蘇教版高中數(shù)學(xué)選修22第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教案

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1、 精品資料 目標(biāo)定位： 1．通過(guò)具體背景與實(shí)例的抽象，經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的思想方法（無(wú)窮小算法數(shù)學(xué)）有新的感悟．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，感受和體會(huì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值．也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ)． 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力． 2．本章具體的教學(xué)目標(biāo)是： （

2、1）經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，體會(huì)變化率的廣闊實(shí)際背景（如運(yùn)動(dòng)速度、綠地面積增長(zhǎng)率、人口增長(zhǎng)率、汽油的使用效率等等）．認(rèn)識(shí)平均變化率與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，并通過(guò)函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．讓學(xué)生在經(jīng)歷和參與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的基礎(chǔ)上，體驗(yàn)有限與無(wú)限、數(shù)形結(jié)合的思維過(guò)程，以及代數(shù)幾何相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法． （2）能由導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y = c，y = x，y = x2，y = 的導(dǎo)數(shù)．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． （3）結(jié)合實(shí)例，探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．并利用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次

3、的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值和最大值、最小值．通過(guò)實(shí)例，初步學(xué)會(huì)解決生活中的優(yōu)化問題（如利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高）．體會(huì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值． （4）了解有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和歷史意義，體會(huì)微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值． 教材解讀： 1．本教材《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》，側(cè)重于對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，通過(guò)大量的實(shí)例由淺入深，由表及里，層層展示其數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法．這與傳統(tǒng)的運(yùn)用形式化的極限概念，將導(dǎo)數(shù)作為一種規(guī)則的設(shè)計(jì)有很大的不同．全章按：“現(xiàn)實(shí)世界中的背景” → “建立數(shù)學(xué)模型” → “對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究”→ “利用數(shù)學(xué)模型解決問題” 的線索而展開．全書的整體結(jié)構(gòu)如下： 2．“

4、局部的以直代曲”是微積分的核心所在，本教材通過(guò)一系列的“問題串”以及十分形象直觀的“放大圖形”的樸素方法，逐層深入，將“以直代曲”的本質(zhì)力圖說(shuō)透．教材按照“問題情境—建立模型—解釋應(yīng)用與拓展”的程序，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程．本章的問題情境按二條線索進(jìn)行設(shè)計(jì)．線索一為生活中的案例，如“氣溫變化的快與慢”、“嬰兒體重變化的快與慢”、“工廠治污率的比較”、“速度變化的快與慢”、“邊際函數(shù)”等等．另一條線索則是源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的背景．如“曲線上一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)”、“曲線上一點(diǎn)處最逼近曲線的直線”、“怎樣由割線逼近切線” 等等．應(yīng)指出的是上述兩條線索交替呈現(xiàn)，環(huán)環(huán)相扣．為導(dǎo)數(shù)模型的建立和感受微分的基本思想

5、提供了豐富的背景． 3．為了讓更多的學(xué)生能理解“局部以直代曲”的辨證思想，激發(fā)他們自主學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，教材通過(guò)設(shè)置“思考、探究、鏈接、閱讀”等內(nèi)容，以及信息技術(shù)的運(yùn)用，為教師和學(xué)生的活動(dòng)提供了廣闊的空間，以期促進(jìn)和改進(jìn)教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式．為了適應(yīng)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，教材在練習(xí)的基礎(chǔ)上，將習(xí)題分為“感受理解”、“思考運(yùn)用”、“探究拓展”三個(gè)層次．“感受理解”體現(xiàn)了本章的基本要求．“思考運(yùn)用”則幫助學(xué)生深化本章知識(shí)的理解．“探究拓展”則為學(xué)生有余力的同學(xué)提供一些富有挑戰(zhàn)性的問題．這樣習(xí)題便具有一定的彈性，為教學(xué)留有足夠的空間．也有助于學(xué)生良好的學(xué)習(xí)方式的形成． 4．另外，本章節(jié)的教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)與前期所學(xué)必

6、修教材的聯(lián)系，如必修2的相關(guān)習(xí)題（圓的周長(zhǎng)與圓的面積的關(guān)系、圓的面積與球的體積的關(guān)系）均為學(xué)習(xí)本章節(jié)作好了鋪墊． 教學(xué)方法與教學(xué)建議： 1. 突出數(shù)學(xué)模型思想．充分利用章引言中“氣溫變化”的背景和大量的生活實(shí)例以及學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必修課程所結(jié)累的經(jīng)驗(yàn)，自覺地參與建構(gòu)模型的活動(dòng)．教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)，應(yīng)注意反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，以及人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則．既要讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的發(fā)生和發(fā)展具有“一以貫之”的風(fēng)貌，又要使學(xué)生不知不覺地感受到學(xué)習(xí)的過(guò)程“似曾相識(shí)”． 2. 以問題為中心，以“問題串”為載體．充分發(fā)揮理性思維在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型中的作用．教師要避免“急于表白”和“自說(shuō)自話

