有理數(shù) 例題解析

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1、“點撥有理數(shù)運算”例題解析 有理數(shù)運算是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)運算，熟練掌握有關(guān)運算技巧，巧妙地運用有關(guān)數(shù)學(xué)方法，是提高運算速度和準(zhǔn)確性的必要保證。下面介紹一些這方面的技巧。 1. 歸類運算 進(jìn)行有理數(shù)的加減運算時，運用交換律、結(jié)合律歸類加減，常?？梢允惯\算簡捷，如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)結(jié)合、分母相同的數(shù)結(jié)合等。 例1 計算：。 解法1： 。 解法2： 。 評析：解法1是小數(shù)與小數(shù)結(jié)合，解法2是整數(shù)與整數(shù)結(jié)合，這樣解決了既含分?jǐn)?shù)又含小數(shù)的有理數(shù)加減運算問題。同學(xué)們遇到類似問題時，應(yīng)學(xué)會靈活選擇解題方法。 2. 湊整求和 將相加可得

2、整數(shù)（或整十、整百、整千等）的數(shù)放在一起進(jìn)行運算（其中包括互為相反數(shù)的兩數(shù)相加），可以降低解題難度，提高解題效率。 例2 計算：。 解： 評析：在有理數(shù)的運算中，為了計算的方便，常把參與運算的數(shù)湊成整一、整十、整百、整千等，這樣便于迅速求解。 3. 變換順序 在有理數(shù)的運算中，適當(dāng)改變運算順序，有時可以減少運算量，在具體運算過程中，技巧是恰到好處地運用交換律、結(jié)合律和分配律等運算律簡化運算。 例3 計算：。 解： 。 評析：運算前要觀察、分析參與運算的數(shù)的特征、排列順序等，適當(dāng)交換各數(shù)的位置，從而達(dá)到簡化運算、快速解題的目的。

3、 4. 逆用運算律 在處理有理數(shù)的運算時，若能根據(jù)題目所顯示的結(jié)構(gòu)、關(guān)系特征加以靈活變形，便可巧妙地逆用分配律，輕松求解。 例4 計算：。 解： 評析：很明顯，通過靈活變形，逆用分配律，減少了運算量，提高了解題效率。 5. 巧拆項 把一項拆成兩項的和或積，使得算式可以消去某些項，使運算簡捷。 例5 計算：。 解： 評析：對于這些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的題目，用常規(guī)的方法不易解決。解這類問題要根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點，找出拆項規(guī)律，巧妙地解決問題。 6. 變量代換 通過引入新變量轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，這樣不但可以減少運算量，還有利于尋找解題思路，其中的新變

4、量在解題過程中起到橋梁的作用。 例6 計算：。 解：設(shè)，則 評析：此題乍一看比較復(fù)雜，但若仔細(xì)觀察，便會發(fā)現(xiàn)整個式子可分為三部分：、、，因此，采用變量代換可減少計算量。 7. 分組搭配 觀察所求算式的特征，巧妙地分組搭配處理，可以簡化運算。 例7 計算：。 解： 評析：這種分組運算的過程，實質(zhì)上為巧妙地添括號或去括號的過程。 8. 倒序相加減 在處理有理數(shù)的加減運算時，有時根據(jù)所求式子的結(jié)構(gòu)，采用倒序相加減的方法使問題簡化。 例8 計算： 解：把原式括號內(nèi)各項倒序后，得 。 將上式和原式相加，得 ∴

5、原式=。 評析：顯然，此類問題是不能“硬算”的，倒序相加可“湊整”后求和，從而避免了復(fù)雜的運算。 9. 添數(shù)配對 例9 計算： 。 解：添上，依次與各數(shù)配對相加，得 。 ∴原式 評析：添數(shù)配對實質(zhì)上也是一種“湊整”運算。 “透視生活中的有理數(shù)”例題解析 有理數(shù)知識是初中數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的內(nèi)容之一。隨著課程改革的進(jìn)一步深入，在各地中考試題中出現(xiàn)了許多涉及有理數(shù)知識的新穎題型，現(xiàn)列舉部分典型試題加以歸類分析，希望對同學(xué)們有所幫助。 1. 考查基本概念 例1 氣溫升高1℃記作+1℃，氣溫下降6℃記作__________℃。 例2

