20、x＋2＝1，A(2,1)，S1＝S△AOC＝21＝1；當(dāng)x＝a時，y＝－x＋2＝－a＋2，B(a，－a＋2)，S2＝S△BOD＝a＝－a2＋a＝－(a－2)2＋1，當(dāng)a＝2時，S2有最大值1，當(dāng)a≠2時，S2<1.所以S1>S2.
10．(2011宜賓)如圖，正方形ABCD的邊長為4，P為正方形邊上一動點，運動路線是A→D→C→B→A，設(shè)P點經(jīng)過的路線為x，以點A、P、D為頂點的三角形的面積是y.則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是( )
A B C D
答案 B
解
21、析 當(dāng)點P在AD上時，S△APD＝0；當(dāng)點P在DC上時，S△APD＝4(x－4)＝2x－8；當(dāng)點P在CB上時，S△APD＝44＝8；當(dāng)點P在BA上時，S△APD＝4(16－x)＝－2x＋32.故選B.
二、填空題(每小題3分，滿分30分)
11．(2011廣州)已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(1，－2)，則k＝________.
答案?。?
解析 點(1，－2)在雙曲線y＝上，有k＝1(－2)＝－2.
12．(2011上海)一次函數(shù)y＝3x－2的函數(shù)值y隨自變量x值的增大而________(填“增大”或“減小”)．
答案 增大
解析 一次出數(shù)y＝3x－2，k＝3>0，可知y隨x
22、的增大而增大．
13．(2011黃岡)如圖，點A在雙曲線y＝上，AB⊥x軸于B，且△AOB的面積S△AOB＝2，則k＝______.
答案?。?
解析 設(shè)A(x，y)．S△AOB＝OAAB＝|x||y|＝x(－y)＝－xy＝2.
所以xy＝－4，即k＝－4.
14．(2011黃岡)已知函數(shù)y＝則使y＝k成立的x值恰好有三個，則k的值為________．
答案 3
解析 如圖，畫函數(shù)圖象．當(dāng)y＝3時，對應(yīng)的x值恰好有三個，∴k＝3.
15．(2011黃石)若一次函數(shù)y＝kx＋1的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象沒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是________．
答案 k<－
23、
解析 直線y＝kx＋1與雙曲線y＝?jīng)]有公共點，則方程組無實根，kx＋1＝，kx2＋x－1＝0，得解之，得所以k<－.
16．(2011濰坊)一個y關(guān)于x的函數(shù)同時滿足兩個條件：①圖象過(2,1)點；②當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小．這個函數(shù)解析式為____________________(寫出一個即可)．
答案 如：y＝，y＝－x＋3，y＝－x2＋5等，寫出一個即可
17．(2011內(nèi)江)在直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…、AnBnCnCn－1按如圖所示的方式放置，其中點A1、A2、A3、…、An均在一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象上，點C1、C2
24、、C3、…、Cn均在x軸上．若點B1的坐標(biāo)為(1,1)，點B2的坐標(biāo)為(3,2)，則點An的坐標(biāo)為____________．
答案 (2n－1－1,2n－1)
解析 可求得A1(0,1)，A2(1,2)，A3(3,4)，A4(7,8)，…，其橫坐標(biāo)0,1,3,7…的規(guī)律為2n－1－1，縱坐標(biāo)1,2,4,8…的規(guī)律為2n－1，所以點An的坐標(biāo)為(2n－1－1,2n－1)．
18．(2011衢州)在直角坐標(biāo)系中，有如圖所示的Rt△ABO，AB⊥x軸于點B，斜邊AO＝10，sin∠AOB＝，反比例函數(shù)y＝(k>0)的圖象經(jīng)過AO的中點C，且與AB交于點D，則點D的坐標(biāo)為________
25、_______．
答案 (8，)
解析 在Rt△AOB中，AO＝10.sin∠AOB＝＝，則AB＝6，OB＝8.又點C是AC中點，得C(4,3)，k＝43＝12，y＝.當(dāng)x＝8時，y＝＝.∴D坐標(biāo)為.
19．(2011廣安)如圖所示，直線OP經(jīng)過點P(4, 4 )，過x軸上的點1、3、5、7、9、11……分別作x軸的垂線，與直線OP相交得到一組梯形，其陰影部分梯形的面積從左至右依次記為S1、S2、S3……Sn則Sn關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式是________．
答案 (8n－4)
解析 設(shè)直線OP的解析式為y＝kx，由P(4,4 )，得4 ＝4k，k＝，∴y＝x.則S1＝(3－1)(＋
26、3 )＝4 ，S2＝(7－5)(5 ＋7 )＝12 ，S3＝(11－9)(9 ＋11 )＝20 ，……，所以Sn＝4(2n－1)＝(8n－4) .
