(x)=y f f

25、-1=IY 舉 例f: XYX=0,1,2 Y=a,b,cf=,求 ： f-1 f， f f-1 解 答f-1=,(f-1 f)(0)= f-1(f(0)= f-1(c)=0(f-1 f)(1)= f-1(f(1)= f-1(a)=1(f-1 f)(2)= f-1(f(2)= f-1(b)=2 f-1 f=,=IX 解 答(f f-1)(a)= f (f -1(a)= f(1)=a(f f-1)(b)= f (f -1(b)= f(2)=b(f f-1)(c)= f (f -1(c)= f(0)=c f f-1=,=IYf-1=, 定 理f: XYg:YZ(g f)-1= 雙 射 函 數(shù) g-

26、1f-1 證 明f: XYg:YZ g f : X Z (g f)-1 : ZX對 任 意 的 (g f)-1g f(y)(yY f g)(y)(yY f-1 g-1)(y)(yY g-1 f-1) f-1 g-1 舉 例X=1,2,3FX:從 X到 X上 的 所 有 雙 射 函 數(shù) 組 成 的 集 合求 ： FX的 所 有 函 數(shù) 及 其 反 函 數(shù) 。 解 答f1=,=IXf2=,f3=,f4=,f5=,f6=, FX=f1, f2, f3, f4, f5, f6 f1-1=,=f1f2-1=, =f2f3-1=,=f3f4-1=,=f4f5-1=,=f6f6-1=,=f5 解 答 (續(xù)

27、) f1 f2 f3 f4 f5 f6f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6f2 f2 f1 f6 f5 f4 f3f3 f3 f5 f1 f6 f2 f4f4 f4 f6 f5 f1 f3 f2f 5 f5 f3 f4 f2 f6 f1f6 f6 f4 f2 f3 f1 f5若 |X| n,則 X上 雙射 函 數(shù) 的 個(gè) 數(shù) 為 n!f3 f2 =,=f5 舉 例|X|=m|Y|=n問 ： 存 在 滿 射 函 數(shù) 、 單 射 函 數(shù) 、 雙 射 函 數(shù) 的必 要 條 件 是 什 么 ？mn mn m=n 第 三 節(jié) 二 元 運(yùn) 算一 、 基 本 概 念二 、 二 元 運(yùn) 算 的 性 質(zhì)三

28、、 二 元 運(yùn) 算 中 的 特 異 元 素 一 、 基 本 概 念1、 二 元 運(yùn) 算2、 n元 運(yùn) 算3、 二 元 運(yùn) 算 的 封 閉 性 1、 二 元 運(yùn) 算X:集 合f:X2X的 映 射 f為 X中 的 二 元 運(yùn) 算解 釋 ： 一 個(gè) 運(yùn) 算 符 聯(lián) 系 著 兩 個(gè) 運(yùn) 算 分 量f()=z運(yùn) 算 符 運(yùn) 算 分 量運(yùn) 算 分 量 運(yùn) 算 結(jié) 果xfy=zx,y,z X z X封 閉性 2、 n元 運(yùn) 算X:集 合f:XnX的 映 射 f為 X中 的 n元 運(yùn) 算運(yùn) 算 的 階f =xx1,x2, ,xn,xX 3、 二 元 運(yùn) 算 的 封 閉 性注 意 ： 任 意 一 個(gè) 二 元 運(yùn)

29、 算 必 須 滿 足 封 閉 性A:集 合f:A2B的 映 射 BA 二 元 運(yùn) 算 是 封 閉 的 二 元 運(yùn) 算 舉 例設(shè) A=x|x=2n,nN 問 ： 乘 法 運(yùn) 算 是 否 封 閉 ？ 對 加 法 運(yùn) 算 呢 ？乘 法 運(yùn) 算 ： 對 于 任 意 的 2r 、 2sA2r2s = 2r+s A 乘 法 運(yùn) 算 在 A上 封 閉 ；加 法 運(yùn) 算 ： 21+22 =6 A 加 法 運(yùn) 算 在 A上 不 封 閉 ； 舉 例判 斷 乘 法 運(yùn) 算 是 否 在 下 列 各 N的 子 集 上 封 閉 ？(1)A1=0,1(2)A2=1,2(3)A3=x|x為 素 數(shù) (4)A4=x|x為 偶