6、吐魯番盆地低于海平面155m，記作-155m；福州鼓山絕頂峰高于海平面919m，記作_________m。 解析：以上兩例考查的知識起點較低，考查了利用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量這一基本知識。例1應(yīng)填，例2應(yīng)填+919。 例3 2004年12月26日，印度洋海域發(fā)生強烈地震并引發(fā)海嘯，某市中小學(xué)師生紛紛捐款捐物，為災(zāi)區(qū)早日重建家園奉獻(xiàn)愛心。全市中小學(xué)師生共捐款202655.74元，這一數(shù)據(jù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為_______元。（結(jié)果保留4位有效數(shù)字） 例4 太陽能是一種環(huán)保型新能源，據(jù)科學(xué)家統(tǒng)計，平均每平方千米的地面一年從太陽上獲得的能量，相當(dāng)于燃燒130000000

7、kg煤所產(chǎn)生的能量，用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù)是__________kg。 解析：以上兩例考查了近似數(shù)、有效數(shù)字及科學(xué)記數(shù)法等基本知識。例3以印度洋海嘯為背景，對同學(xué)們滲透了奉獻(xiàn)愛心的教育，答案是。例4介紹了太陽能，讓同學(xué)們在做題中增加了科普知識，答案是。兩例如出一轍，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)貼近生活的特性。 2. 考查基本運算 例5 “神舟“五號飛船返回艙的設(shè)計溫度為21℃4℃，該返回艙的最高溫度是______℃。 解析：只要知道21℃4℃表示溫度值是在21℃-4℃到21℃+4℃之間，就可以確定本題應(yīng)填25。 例6 磁懸浮列車是一種科技含量很高的新型交通工具，它有速度快、爬坡

8、能力強、能耗低等優(yōu)點。它的每個座位的平均能耗僅為飛機每個座位平均能耗的，是汽車每個座位平均能耗的。那么，汽車每個座位的平均能耗是飛機每個座位平均能耗的（ ） A. B. C. D. 解析：本題以高新科技磁懸浮列車為載體，著重考查同學(xué)們的數(shù)據(jù)整理能力，汽車每個座位的平均能耗是飛機每個座位平均能耗的，應(yīng)選C。 3. 考查估算能力 例7 一批貨物總質(zhì)量為，現(xiàn)要運走這批貨物，下列運輸工具中比較合適的是（ ） A. 一艘萬噸級巨輪 B. 一架飛機 C. 一輛汽車 D. 一輛板車 例8 小明的媽媽為了獎勵小明在

9、學(xué)習(xí)中取得的進(jìn)步，給小明買了一個新文具盒，你估計這個文具盒的厚度約為3________。（填上合適的長度單位） 解析：以上兩例從不同角度考查了同學(xué)們的估算能力。例7中貨物的總質(zhì)量為，即為萬t，那么比較合適的運輸工具是萬噸級巨輪，應(yīng)選A。例8以同學(xué)們非常熟悉的文具盒為話題，很容易估計文具盒的厚度約為3cm。 【練一練】 1. 冬季的某日，上海的最低氣溫是3℃，北京的最低氣溫是℃，這一天上海的最低氣溫比北京的最低氣溫高_(dá)_____℃。 2. 若家用電冰箱冷藏室的溫度是4℃，冷凍室的溫度比冷藏室的溫度低22℃，則冷凍室的溫度為（ ） A. ℃ B. ℃ C. 26℃

10、 D. 18℃ 3. 據(jù)蘇州市紅十字會統(tǒng)計，2004年蘇州市的無償獻(xiàn)血者總量為12.4萬人次，已連續(xù)6年保持全省第一。12.4萬可以用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ） A. B. C. D. 4. 標(biāo)準(zhǔn)籃球場的長是28m，寬應(yīng)是（ ） A. 1m B. 15m C. 68m D. 34m 5. 地球赤道長約為，我國最長的河流——長江全長約，赤道長約為長江長的（ ） A. 7倍 B. 6倍 C. 5倍 D. 4倍 6. 小舒家的水表如圖1，該水表的讀數(shù)為_______。（精確到0.1）

11、 參考答案： 1. 8 2. B 3. B 4. B 5. B 6. 1476.5 “有理數(shù)新情景應(yīng)用題”例題解析 以現(xiàn)實生活為背景的應(yīng)用問題，是中考的熱點。解答這類題沒有現(xiàn)成的模式可套用，需要結(jié)合實際思考和分析。這類新情景應(yīng)用題有以下特點：（1）提供的背景材料新，提出的問題新；（2）注重考查閱讀理解能力，許多中考試題中涉及的數(shù)學(xué)知識并不難，但是讀懂和理解背景材料是關(guān)鍵；（3）注重考查問題的轉(zhuǎn)化能力。本文以2006年中考題中的有理數(shù)運算新情景應(yīng)用題為例，說明如下： 例1 （1）（山西）北京與紐約的時差為-13h（負(fù)號表示同一時刻紐約時間比北京時間晚），如