20．(2010蘭州)如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千．拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為__________米．
答案 0.5
解析 如下圖，建立平面直角坐標(biāo)系，可得拋物線y＝ax2＋c經(jīng)過點(－0.5,1)，(1,2.5)，則解之，得∴y＝2x2＋0.5，拋物線頂點坐標(biāo)為(0,0.5
27、)，距地面的距離為0.5米．
三、解答題(21～22題各6分，23題8分，24～25題各10分)
21．(2011菏澤)已知一次函數(shù)y＝x＋2與反比例函數(shù)y＝，其中一次函數(shù)y＝x＋2的圖象經(jīng)過點P(k,5)．
(1)試確定反比例函數(shù)的表達式；
(2)若點Q是上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象在第三象限的交點，求點Q的坐標(biāo)．
解 (1)因為直線y＝x＋2過點P(k,5)，
∴5＝k＋2，k＝3.
∴反比例函數(shù)的表達式為y＝.
(2)解方程組得或
故第三象限的交點Q的坐標(biāo)為(－3，－1)．
22．(2011日照)某商業(yè)集團新進了40臺空調(diào)機，60臺電冰箱，計劃調(diào)配給下屬的甲、乙兩
28、個連鎖店銷售，其中70臺給甲連鎖店，30臺給乙連鎖店．兩個連鎖店銷售這兩種電器每臺的利潤(元)如下表：
空調(diào)機
電冰箱
甲連鎖店
200
170
乙連鎖店
160
150
設(shè)集團調(diào)配給甲連鎖店x臺空調(diào)機，集團賣出這100臺電器的總利潤為y(元)．
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；
(2)為了促銷，集團決定僅對甲連鎖店的空調(diào)機每臺讓利a元銷售，其他的銷售利潤不變，并且讓利后每臺空調(diào)機的利潤仍然高于甲連鎖店銷售的每臺電冰箱的利潤，問該集團應(yīng)該如何設(shè)計調(diào)配方案，使總利潤達到最大？
解 (1)根據(jù)題意知，調(diào)配給甲連鎖店電冰箱(70－x)臺，
調(diào)配給
29、乙連鎖店空調(diào)機(40－x)臺，電冰箱(x－10)臺，
則y＝200x＋170(70－x)＋160(40－x)＋150(x－10)，即y＝20x＋16800.
∵
∴10≤x≤40.
∴y＝20x＋16800(10≤x≤40)．
(2)按題意知：y＝(200－a)x＋170(70－x)＋160(40－x)＋150(x－10)，
即y＝(20－a)x＋16800.
∵200－a＞170，∴a＜30.
當(dāng)0＜a＜20時，y隨x增大而增大，則x＝40時，利潤最大，即調(diào)配給甲連鎖店空調(diào)機40臺，電冰箱30臺，乙連鎖店空調(diào)0臺，電冰箱30臺；
當(dāng)a＝20時，x的取值在10≤x≤40
30、內(nèi)的所有方案利潤相同；
當(dāng)20＜a＜30時，y隨x增大而減小，x＝10時，利潤最大，即調(diào)配給甲連鎖店空調(diào)機10臺，電冰箱60臺，乙連鎖店空調(diào)30臺，電冰箱0臺．
23．(2011揚州)如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊放其中(圓柱形鐵塊的下底面完全落在水槽底面上)現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度y(厘米)與注水時間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖2所示．根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：
(1)圖2中折線ABC表示______槽中的深度與注水時間之間的關(guān)系，線段DE表示________槽中的深度與注水時間之間的關(guān)系(以上兩空選填“甲”、或“乙”
31、)，點B的縱坐標(biāo)表示的實際意義是______________________________________________________；
(2)注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中的水的深度相同？
(3)若乙槽底面積為36平方厘米(壁厚不計)，求乙槽中鐵塊的體積；
(4)若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米(壁厚不計)，求甲槽底面積(直接寫結(jié)果)．
解 (1)乙，甲；乙槽內(nèi)的圓柱形鐵塊的高度為14厘米．
(2)設(shè)線段AB的解析式為y1＝kx＋b，由過點(0,2)、(4,14)，可求得解析式為y1＝3x＋2；
設(shè)線段DE的解析式為y2＝mx＋n，由過點(0,12)、(6,
32、0)，可求得解析式為y2＝－2x＋12；
當(dāng)y1＝y(tǒng)2時，3x＋2＝－2x＋12，∴x＝2.