30、數(shù) (5)A5=x|x為 奇 數(shù) 22=4A223=6A3 定 理*:X中 的 二 元 運(yùn) 算S1 XS2 X*在 S1和 S2上 是 封 閉 的 *在 S1S2上 也 封 閉 證 明對 任 意 的 兩 個(gè) 元 素 x,yS1S2 x,yS1 x,yS2 *在 S1和 S2上 封 閉 x*yS1 x*yS2 x*yS1S2 *在 S1S2上 也 封 閉 二 、 二 元 運(yùn) 算 的 性 質(zhì)1、 封 閉 性 （ 通 性 ）2、 交 換 性3、 可 結(jié) 合 性4、 可 分 配 性5、 吸 收 律 1、 封 閉 性 （ 通 性 ）*:X中 的 二 元 運(yùn) 算對 于 任 意 的 x,y X x*y X在

31、 集 合 X上 滿 足 封 閉 性 2、 交 換 性*:X中 的 二 元 運(yùn) 算對 于 任 意 的 x,y X x*y=y*x*運(yùn) 算 是 可 交 換 的 3、 可 結(jié) 合 性*:X中 的 二 元 運(yùn) 算對 于 任 意 的 x,y,z X x*y*z=x*(y*z)=(x*y)*z*運(yùn) 算 是 可 結(jié) 合 的 二 元 運(yùn) 算 性 質(zhì) 舉 例設(shè) Q是 有 理 數(shù) 集 合 ， Q上 的 二 元 運(yùn) 算 定義 為 ： a*b=a+b-ab a,b Q問 *是 否 可 交 換 ？ 可 結(jié) 合 ？ 解 答(1)交 換 性 ：b*a=b+a-ba=a+b-ab=a*b *運(yùn) 算 滿 足 交 換 律 (2)

32、結(jié) 合 性 ：a*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-bc+abc(a*b)*c=(a+b-ab)*c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=a+b+c-ab-ac-bc+abc=a*(b*c) *運(yùn) 算 滿 足 結(jié) 合 律 解 答 二 元 運(yùn) 算 性 質(zhì) 舉 例A是 非 空 集 合 ， *是 A上 的 二 元 運(yùn) 算 ， 并定 義 為 ： a*b=b,證 明 *是 可 結(jié) 合 的 。a*(b*c) *是 可 結(jié) 合 的(a*b)*c =c=a*c=b*c=c 4、 可 分 配 性*, :X中 的 二 元 運(yùn) 算對 于 任 意

33、 的 x,y,z Xx*(y z)=(x*y) (x*z)(y z)*x=(y*x) (z*x) *對 可 分 配 5、 吸 收 律*, :X中 的 可 交 換 的 二 元 運(yùn) 算對 于 任 意 的 x,y Xx*(x y)=x (x*y)= xx *和 滿 足 吸 收 律 二 元 運(yùn) 算 性 質(zhì) 舉 例在 N上 定 義 兩 個(gè) 二 元 運(yùn) 算 *和 ， 對 任意 的 x,y N， 有 ：x*y=max(x,y) x y=min(x,y)驗(yàn) 證 ： *和 滿 足 吸 收 律 。 解 答x*(x y)=x*(min(x,y)=max(x,min(x,y)= xyx=yxyx=yxymin(x,x

34、)= xmin(x,x)=xmin(x,y)=x *和滿足吸收律 三 、 二 元 運(yùn) 算 中 的 特 異 元 素1、 幺 元 e（ 左 幺 元 el 、 右 幺 元 er ）2、 零 元 （ 左 零 元 l 、 右 零 元 r ）3、 逆 元 （ 左 逆 元 xl 、 右 逆 元 xr ）4、 等 冪 元5、 可 約 的 （ 可 消 去 的 ）6、 由 運(yùn) 算 表 求 特 異 元 素 1、 幺 元 e（ 左 幺 元 el 、 右 幺 元 er ）* :X中 的 二 元 運(yùn) 算(x)( )x X (el )( )el X el *x=x左 幺 元(x)( )x X (er )( )er X x*