12、果現(xiàn)在北京時間是15：00，那么紐約時間是____________。 （2）（揚州市）某地一天早晨的氣溫是-7℃，中午上升了11℃，午夜又下降了9℃，則午夜的氣溫是（ ）。 A. 5℃ B. ?5℃ C. ?3℃ D. ?9℃ 解析；（1）因，故紐約時間為2：00。（2）依題意得，故選B。 評注：近幾年的中考題更加關(guān)注我們的現(xiàn)實生活，因而常常會給出一定的現(xiàn)實背景，讓同學(xué)們從中去理解實數(shù)的概念，運用實數(shù)的運算解決簡單的實際問題。 例2 （綿陽市）我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，而計算機處理程序中使用的是只有數(shù)碼0和1的二進(jìn)制數(shù)。這兩者可以相互換算，如將二

13、進(jìn)制數(shù)1101換算成十進(jìn)制數(shù)應(yīng)為，按此方式，將十進(jìn)制數(shù)25換算成二進(jìn)制數(shù)應(yīng)為_______。 解析：根據(jù)題中提供的范例，把握問題的關(guān)鍵，并進(jìn)行逆向思維，“除2取余”，等于12余1；6，=3，等于1余1，倒過來寫可得11001。 評注：此題要求會運用法則進(jìn)行簡單計算，關(guān)鍵是對運算法則的掌握。 例3 （紹興市）郵政部門規(guī)定：信函重100g以內(nèi)（包括100g）每20g貼郵票0.8元，不足20g的部分以20g計算；超過100g，先貼郵票4元，超過100g的部分每100g加貼郵票2元，不足100g的部分以100g計算。 （1）若要寄一封重35g的信函，則需貼郵票多少元？ （2）

14、若寄一封信函貼了6元郵票，問：此信函可能有多重？ （3）七（1）班有9位同學(xué)參加環(huán)保知識競賽，若每份答卷重12g，每個信封重4g，請你設(shè)計方案，將這9份答卷分裝在兩個信封中寄出，使所貼郵票的總金額最少。 解析：（1）35g=（20+15）g，故貼郵票（元）。 （2）在大于100g且小于等于200g范圍內(nèi)均可。 （3）分裝情況如表1。 表1 份數(shù) 質(zhì)量/g 總金額/元 1 8 12+4=16 96+4=100 0.8+4=4.8 2 7 24+4=28 84+4=88 1.6+4=5.6 3 6 36+4=40 72+4=76 1.6+3.2

15、=4.8 4 5 48+4=52 60+4=64 2.4+3.2=5.6 故9份答卷分1份、8份或3份、6份裝，總金額最少，為4.8元。 評注：計算是研究現(xiàn)實世界上數(shù)量關(guān)系的最基本的數(shù)學(xué)方式，它可以通過數(shù)量關(guān)系準(zhǔn)確、清晰地揭示問題的本質(zhì)，認(rèn)識現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。 例4 （濟寧市）隨著大陸惠及臺胞政策措施的落實，臺灣水果進(jìn)入了大陸市場。一水果經(jīng)銷商購進(jìn)了A、B兩種臺灣水果各10箱，分配給他的甲、乙兩個零售店（分別簡稱甲店、乙店）銷售。預(yù)計每箱水果的贏利情況如下頁表2。 表2 A種水果/箱 B種水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元

16、 有兩種配貨方案（整箱配貨）： 方案一：甲、乙兩店各配貨10箱，其中A種水果兩店各5箱，B種水果兩店各5箱； 方案二：按照甲、乙兩店贏利相同配貨，其中A種水果甲店_____箱，乙店_______箱；B種水果甲店______箱，乙店_______箱。 （1）如果按照方案一配貨，請你計算出經(jīng)銷商能贏利多少元。 （2）請你將方案二填寫完整（只填寫一種情況即可），并將你填寫的方案二與方案一作比較，哪種方案贏利較多？ 解析：（1）按照方案一配貨，經(jīng)銷商贏利： （元）。 （2）答案不唯一，如第一種情況填2，8，6，4；第二種情況填5，5，4，6；第三種情況填8，2，2，8。

17、 第一種情況贏利：（元）； 第二種情況贏利：（元）； 第三種情況贏利：（元）； 方案一比方案二贏利多。 評注：本題的條件較多，解題時要分清楚每個量之間的關(guān)系，還要注意分情況討論。 “用運算律簡化有理數(shù)計算”例題解析 1. 對加法，要注意用交換律和結(jié)合律 例1. 計算： 解：原式 例2. 計算： 解：原式 例3. 計算： 解：原式 2. 對乘法，也要注意用交換律和結(jié)合律

