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1、
專題對點練26 坐標系與參數(shù)方程(選修4—4)
1.已知曲線C:x24+y29=1,直線l:x=2+t,y=2-2t(t為參數(shù)).
(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;
(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.
解 (1)曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=3sinθ(θ為參數(shù)).直線l的普通方程為2x+y-6=0.
(2)曲線C上任意一點P(2cos θ,3sin θ)到l的距離為d=55|4cos θ+3sin θ-6|,則|PA|=dsin30=255|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tan α=43.
2、
當sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為2255.
當sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為255.
2.(2017遼寧大連一模,理22)已知在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ=4cos θ,直線l的參數(shù)方程為x=1-255t,y=1+55t(t為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標方程及直線l的普通方程;
(2)若曲線C2的參數(shù)方程為x=2cosα,y=sinα(α為參數(shù)),曲線C1上點P的極角為π4,Q為曲線C2上的動點,求PQ的中點M到直線l距離的最大值.
解 (1)曲線C1
3、的極坐標方程為ρ=4cos θ,即ρ2=4ρcos θ,
可得直角坐標方程C1:x2+y2-4x=0.
直線l的參數(shù)方程為x=1-255t,y=1+55t(t為參數(shù)),
消去參數(shù)t可得普通方程:x+2y-3=0.
(2)P22,π4,直角坐標為(2,2),Q(2cos α,sin α),M 1+cos α,1+12sinα,
∴M到l的距離d=|1+cosα+2+sinα-3|5
=105sinα+π4≤105,從而最大值為105.
3.(2017全國Ⅲ,理22)在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為x=2+t,y=kt(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為x=-2+m,y=m
4、k(m為參數(shù)).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C.
(1)寫出C的普通方程;
(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:ρ(cos θ+sin θ)-2=0,M為l3與C的交點,求M的極徑.
解 (1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2).
設P(x,y),由題設得y=k(x-2),y=1k(x+2).消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0).
(2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).聯(lián)立ρ2(cos2θ
5、-sin2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-2=0,得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-13,從而cos2θ=910,sin2θ=110.代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交點M的極徑為5.
4.在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25.
(1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求C的極坐標方程;
(2)直線l的參數(shù)方程是x=tcosα,y=tsinα(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩點,|AB|=10,求l的斜率.
解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圓C的極坐標方程ρ2+12ρ
6、cos θ+11=0.
(2)在(1)中建立的極坐標系中,直線l的極坐標方程為θ=α(ρ∈R).
設A,B所對應的極徑分別為ρ1,ρ2,將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2+12ρcos α+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos2α-44.
由|AB|=10得cos2α=38,tan α=153.
所以l的斜率為153或-153.
5.(2017全國Ⅰ,理22)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x=a+4t,y=1-
7、t(t為參數(shù)).
(1)若a=-1,求C與l的交點坐標;
(2)若C上的點到l距離的最大值為17,求a.
解 (1)曲線C的普通方程為x29+y2=1.當a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0.由x+4y-3=0,x29+y2=1,解得x=3,y=0或x=-2125,y=2425.從而C與l的交點坐標為(3,0),-2125,2425.
(2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(3cos θ,sin θ)到l的距離為d=|3cosθ+4sinθ-a-4|17.
當a≥-4時,d的最大值為a+917.由題設得a+917=17,所以a=8;當a<-4時,d的最大值
8、為-a+117.由題設得-a+117=17,所以a=-16.
綜上,a=8或a=-16.
6.(2017山西太原二模,理22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=2cosφ,y=sinφ(其中φ為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ(tan αcos θ-sin θ)=1 α為常數(shù),0<α<π,且α≠π2,點A,B(A在x軸下方)是曲線C1與C2的兩個不同交點.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;
(2)求|AB|的最大值及此時點B的坐標.
解 (1)曲線C1的參數(shù)方程為x=2cosφ,y=sinφ(其中φ為參數(shù))
9、,普通方程為x24+y2=1;曲線C2的極坐標方程為ρ(tan αcos θ-sin θ)=1,直角坐標方程為xtan α-y-1=0.
(2)C2的參數(shù)方程為x=tcosα,y=-1+tsinα(t為參數(shù)),代入x24+y2=1,得14cos2α+sin2αt2-2tsin α=0,
∴t1+t2=2sinα14cos2α+sin2α,t1t2=0,
∴|AB|=2sinα14cos2α+sin2α=83sinα+1sinα.
∵0<α<π,且α≠π2,∴sin α∈(0,1),
∴|AB|max=433,此時B的坐標為423,13. ?導學號16804227?
7.已知曲線C1
10、的參數(shù)方程是x=2cosφ,y=3sinφ(φ為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程是ρ=2.正方形ABCD的頂點都在C2上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標為2,π3.
(1)求點A,B,C,D的直角坐標;
(2)設P為C1上任意一點,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.
解 (1)由已知可得A2cosπ3,2sinπ3,
B2cosπ3+π2,2sinπ3+π2,
C2cosπ3+π,2sinπ3+π,
D2cosπ3+3π2,2sinπ3+3π2,
即A(1,3),B(-3,1),C(-1,-3
11、),D(3,-1).
(2)設P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,則S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因為0≤sin2φ≤1,所以S的取值范圍是[32,52]. ?導學號16804228?
8.(2017遼寧沈陽三模,理22)已知曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=3sinθ(θ為參數(shù)),在同一平面直角坐標系中,將曲線C上的點按坐標變換x=12x,y=13y得到曲線C,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)若過點A32,π(極坐標)且傾斜角為π6的直線l與
12、曲線C交于M,N兩點,弦MN的中點為P,求|AP||AM||AN|的值.
解 (1)C:x=2cosθ,y=3sinθ?x24+y23=1,將x=12x,y=13y?x=2x,y=3y代入C的普通方程可得x2+y2=1.因為ρ2=x2+y2,所以曲線C的極坐標方程為C:ρ=1.
(2)點A32,π的直角坐標是A-32,0,將l的參數(shù)方程x=-32+tcosπ6,y=tsinπ6代入x2+y2=1,可得4t2-63t+5=0,
∴t1+t2=332,t1t2=54,∴|AP||AM||AN|=t1+t22|t1t2|=335.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高考數(shù)學二輪復習 專題對點練26 坐標系與參數(shù)方程 理 選修44
