精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修4學(xué)案：2.3.1　數(shù)乘向量 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 §3　從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量 3.1　數(shù)乘向量 1．理解向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義．(重點(diǎn)) 2．理解向量共線定理，并應(yīng)用其解決相關(guān)問題．(難點(diǎn)) 3．會(huì)利用向量共線定理判斷三點(diǎn)共線及線線平行．(易混點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理　數(shù)乘向量 閱讀教材P82～P84“例3”以上部分，完成下列問題． 1．?dāng)?shù)乘向量及運(yùn)算律 (1)向量數(shù)乘的定義 一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa.它的長度和方向規(guī)定如下： ①|(zhì)λa|＝|λ||a|； ②當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反

2、；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0. (2)向量數(shù)乘的運(yùn)算律 設(shè)a，b為向量，λ，μ為實(shí)數(shù)，則向量數(shù)乘滿足： ①結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a； ②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．共線向量定理 (1)判定定理 a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線． (2)性質(zhì)定理 若向量b與非零向量a共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)實(shí)數(shù)λ與向量a的積還是向量．(　　) (2)實(shí)數(shù)λ與向量a的和λ＋a與差λ－a都是向量．(　　) (3)對(duì)于非零向量a，向量－6

3、a與向量2a方向相反．(　　) (4)向量－8a的模是向量4a的模的2倍．(　　) (5)若b＝λa(a≠0)，則a與b方向相同或相反．(　　) (6)若a∥b，則存在λ∈R，使得b＝λa.(　　) 【解析】　由數(shù)乘向量的意義知，(1)正確，(2)錯(cuò)誤，(3)正確，(4)正確；(5)當(dāng)b＝0時(shí)，不能判斷方向相同或相反，因而(5)錯(cuò)誤；(6)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，就不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，故(6)錯(cuò)誤． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)× [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流

4、： 疑問1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問3：_______________________________________

5、__________________ 解惑：___________________________________________________________ [小組合作型] 向量的線性運(yùn)算 　計(jì)算： (1)3(6a＋b)－9； (2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 【精彩點(diǎn)撥】　根據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算． 【自主解答】　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝－a－b ＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a ＝b－c. 1．向量數(shù)乘的運(yùn)算

6、類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看成向量的系數(shù)． 2．向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)做未知量，利用解代數(shù)方程的方法求解． [再練一題] 1．化簡： (1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)； (2)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)． 【解】　(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝15a－10b＋8b－12a＝3a－2b. (2)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)＝a＋b＝a＋b. 向量共線定理及應(yīng)用 　已知e1，e2是不共線的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e0，判斷a

7、與b是否共線？ 【精彩點(diǎn)撥】　利用向量共線定理進(jìn)行判斷． 【自主解答】　若a與b共線，則存在λ∈R.使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)， 所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0. 因?yàn)閑1與e2不共線，所以所以λ不存在． 所以a與b不共線． 1．本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a≠0)共線?b＝λa，因此用它既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值． 2．向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線． [再練一題] 2．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2

8、e1－e2. (1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線． (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值． 【解】　(1)證明：由已知得 ＝－ ＝(2e1－e2)－(e1＋3e2) ＝e1－4e2. ∵＝2e1－8e2， ∴＝2，又與有公共點(diǎn)B. ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)由(1)可知＝e1－4e2，由＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線， 得＝λ，即3e1－ke2＝λe1－4λe2， 得解得k＝12. [探究共研型] 向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用 探究1　若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？ 【提示】　A，B，C三點(diǎn)共線． 探究2　根據(jù)

9、數(shù)乘向量的幾何意義由＋＝λ(＋)可以得到什么結(jié)論？ 【提示】?。c＋共線． 探究3　向量共線定理有哪兩個(gè)方面的應(yīng)用？ 【提示】　(1)判斷兩個(gè)向量共線，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，則a與b共線．(2)表示兩個(gè)共線向量之間的關(guān)系．若a與b共線(a≠0)則必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ.使b＝λa. 　已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過△OAB的重心的直線交OA于點(diǎn)P，交OB于點(diǎn)Q，＝a，＝b，＝m a，＝n b，求證：＋＝3. 【精彩點(diǎn)撥】　解答本題可先利用三角形重心性質(zhì)，共線向量基本定理把用表示出來，再用向量求和法則，將其用a，b表示出來，然后表示出，，最后利用Q，G，P三點(diǎn)共線，即可得證． 【自

10、主解答】　如圖，設(shè)G是△ABC的重心，連接OG并延長，交AB于點(diǎn)F，則 ＝＝×(a＋b)＝(a＋b)， ＝－＝(a＋b)－n b＝a＋b， ＝－＝m a－(a＋b)＝a－b. ∵Q，G，P三點(diǎn)共線， 則存在實(shí)數(shù)k使＝k， ∴a＋b＝ka－kb， ∴ 化簡得m＋n＝3mn， ∴＋＝3. 1．由已知向量表示未知向量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律，還應(yīng)重視平面幾何定理的應(yīng)用． 2．當(dāng)用已知向量表示未知向量比較困難時(shí)，應(yīng)考慮方程思想，利用方程的觀點(diǎn)進(jìn)行求解． [再練一題] 3．已知△ABC中，AB＝5，AC＝5，BC＝6

11、，內(nèi)角平分線的交點(diǎn)為O，若＝λ＋μ，求實(shí)數(shù)λ與μ的和． 【解】　如圖，AB＝AC＝5，由已知可得，D為BC的中點(diǎn)，由角的平分線性質(zhì)定理知，＝＝， 即＝. 于是，＝＝(＋) ＝＝＋， 即λ＝，μ＝. 故λ＋μ＝＋＝. [構(gòu)建·體系] 1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)與－λa的方向相反　 B．|－λa|≥|a| C．a(chǎn)與λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a 【解析】　a與λ2a的方向相同． 【答案】　C 2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：

12、66470045】 A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【解析】?。絘＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝3. 所以A，B，D三點(diǎn)共線． 【答案】　A 3．若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝________b. 【解析】　因?yàn)閨a|＝5，|b|＝7，所以＝. 又因?yàn)閎與a的方向相反，所以a＝－b. 【答案】?。? 4．在四邊形ABCD中，＝2，則四邊形ABCD為________(填“梯形、矩形、菱形、平行四邊形”之一)． 【解析】　因?yàn)椋?，所以四邊形ABCD中有AB∥DC，AB＝2C

13、D，所以四邊形ABCD是梯形． 【答案】　梯形 5．如圖2－3－1所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝3CD.若＝a，＝b，試用a，b表示向量. 圖2－3－1 【解】　因?yàn)锳B∥CD，且AB＝3CD， 所以＝3，＝＝a， 所以＝＋＝b＋a. 我還有這些不足： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________