18、 例4. 計算： 解：原式 例5. 計算： 解：原式 3. 還要注意用分配律 例6. 計算： 解：原式 例7. 計算： 解：原式 “聚焦有理數(shù)運算”例題解析 有理數(shù)混合運算的關(guān)鍵是運算順序。 1、三個層次 有理數(shù)的運算順序是： （1）從高級到低級：先算乘方，再算乘除，最后算加減； （2）從內(nèi)向外：如果有括號，就先算小括號里的，再算

19、中括號里的，最后算大括號里的； （3）從左向右：同級運算，按照從左到右的順序進(jìn)行。 2、四個原則 （1）整體性原則：乘除混合運算統(tǒng)一化乘，統(tǒng)一進(jìn)行約分；加減混合運算按正負(fù)數(shù)分類，分別統(tǒng)一計算，或把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)部分拆開，分別統(tǒng)一計算； （2）簡明性原則：計算時盡量使步驟簡明，盡量運用運算律簡便計算； （3）口算原則：盡量運用口算； （4）分段原則：對一個算式，一般可以將它分成若干小段，同時分別進(jìn)行運算。 例1 計算：。 解 原式 （先算乘方） （化除為乘，同時算小括號里的） （先定符號，再算絕對值） 。 本題以加號、減號為界把整個算式分成三段，這

20、三段分別計算再相加。 3、五個技巧 （1）歸類組合：將不同類數(shù)（如分母相同或易于通分的數(shù)）分別組合，或?qū)⑼悢?shù)（如正數(shù)或負(fù)數(shù)）歸類計算； （2）湊整相消：將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如相反數(shù)）相消； （3）分解約簡：將一個數(shù)分解成幾個數(shù)和的形式，或分解為它的因數(shù)相乘的形式，將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)約簡； （4）倒序相加：利用運算律，改變運算順序，簡化計算； （5）活用運算律：正難則反，逆用運算定律以簡化計算。如乘法分配律，反過來，也成立，有時逆用也可使運算簡便。 例2 計算：。 分析 將整個式子記作，將這個式子反序?qū)懗?，? ，兩式相加，再分組計算。

21、 解 （1）令，反序?qū)懗?，得，兩式相加，? 所以。 例3 計算：（1）； （2）。 分析：將化成假分?jǐn)?shù)較繁，將其寫成的形式，對，則使用乘法分配律更為簡捷。 解 （1）原式 （2）原式 4、三類轉(zhuǎn)化 （1）加減法互為逆運算，借助相反數(shù)，加法和減法運算可以統(tǒng)一為加法運算，其關(guān)鍵是注意兩個變： ①變減號為加號； ②變減數(shù)為其相反數(shù)。另外，被減數(shù)與減數(shù)的位置不變； （2）乘除互為逆運算，借助倒數(shù)，有理數(shù)的除法可以轉(zhuǎn)化為乘法，轉(zhuǎn)化的法則是：除以一個數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)； （3）乘方運算，根據(jù)乘方意義將乘方轉(zhuǎn)化為乘積形式，進(jìn)而得到乘方的

22、結(jié)果（冪）。 因此，在運算時應(yīng)把握“遇減化加，遇除變乘，乘方化乘”，這樣可避免因記憶量大帶來的一些混亂，同時也有助于抓住數(shù)學(xué)內(nèi)在的本質(zhì)問題。 在歸納為三類轉(zhuǎn)化：一類是通過絕對值將加法、乘法在先確定符號的前提下，轉(zhuǎn)化為小學(xué)里學(xué)的算術(shù)數(shù)的加法、乘法；二是通過相反數(shù)和倒數(shù)分別將減法、除法轉(zhuǎn)化為加法、乘法；三是將乘方運算轉(zhuǎn)化為積的形式。 掌握了有理數(shù)的符號法則和轉(zhuǎn)化方法，有理數(shù)的運算就能準(zhǔn)確、快速地解決了。 例4 計算： （1）； （2）。 解 （1）原式 （2）原式 5、會用概念和性質(zhì) 如果a，b互為相反數(shù)，那么；如果c，d互為倒數(shù)，那么；如果，那么x=a或－a

23、。 例5 已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值等于3，試求的值。 解：由a，b互為相反數(shù)，得。由c，d互為倒數(shù)，得cd=1 又，所以x=2或－2。 因此 當(dāng)x=3時， 原式 當(dāng)x=－3時， 原式 練習(xí) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 。 答案： 1. 分類相加，－6.7 2. 湊整，－2 3. 逆用分配律，25 4. 拆分并利用 5. 變換順序，－7 6. 倒序相加或提公因式，4009。 “有理數(shù)計算題”例題解析 進(jìn)行有理數(shù)的計算時，如果能根據(jù)運算律及題目具體特點，靈活選擇運算方法，那么既可以拓寬解題途