∴注水2分鐘時，甲、乙兩水槽中水的深度相同．
(3)∵水由甲槽勻速注入乙槽，∴乙槽前4分鐘注入水的體積是后2分鐘的2倍．
設(shè)乙槽底面積與鐵塊底面積之差為S，則
(14－2)S＝236(19－14)，解得S＝30cm2.
∴鐵塊底面積為36－30＝6cm2.
∴鐵塊的體積為614＝84cm3.
(4)甲槽底面積為60cm2.
∵鐵塊的體積為112cm2，∴鐵塊底面積為11214＝8(cm2)．
設(shè)甲槽底面積為s(cm2)，則注水的速度為＝2s(cm3/min)．
由題意得－＝8，解
33、得s＝60.
∴甲槽底面積為60cm2.
24．(2011溫州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(－4,0)，點B的坐標(biāo)為(0，b)(b>0). P是直線AB上的一個動點，作PC⊥x軸，垂足為C.記點P關(guān)于y軸的對稱點為P′(點P′不在y軸上)，連結(jié)PP′、P′A、P′C.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a.
(1)當(dāng)b＝3時，
①求直線AB的解析式；
②若點P′的坐標(biāo)是(－1，m)，求m的值；
(2)若點P在第一象限，記直線AB與P′C的交點為D.當(dāng)P′D∶DC＝1∶3時，求a的值；
(3)是否同時存在a、b，使△P′CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a、b
34、的值；若不存在，請說明理由．
解 (1)①設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋3，
把x＝－4，y＝0代入上式，得－4k＋3＝0，
∴k＝，
∴y＝x＋3.
②由已知得，點P的坐標(biāo)是(1，m)，
∴m＝1＋3，∴m＝3.
(2)∵PP′∥AC，
∴△PP′D∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴a＝.
(3)以下分三種情況討論．
①當(dāng)點P在第一象限時，
i)若∠AP′C＝90，P′A＝P′C(如圖1)，過點P′作P′H⊥x軸于點H，
∴PP′＝CH＝AH＝P′H＝AC，
∴2a＝(a＋4)，∴a＝.
∵P′H＝PC＝AC，△ACP∽△AOB，
∴＝＝，即＝，
∴b＝2
35、.
ii)若∠P′AC＝90，P′A＝CA(如圖2)，則PP′＝AC，
∴2a＝a＋4，∴a＝4.
∵P′A＝PC＝AC，△ACP∽△AOB，
∴＝＝1，即＝1，∴b＝4.
iii)若∠P′CA＝90，則點P′、P都在第一象限，這與前提條件矛盾，
∴△P′CA不可能是以C為直角頂點的等腰直角三角形．
②當(dāng)點P在第二象限時，∠P′CA為銳角(如圖3)，此時△P′CA不可能是等腰直角三角形．
③當(dāng)點P在第三象限時，∠P′AC為鈍角(如圖4)，此時△P′CA不可能是等腰直角三角形．
∴所有滿足條件的a、b的值為或
25．(2011安徽)如圖，正方形ABCD的四個頂
36、點分別在四條平行線l1、l2、l3、l4上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0).
(1)求證h1＝h3;
(2)設(shè)正方形ABCD的面積為S，求證S＝(h2＋h3)2＋h12；
(3)若h1＋h2＝1，當(dāng)h1變化時，說明正方形ABCD的面積為S隨h1的變化情況．
解 (1)過A點作AF⊥l3分別交l2、l3于點E、F，過C點作CH⊥l2分別交l2、l3于點H、G，利用兩角一邊對應(yīng)相等，證△ABE≌△CDG即可．
(2)易證△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且兩直角邊長分別為h1、h3＋h2，四邊形EFGH是邊長為h2的正方形，所以S＝4h1＋h22＝2h1h3＋2h1h2＋h22＝2h12＋2h1h2＋h22＝(h1＋h2)2＋h12.
(3)由題意，得h2＝1－h(huán)1，所以S＝2＋h12＝h12－h(huán)1＋1＝2＋.
又 解得0＜h1＜.
∴當(dāng)0＜h1＜時，S隨h1的增大而減小；
當(dāng)h1＝時，S取得最小值；
當(dāng)＜h1＜時，S隨h1的增大而增大．
中考復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù)及其圖象測試(含答案)