35、er=x右 幺 元 定 理* :X中 的 二 元 運(yùn) 算如 果 X對 運(yùn) 算 *同 時(shí) 存 在 e l和 e re l = e r = e(x)( )x X (e)( )e X x*e=xe*x=幺 元 單 位 元 素e若 存 在 則 必 唯 一 證 明(1) el = er =ex*e=e*x=xel * e r el是 *的 左 幺 元= e r er是 *的 右 幺 元= e l=e x*e=e*x=xx e是 *唯 一 的 幺 元(2)幺 元 是 唯 一 的 證 明 (續(xù) )假 設(shè) e 是 *的 另 一 個(gè) 幺 元e ee* e= ee* e= e e是 幺 元e是 幺 元e= e 幺

36、 元 舉 例問 實(shí) 數(shù) 集 合 R上 的 加 法 運(yùn) 算 和 乘 法 運(yùn) 算的 幺 元 各 是 什 么 ？實(shí) 數(shù) 集 合 R上 的 加 法 運(yùn) 算 ： 幺 元 是 0實(shí) 數(shù) 集 合 R上 的 乘 法 運(yùn) 算 ： 幺 元 是 1 2、 零 元 （ 左 零 元 l 、 右 零 元 r ）* :X中 的 二 元 運(yùn) 算(x)( )x X (l )( )l X l*x=l左 零 元(x)( )x X (r )( )r X x*r=r右 零 元 定 理* :X中 的 二 元 運(yùn) 算如 果 X對 運(yùn) 算 *同 時(shí) 存 在 l和 r l = r = (x)( )x X ()( ) X x*=*x=零 元若

37、存 在 則 必 唯 一 零 元 舉 例問 實(shí) 數(shù) 集 合 R上 的 加 法 運(yùn) 算 和 乘 法 運(yùn) 算的 零 元 各 是 什 么 ？實(shí) 數(shù) 集 合 R上 的 加 法 運(yùn) 算 ：實(shí) 數(shù) 集 合 R上 的 乘 法 運(yùn) 算 ： 無 零 元零 元 是 0 3、 逆 元 （ 左 逆 元 xl 、 右 逆 元 xr ）* :X中 的 二 元 運(yùn) 算*運(yùn) 算 存 在 幺 元 e x X( xl)( )xl X exl*x=x的 左 逆 元 左 可 逆 的( xr)( )xr X ex*xr =x的 右 逆 元 右 可 逆 的x是 左 可 逆 的x是 右 可 逆 的 x是 可 逆 的 定 理* :X中 的 二

38、 元 運(yùn) 算*運(yùn) 算 存 在 幺 元 e*運(yùn) 算 可 結(jié) 合 元 素 x X是 可 逆 的x l = x r = x-1x的 逆 元x-1若 存 在 則 必 唯 一 證 明(1)左 逆 元 等 于 右 逆 元xl*x*xr *是 可 結(jié) 合 的=(xl*x)*xr xl*x=e=e*xr =xrxl*x*xr *是 可 結(jié) 合 的=xl*(x*xr) x*xr=e =xl*e =xl xl=xr 證 明(2)xl=xr=x-1唯 一幺 元 e的 逆 元 是 其 本 身 ， 零 元 不 可 逆假 設(shè) x1-1和 x2-1是 x的 兩 個(gè) 逆 元x1-1 x2-1x1-1 = x1-1 *e x2

39、-1是 x的 逆 元= x1-1 * (x* x2-1) *是 可 結(jié) 合 的=( x1-1 *x)*x2-1 x 1-1是 x的 逆 元=e *x2-1 =x2-1 舉 例(1)實(shí) 數(shù) 集 合 R上 的 加 法 運(yùn) 算 ： 求 每 個(gè) 實(shí)數(shù) 的 逆 元(2)實(shí) 數(shù) 集 合 R上 的 乘 法 運(yùn) 算 ： 求 每 個(gè) 實(shí)數(shù) 的 逆 元 解 答實(shí) 數(shù) 集 合 R上 的 加 法 運(yùn) 算 無 零 元e=0 x+(-x)=0 =e x-1 = -x實(shí) 數(shù) 集 合 R上 的 乘 運(yùn) 算 e=1 0 x 1/x=1=e x-1 =1/x x0 4、 等 冪 元x*x幺 元 和 零 元 都 是 等 冪 元*