24、徑，又能提高運算能力，本文特舉幾例說明。 例1 計算： 解：換位湊整 原式 例2 計算： 解：拆數(shù)湊整 原式 例3 計算： 解：分組湊整 原式 例4 計算： 解：按類分組 原式 例5 計算： 原式 例6 計算： 解：直接應(yīng)用分配律 原式 例7 計算： 解：逆向應(yīng)用分配律 原式 例8 計算： 解：綜合應(yīng)用分配律 原式 例9 計算： 解：變形應(yīng)用分配律 原式

25、 “有理數(shù)乘除法” 例題解析 近年來，各地的中考試卷中均出現(xiàn)了一些與有理數(shù)乘除法有關(guān)的新題型，考查的形式也越來越靈活，下面我們就來見識一下。 1. 基本運算型 例1. （1）計算所得的結(jié)果是（ ） A. 5 B. 6 C. D. （2）的倒數(shù)是（ ） A. B. C. D. 解析：這是一道比較基礎(chǔ)的題目，考查了最基本的乘除運算、倒數(shù)的概念。 （1），所以選D。 （2）的倒數(shù)是，所以選B。 評注：注重對基礎(chǔ)知識、基本技能的考查是新課程改革下中考命題的基本要求，這道題體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，既不刻意求難，也不過分形式

26、化。 2. 信息遷移型 例2. 十六進(jìn)制是逢十六進(jìn)位的記數(shù)法，采用整數(shù)0~9和字母A~F共16個符號，這些符號與十進(jìn)制數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系如表1。 表1 十六進(jìn)制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十進(jìn)制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，十六進(jìn)制中，E+F=1D，則等于（ ） A. B0 B. 1A C. 5F D. 6E 解析：由于十進(jìn)制是逢十進(jìn)位，所以十六進(jìn)制應(yīng)是逢十六進(jìn)位。題中給了一個例子，在十六進(jìn)制中，，由此

27、我們可以得到，故選D。 評注：這是一道新題目，我們要體會各種進(jìn)制之間的相同點與不同點，同學(xué)們解答時應(yīng)以雙向的思路來思考這類問題。 3. 規(guī)律探究型 例3. 某種細(xì)胞開始有2個，1h后分裂成4個并死去1個，2h后分裂成6個并死去1個，3h后分裂成10個并死去1個……按此規(guī)律，5h后細(xì)胞存活的個數(shù)是（ ） A. 31 B. 33 C. 35 D. 37 解析：我們應(yīng)先找出細(xì)胞分裂的規(guī)律。1h后存活的細(xì)胞有（個）；2h后存活的細(xì)胞有（個）；3h后存活的細(xì)胞有（個）。后一小時存活的細(xì)胞數(shù)是前一小時存活的細(xì)胞數(shù)的2倍減去1。所以，4h后存活的細(xì)胞有（個），5h后存活的

28、細(xì)胞有（個）。故選B。 例4. 有一列數(shù)，從第2個數(shù)開始，每個數(shù)都等于1與它前面那個數(shù)的倒數(shù)的差。若等于（ ） A. 2007 B. 2 C. D. 解析：這道題主要考查有理數(shù)的加減運算和倒數(shù)的有關(guān)知識。計算可得這一列數(shù)分別為…。于是不難發(fā)現(xiàn)，這一列數(shù)是按照依次循環(huán)的。因為2007能被3整除，所以等于2。故選B。 評注：例3和例4形式多樣，但是也容易理解，具有較強的探索性，其求解過程反映了觀察、實驗、猜測、推理等活動方式。因此同學(xué)們既要重視基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，又要加強這種題型的訓(xùn)練和研究，切實提高分析問題、解決問題的能力。 4. 知識滲透型 例5. 先

29、閱讀下列材料，然后解答問題。 從A、B、C 3張卡片中選2張，有3種不同的選法，抽象成數(shù)學(xué)問題就是從3個元素中選取2個元素組合，不同的選法共有（種）。 一般地，從m個元素中選取n個元素（）組合，記作。 例如，從7個元素中選取5個元素組合，不同的選法共有（種）。 問：從某個10人的學(xué)習(xí)小組中選取3人參加活動，不同的選法共有多少種？ 解析：這是高中數(shù)學(xué)中的組合問題，出現(xiàn)在中考試卷中卻并沒有超出范圍的感覺。求解時只要通過閱讀題目中提供的解題方法即可簡捷解答。 通過閱讀可知，從10人中選取3人參加活動，不同的選法共有（種）。 評注：我們初看題目，會感覺比較難，但只要認(rèn)真閱讀題目，通過模