7、”，應(yīng)努力追求水到渠成．通過(guò)問題串，著力揭示建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思維過(guò)程和數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)提出問題，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)． 例如，比較變化的快與慢，只考慮Δy行不行？教學(xué)中不要直接灌輸Δy/Δx，應(yīng)由生活實(shí)際背景，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境啟發(fā)學(xué)生討論、探索、感悟和體會(huì)，并盡可能由學(xué)生自己舉例說(shuō)明．教材在P4、P5、P8、P18分別提出：“用什么樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫變量變化的快與慢？”、“氣溫陡增的數(shù)學(xué)意義是什么呢？”、“如何量化陡峭程度呢？”、“如何精確地刻畫曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢？”、“如何求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？”這一系列問題引導(dǎo)著怎樣的“數(shù)學(xué)思維過(guò)程”？ “變量變化的快與慢”

8、→“數(shù)學(xué)地研究：幾何化——曲線圖”→“數(shù)學(xué)地研究：數(shù)量化—--局部近似（以直代曲），平均變化率”→“割線的斜率”→“近似向精確逼近——無(wú)限趨近于零”→“平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率，割線的斜率過(guò)渡到切線的斜率”→“導(dǎo)數(shù)”． 可見，在上述環(huán)環(huán)相扣的問題串的指引下，師生可以真正主動(dòng)地參與建構(gòu)數(shù)學(xué)的活動(dòng)．通過(guò)對(duì)這一問題的討論與發(fā)現(xiàn)，可以緊緊扣住數(shù)學(xué)的本質(zhì)．在教學(xué)中，關(guān)鍵不在給出具體的方法，而在于數(shù)學(xué)原理的發(fā)現(xiàn)，具體方法的程序化表達(dá)，只要建立在深刻理解的基礎(chǔ)上，學(xué)生自己也不難做到．這應(yīng)該自始至終地貫徹于數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程之中． 3. 導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)涉及到多個(gè)相關(guān)知識(shí)，應(yīng)注重不同章節(jié)之間的鋪墊與呼應(yīng)，內(nèi)容上注

9、意承前啟后（如函數(shù)的圖象和性質(zhì)、球的面積與體積、算法與流程圖），方法上注意多樣并舉．直與曲的對(duì)立統(tǒng)一，近似與精確的相互轉(zhuǎn)化，形與數(shù)的有機(jī)結(jié)合，導(dǎo)數(shù)的教學(xué)應(yīng)追求集大成的境界，熔幾何代數(shù)于一爐，呈“中心開花”之態(tài)． 4．?dāng)?shù)學(xué)理論不是生活的簡(jiǎn)單復(fù)制，必要的形式化訓(xùn)練也是必不可少．在導(dǎo)數(shù)概念建立之后，要認(rèn)真引導(dǎo)學(xué)生用定義推導(dǎo)幾個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這一階段特別要注重規(guī)范化書寫的常規(guī)訓(xùn)練，同時(shí)，進(jìn)一步體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想和內(nèi)涵及數(shù)學(xué)理論的自身特點(diǎn)和巨大價(jià)值，這其中滲透了算法的基本思想．對(duì)于直接給出的其他基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，一般不要提高要求．另外，應(yīng)注意作為選修1-1與選修2-2在教學(xué)要求上

10、的區(qū)別． 5．恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)，有條件應(yīng)盡量使用計(jì)算器（機(jī)）．如，“割線逼近切線”的動(dòng)態(tài)操作，曲線一點(diǎn)處的局部“放大、放大、再放大”的過(guò)程演示，“平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率”的數(shù)值計(jì)算，計(jì)算曲邊梯形面積的Monte Carlo方法等，運(yùn)用多媒體教學(xué)，應(yīng)注意現(xiàn)場(chǎng)制作，賦予信息技術(shù)以鮮活的生命，努力把計(jì)算機(jī)變成學(xué)習(xí)的好伙伴． 6．微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它充滿著人類智慧的光輝．它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．在今天的數(shù)學(xué)課上，我們是先學(xué)微分，后學(xué)積分．而在歷史上積分概念的產(chǎn)生要遠(yuǎn)早于微分概念之前．積分的萌芽可上溯到公元前3世紀(jì)

11、阿基米德的“窮竭法”，而微積分于17世紀(jì)中后葉由費(fèi)馬、笛卡爾、牛頓與萊布尼茨等人大體完成．雖然在18世紀(jì)，微積分作為偉大的數(shù)學(xué)工具已得到了廣泛的應(yīng)用．但直到19世紀(jì)才由柯西等人運(yùn)用實(shí)數(shù)理論、集合論和極限論為微積分構(gòu)建了牢固的邏輯基礎(chǔ)．這與牛頓、萊布尼茨時(shí)代又間隔了約150年．微積分的歷史，最富有啟示意義之處就在于它充分顯示了數(shù)學(xué)是如何取得進(jìn)步的．周密的思考，邏輯地推演，然后獲勝完美而無(wú)懈可擊的數(shù)學(xué)結(jié)論．?dāng)?shù)學(xué)家們這種正統(tǒng)的觀念，正好與歷史上微積分創(chuàng)造者們的情形發(fā)生了尖銳的沖突．回顧歷史，教師們理應(yīng)深切感悟到，在中學(xué)作為“教育形態(tài)”而非“學(xué)術(shù)形態(tài)”的微積分可以適當(dāng)簡(jiǎn)化和降低理論的嚴(yán)格推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)形象直觀去認(rèn)識(shí)和感受它，這既減少了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，又有利于真正理解導(dǎo)數(shù)與定積分的本質(zhì)．