高中數(shù)學北師大版選修22教案：第3章 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 第一課時參考教案

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1、 第一課時 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（一） 一、教學目標： 1、知識與技能：⑴理解函數(shù)單調(diào)性的概念；⑵會判斷函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 2、過程與方法：⑴通過具體實例的分析，經(jīng)歷對函數(shù)平均變化率和瞬時變化率的探索過程；⑵通過分析具體實例，經(jīng)歷由平均變化率及渡到瞬時變化率的過程。 3、情感、態(tài)度與價值觀：讓學生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教學重點：函數(shù)單調(diào)性的判定 教學難點：函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法 三、教學方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 （一）．創(chuàng)設(shè)情景 函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的贈與減、增減的

2、快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解．下面，我們運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用． （二）．新課探究 1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1 （2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像．運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：（1）運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，．（2）從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，

3、即是減函數(shù)．相應(yīng)地，． 2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負的關(guān)系． 如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率． 在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增； 在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)． 3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： （1）確定函數(shù)的定義域

4、；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間． （三）．典例探析 例1、已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息： 當時，； 當，或時，； 當，或時， 試畫出函數(shù)圖像的大致形狀． 解：當時，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； 當，或時，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 當，或時，，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”． 綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示． 例2、判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間． （1）； （2） （3）； （4） 解：（1）因為，所以， 因此，在R上單調(diào)遞增，

5、如圖3.3-5（1）所示． （2）因為，所以， 當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增； 當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示． （3）因為，所以， 因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示． （4）因為，所以 ． 當，即 時，函數(shù) ； 當，即 時，函數(shù) ； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生練 例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中

6、，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖像． 分析：以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況． 解： 思考：例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩”． 例4、求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 證明：因為 當即時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 說明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）判斷在內(nèi)的符號；（3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)． （四）．課堂練習：課本P59頁練習1（1）；2 （五）．回顧總結(jié)：（1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；（2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性 （六）．布置作業(yè)： 五、教后反思：