30、仿其運算，就很容易求解，這也是知識滲透型題目的一個特點。同學(xué)們在答題時不必害怕，要有戰(zhàn)勝困難的勇氣和信心。 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們不僅要重視知識的形成過程，還要十分重視挖掘數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、形成和發(fā)展過程中所蘊藏的重要思想方法。從初一開始養(yǎng)成在問題解決中自覺運用數(shù)學(xué)思想方法的意識，有著不可估量的意義，本文談?wù)動欣頂?shù)學(xué)習(xí)中幾種數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)。 一. 建模思想 數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)具體問題，在一定假設(shè)條件下找出解決這個問題的數(shù)學(xué)框架，求出模型的解，并對它進(jìn)行驗證的全過程。 例1. 一次團體操排練活動中，某班45名學(xué)生面向老師站成一列橫隊。老師每次讓其中任意6名學(xué)生向后轉(zhuǎn)（不論原來方向如何），能否經(jīng)過

31、若干次后全體學(xué)生都背向老師站立？如果能夠的話，請你設(shè)計一種方案：如果不能夠，請說明理由。 分析：問題似乎與數(shù)學(xué)無關(guān)，卻又難以入手。注意到學(xué)生站立有兩個方向，與具有相反意義的量有關(guān)，向后轉(zhuǎn)有可想象為進(jìn)行一次運算，或者說改變一次符號。我們能否設(shè)法聯(lián)系有理數(shù)的知識進(jìn)行討論？ 讓我們再發(fā)揮一下想象力：假設(shè)每個學(xué)生胸前一塊號碼布，上寫“＋1”，背后有一塊號碼布，上寫“－1”，那么一開始全體學(xué)生面向老師，胸前45個“＋1”的“乘積”是“＋1”。如果最后全部背向老師，則45個“－1”的“乘積”是“－1”。 再來觀察每次6名學(xué)生向后轉(zhuǎn)進(jìn)行的是什么“運算”。我們也設(shè)想老師不叫“向后轉(zhuǎn)”，而稱這6名學(xué)生對著

32、老師的數(shù)字都“乘以（－1）”。這樣問題就解決了： 每次“運算”乘上了6個（－1），即乘上了（＋1），故45個數(shù)的“乘積”不變，始終是（＋1）。 所以要乘積為（－1）是不可能的。 一道難題，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型––––被有理數(shù)的簡單的運算別出心栽地解決了。 例2. 一艘輪船從A島出發(fā)，向北偏東40度的方向航行，行至B處發(fā)現(xiàn)前方有暗礁，轉(zhuǎn)向北偏西30度的方向航行至C處，欲使輪船回到原來的航向，輪船應(yīng)（ ） A. 順時針轉(zhuǎn)10度 B. 逆時針轉(zhuǎn)10度 C. 順時針轉(zhuǎn)70度 D. 逆時針轉(zhuǎn)70度 分析：按常規(guī)思路，本題需待到學(xué)習(xí)了平行線有關(guān)知識后方能解答，但能由順時針轉(zhuǎn)，逆時針轉(zhuǎn)聯(lián)想到兩個具

33、有相反意義的量，如規(guī)定輪船逆時針轉(zhuǎn)為“＋”，則輪船順時針轉(zhuǎn)為“－”，這樣運用有理數(shù)加法較易得出正確答案為C。 二. 數(shù)形結(jié)合思想 由于數(shù)軸的出現(xiàn)，使有理數(shù)與直線上的點聯(lián)系起來。實現(xiàn)數(shù)和形第一次親密接觸。數(shù)有了形而形象，形有了數(shù)而精確。 例3. 已知，，，試用“<”將，，，連接起來。 分析：本題可用特值法猜測大小關(guān)系，但這樣只能停留在猜想層面。缺乏嚴(yán)密的推理。利用數(shù)軸則可形象，直觀看出他們的大小關(guān)系。 解：由題意得，為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，且的絕對值大于的絕對值，，，，在數(shù)軸上表示如下： 由圖象可知： 例4. 有一座三層樓房不幸起火了，一名消防隊員搭梯子準(zhǔn)備爬上三樓搶救物品。當(dāng)他爬到梯