40、:X中 的 二 元 運(yùn) 算 x X=x等 冪 元 5、 可 約 的* :X中 的 二 元 運(yùn) 算 a X對 每 一 個(gè) x,y X(a*x=a*y) x=y或 者 (x*a=y*a) x=y可 約 的 可 消 去 的 定 理* :X中 的 二 元 運(yùn) 算*運(yùn) 算 可 結(jié) 合 a Xa是 可 逆 的 a是 可 約 的 證 明a*x=a*y x=ya是 可 逆 的 ,a的 逆 元 為 a-1a-1*(a*x) *是 可 結(jié) 合 的= (a-1*a)*x=e*x=xa-1*(a*x) a*x=a*y= a-1*(a*y) *是 可 結(jié) 合 的= (a-1*a)*y=e*y=y x=ya是 可 約 的

41、 6、 由 運(yùn) 算 表 求 特 異 元 素左 幺 元 :右 幺 元 : 某 一 個(gè) 元 素 使 得 某 一 行 不 改 變 ；某 一 個(gè) 元 素 使 得 某 一 列 不 改 變 ；左 零 元 :右 零 元 : 某 一 個(gè) 元 素 使 得 某 一 行 均 為 該 元 素 ；某 一 個(gè) 元 素 使 得 某 一 列 均 為 該 元 素 ；逆 元 : 幺 元 所 對 應(yīng) 的 元 素 互 為 逆 元 ；等 冪 元 :只 考 慮 主 對 角 線 上 的 元 素 舉 例已 知 二 元 運(yùn) 算 *、 、 的 運(yùn) 算 表 ， 求各 運(yùn) 算 的 特 異 元 素 。 解 答(1)第 2、 4行 沒 改 變和 均 為

42、 左 幺 元 ；無 右 幺 元 ；(2)無 左 、 右 零 元 ；(3)無 逆 元 ；(4)、 、 均 為 等 冪 元 。 解 答(1)第 1行 沒 改 變 ， 所 以 為 左 幺 元 ； 第 1列 沒 改 變 ， 所 以 為 右 幺 元 ； 為 幺 元(2)無 左 、 右 零 元 ；(3)-1 ;-1 ;-1 ;(4)為 等 冪 元 。 解 答(1)第 1行 沒 改 變 ， 所 以 為 左 幺 元 ； 第 1列 沒 改 變 ， 所 以 為 右 幺 元 ； 為 幺 元(2)無 左 、 右 零 元 ；(3)-1 ;-1 ;-1 ;-1 ; -1 =;(4)、 為 等 冪 元 。 舉 例I:整 數(shù)

43、 集 合g:I I I， 且 ： g=x*y=x+y-xy求 出 幺 元 ， 并 指 出 每 個(gè) 元 素 的 逆 元 。 解 答(1)求 幺 元 e：對 任 意 的 x I x*y=x+y-xyx*e=x+e-xe 幺 元 的 定 義=xe=0 解 答(2)求 x的 逆 元 x-1 ：x* x-1 x*y=x+y-xy=x+ x-1 -x x-1=0 x-1 =x/(x-1) Ix=0時(shí) ：x=2時(shí) ： x-1 =0 Ix-1 =2 I 舉 例設(shè) *是 自 然 數(shù) 集 合 N中 的 二 元 運(yùn) 算 ， 并且 ： x*y=x證 明 ： *不 可 交 換 ， 但 可 結(jié) 合 ；并 問 哪 些 元 素 是 等 冪 的 ，是 否 有 左 、 右 幺 元 ？ 解 答(1)不 可 交 換 ：x*y=xy*x=y(2)可 結(jié) 合 ：(x*y)*z=x*z=xx*(y*z)=x*y=x 解 答(3)等 冪 元 ：x*x= x*y=xx 任 何 元 素 x N均 為 等 冪 元(4)右 幺 元 ：x*y=x 右 幺 元任 何 元 素 y N均 為 x的 右 幺 元(5)左 幺 元 ：el*x= 左 幺 元 的 定 義xel*x= x*y=xel無 左 幺 元