34、子正中一級時，二樓的窗口噴出火來，他就往下退了5級；等到火過去后，他又爬上了9級，這時樓頂有兩塊磚掉下來，他又往后退了3級，躲過磚塊后他又爬了8級，這時他離最高一層還有2級，這個梯子共有幾級？ 分析：本題可以通過建立具有相反意義的量，用有理數(shù)的加法解答。也可以通過建立數(shù)軸，用線段示意圖形象解答。如圖： 梯子級數(shù)為： 三. 分類思想 負(fù)數(shù)的出現(xiàn)使數(shù)得到再一次擴展，也使不少結(jié)論在不同的情形下出現(xiàn)截然不同的結(jié)論。如對題設(shè)中出現(xiàn)“表示有理數(shù)”這類條件往往需分類考慮，又如絕對值得到正數(shù)，平方（偶次方）得正數(shù)的數(shù)有兩個。因此得全面的考慮問題。 例5. a為有理數(shù)，比較a與的大小關(guān)系。

35、分析：顯然a與的大小的關(guān)系由a的情況確定。利用a與互為倒數(shù)關(guān)系，可以在數(shù)軸上找到三個分點：－1，0，1，然后分區(qū)間討論。 解：如圖： （1）當(dāng)時，則有 （2）當(dāng)時，則有 （3）當(dāng)時，則有 （4）當(dāng)時，則有 （5）當(dāng)時，則有 例6. 已知a、b、c都不等于零，求的值 分析：由于正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的絕對值的差異，將導(dǎo)致本題結(jié)果的多樣性。a、b、c三數(shù)均可正可負(fù)，故有8種不同情形，分別是： ①＋，＋，＋；②＋，－，＋；③＋，＋，－；④－，＋，＋；⑤－，－，＋；⑥－，＋，－；⑦＋，－，－；⑧－，－，－。 本題又可根據(jù)式子的對稱性按負(fù)數(shù)的個數(shù)簡單分為： ①中有0個負(fù)數(shù)；②有1個負(fù)數(shù)

36、； ③有2個負(fù)數(shù)；④有3個負(fù)數(shù) 說明：可以按不同標(biāo)準(zhǔn)分類，但應(yīng)做到不重不漏。 四. 轉(zhuǎn)化思想 有理數(shù)充分體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的思想。如利用相反數(shù)，把減法轉(zhuǎn)化為加法；利用倒數(shù)，把除法轉(zhuǎn)化為乘法。這種應(yīng)用已學(xué)過的知識去研究新問題，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本方法之一。 　 　 縱觀近年各地中考題，“用數(shù)學(xué)的意識”及開放性的問題受到普遍關(guān)注。涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決聯(lián)系實際問題的“應(yīng)用題”數(shù)量增多，現(xiàn)以有理數(shù)為例，舉例如下。 例1. M國股民吉姆上星期六買進(jìn)某公司股票1000股，每股27元，下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況（單位：元） 星期 一 二 三 四 五

37、六 每股漲跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6 +2 （1）星期三收盤時，每股是多少元？ （2）本周內(nèi)每股最高價多少元？最低價多少元？ （3）已知吉姆買進(jìn)股票時，付了0.15%的手續(xù)費，賣出時還需付成交額0.15%的手續(xù)費和0.1%的交易稅，如果吉姆在星期六收盤前將全部股票賣出，他的收益情況如何？ 分析：每天每股價格是買進(jìn)時每股價格與當(dāng)天及該天前各天漲跌價的代數(shù)和；收益是賣出時的成交額除去手續(xù)費和交易稅及買進(jìn)所付的總額。 解：（1）星期三收盤時，每股價為： （元） （2）本周內(nèi)每天每股的價格為： 星期一：（元） 星期二：（元） 星期三：（元） 星期四：（

38、元） 星期五：（元） 星期六：（元） 故本周內(nèi)每股最高價為35.5（元）；最低價是每股26（元）。 （3）由（2）知星期六每股賣出價是28（元）。共收益 （元） 所以吉姆共收益889.5元。 例2. 出租車司機小李某天下午營運全是在東西走向的人民大道進(jìn)行的，如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，他這天下午行車?yán)锍倘缦拢▎挝唬呵祝? （1）將最后一名乘客送到目的地時，小李距下午出車地點的距離是___________千米。 （2）若汽車耗油量為a公升/千米，這天下午共耗油___________公升。 解：（1） 所以小李距下午出發(fā)地點的距離是0千米。（即回到原出發(fā)地） （2）

39、 所以這天下午汽車共耗油118a公升。 評注：耗油量只與行駛的距離有關(guān)，與行駛的方向無關(guān)，因此（2）小題要求各數(shù)據(jù)絕對值的和。而（1）小題與方向有關(guān)，則應(yīng)求代數(shù)和。 例3. 有一種“二十四點”的游戲，其游戲的規(guī)則是這樣的：任取四個1至13之間的自然數(shù)，將這四個數(shù)（每個數(shù)用且只有一次）進(jìn)行加減乘除四則運算，使其結(jié)果等于24。 例如1，2，3，4可作運算：。（注意上述運算與應(yīng)視作相同方法的運算）。 現(xiàn)有四個有理數(shù)3，4，-6，10。運用上述規(guī)則寫出三種不同方法的運算式，使其結(jié)果等于24，運算式如下： （1）_______________________ （2）___________

40、____________ （3）_______________________ 另有四個數(shù)3，-5，7，-13?？赏ㄟ^運算式（4）_______________________使其結(jié)果等于24。 參考答案： （1） （2） （3） （4） 評注：本題屬結(jié)論開放性試題，對能力的要求較高，解這類試題，一般要經(jīng)過多次的嘗試，探索。解這類題的能力一定要從平時做起。 有理數(shù)的加法運算律包括加法交換律和結(jié)合律： 加法交換律： 加法結(jié)合律： 恰當(dāng)使用加法運算律可使運算簡便，且可以推廣到三個或三個以上的有理數(shù)。常用的方法有： 一、同號的數(shù)可先加，稱為“同號結(jié)合法” 例1. 計算

41、： 解：原式 說明： （1）把算式寫成省略加號和的形式； （2）分類結(jié)合時，各部分之間用“＋”號連結(jié)。 二、互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加，稱為“相反數(shù)結(jié)合法” 例2. 計算： 解：原式 三、幾個數(shù)相加得整數(shù)時可先知，稱為“湊整結(jié)合法” 例3. 計算： 解：原式 四、同分母的分?jǐn)?shù)可先加，稱為“同分母結(jié)合法” 例4. 計算： 解：原式 說明： （1）便于通分的加數(shù)可結(jié)合； （2）當(dāng)同一個算式中既有分母，又有小數(shù)時，一般要統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)或小數(shù)（選擇計算簡便的那種形式）后，再計算。 練習(xí)：計算 （1） （2） （3） （4） （5） （6）

42、 1. 正負(fù)歸類 例1. 計算： 解： 2. 湊零歸類 例2. 計算： 解： 3. 小數(shù)與分?jǐn)?shù)互化 例3. 計算： 解： 4. 拆帶分?jǐn)?shù) 例4. 計算： 解： 5. 同分母歸類 例5. 計算： 解： 6. 前后相消 例6. 計算： 解： 7. 簡易方程法 例7. 計算： 解：不妨設(shè) 等式兩邊同乘以128，得： 即 所以 所以 以上介紹了有理數(shù)加法的幾種運算技巧，對于一個式子，如有加法也有減法，可根據(jù)有理數(shù)的減法法則把減法轉(zhuǎn)化為加法，寫成代數(shù)和的形式，然后再進(jìn)行計算。 “小數(shù)與有理數(shù)”例題解析 教科書

43、中說分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，同學(xué)們也許要問：小數(shù)是有理數(shù)嗎？我們知道，某些小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)，那么這些小數(shù)肯定也是有理數(shù)。但是否所有的小數(shù)都能化成分?jǐn)?shù)呢？小數(shù)的分類如下： 下面我們就來分類探討上面的問題。 1. 有限小數(shù) 有限小數(shù)是指小數(shù)點后數(shù)位有限的小數(shù)，這類小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)，并且很簡單。 例1. 將下列小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。 （1） （2）0.357。 解析：有限小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法我們小學(xué)時就會了，但要注意，能化簡時要化成最簡分?jǐn)?shù)。 （1） （2）。 2. 無限循環(huán)小數(shù)中的純循環(huán)小數(shù) 純循環(huán)小數(shù)是指從十分位開始循環(huán)的小數(shù)。 例2. 把純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)。

44、 解析：可以寫成0.276276…，將該數(shù)乘以1000，則得到276.276… 由于=，所以可得 =276。 所以=。 總結(jié)：整數(shù)部分為0的純循環(huán)小數(shù)，若其循環(huán)節(jié)有n位數(shù)字，則分母寫成各位數(shù)字全是9的n位整數(shù)，分子寫成該循環(huán)節(jié)，即可化為分?jǐn)?shù)。 3. 無限循環(huán)小數(shù)中的混循環(huán)小數(shù) 混循環(huán)小數(shù)是指從十分位后面的某一位數(shù)開始循環(huán)的小數(shù)。 例3. 把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。 解析：觀察可知==，按前面所講的方法化成分?jǐn)?shù)，然后通分相加即可。 = = =。 4. 無限不循環(huán)小數(shù) 這類小數(shù)數(shù)位無限，且沒有循環(huán)節(jié)，無法化成分?jǐn)?shù)。如圓周率。 通過以上探究我們可以知道，有限小數(shù)、無限小數(shù)中的純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，它們都是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)不能化為分?jǐn)?shù)，故它不是有理數(shù)。