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1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料 , 學(xué)生用書單獨成冊) A.基礎(chǔ)達標 1函數(shù) f(x)x4x3 在(，2上( ) A無最大值，有最小值 7 B無最大值，有最小值1 C有最大值 7，有最小值1 D有最大值1，無最小值 解析：選 D.因為 x2，所以 f(x)x4x3（x）4x32（x）4x31，當且僅當x4x，即 x2 時，等號成立 所以 f(x)有最大值1， 無最小值，故選 D. 2設(shè) a0，b0，若 3是 3a與 3b的等比中項，則1a1b的最小值為( ) A8 B4 C1 D.14 解析：選 B. 3是 3a與 3b的等比中項3a3b33ab3ab1.因為 a0，b0，所以 abab212ab1
2、4.所以1a1babab1ab1144.當且僅當 ab12時，等號成立 3已知 a0，b0，則1a1b2 ab的最小值是( ) A2 B2 2 C4 D5 解析：選 C.因為 a0，b0，所以1a1b2ab，當且僅當 ab 時取等號， 所以1a1b2 ab2ab2 ab22ab2 ab4， 當且僅當 ab1 且2ab2 ab時，取等號故1a1b2 ab的最小值為 4. 4點 P(x，y)是直線 x3y20 上的動點，則代數(shù)式 3x27y有( ) A最大值 8 B最小值 8 C最小值 6 D最大值 6 解析：選 C.因為點 P(x，y)在直線 x3y20 上， 所以 x3y2. 所以3x27y3
3、x33y2 3x33y2 3x3y2 326.當且僅當x3y， 即x1， y13時，等號成立所以代數(shù)式 3x27y有最小值 6. 5已知 a0，b0，ab2，則 y1a4b的最小值是( ) A.72 B4 C.92 D5 解析：選 C.因為 ab2，所以 y1a4bab2ab2a4a4b2b12b2a2ab2522b2a2ab52292，當且僅當 a23，b43時等號成立 6已知 x，y0 且 xy1，則 px1xy1y的最小值為_ 解析：x1xy1y xxyxyxyy 3yxxy325，當且僅當 xy12時等號成立 答案：5 7建造一個容積為 8 m3，深為 2 m 的長方體無蓋水池，如果池
4、底和池壁的造價每平方米分別為 120 元和 80 元，那么水池的最低總造價為_元 解析：設(shè)水池的總造價為 y 元，長方體底的一邊長為 x m，由于底面積為 4 m2，所以另一邊長為4x m 那么y12042802x24x480320 x4x4803202x4x1 760(元) 當 x2，即底為邊長為 2 m 的正方形時，水池的總造價最低，為 1 760 元 答案：1 760 8若實數(shù) x、y 滿足 x2y2xy1，則 xy 的最大值是_ 解析：x2y2xy(xy)2xy1， 所以(xy)2xy1xy221. 所以34(xy)21. 所以 xy233.當且僅當 xy33時等號成立 答案：233
5、9求下列函數(shù)的最小值 (1)設(shè) x，y 都是正數(shù)，且1x2y3，求 2xy 的最小值； (2)設(shè) x1，求 y（x5）（x2）x1的最小值 解：(1)2xy3（2xy）3 131x2y(2xy) 13yx4xy4 13(2 44)83. 當且僅當yx4xy時等號成立，即 y24x2. 所以 y2x. 又因為1x2y3，得 x23，y43. 所以當 x23，y43時，2xy 取得最小值為83. (2)因為 x1，所以 x10. 設(shè) x1t0，則 xt1， 于是有 y（t4）（t1）tt25t4t t4t52t4t59， 當且僅當 t4t，即 t2 時取等號，此時 x1. 所以當 x1 時，函數(shù)
6、y（x5）（x2）x1取得最小值為 9. 10. 圍建一個面積為 360 m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為 2 m 的進出口，如圖所示已知舊墻的維修費用為 45 元/m，新墻的造價為 180 元/m.設(shè)利用的舊墻的長度為 x(單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為 y(單位：元) (1)將 y 表示為 x 的函數(shù)； (2)試確定 x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最少，并求出最少總費用 解：(1)設(shè)矩形的另一邊長為 a m， 則 y45x180(x2)180 2a 225x360a360. 由已知 ax360，
7、得 a360 x， 所以 y225x3602x360(x0) (2)因為 x0，所以 225x3602x2 225360210 800. 所以 y225x3602x36010 440，當且僅當 225x3602x時，等號成立 即當 x24 m 時，修建圍墻的總費用最少，最少總費用是 10 440 元 B.能力提升 1已知 x0，y0，x2y2xy8，則 x2y 的最小值是( ) A3 B4 C.92 D.112 解析：選 B.因為 x2y2xy8，所以 y8x2x20. 所以 0 x8.所以 x2yx28x2x2(x1)9x122（x1）9x124. 當且僅當 x19x1，即 x2 時，取“”
8、號，此時 x2，y1. 2在區(qū)間12，2 上，函數(shù) f(x)x2bxc(b，cR)與 g(x)x2x1x在同一點取得相同的最小值，那么 f(x)在區(qū)間12，2 上的最大值是( ) A.134 B4 C8 D.54 解析：選 B.g(x)x2x1xx1x13，當且僅當 x1 時，等號成立，即當 x1 時取最小值 3，所以 f(x)的對稱軸是 x1，所以 b2.再把(1，3)代入即得 c4.所以 f(x)x22x4，易得在12，2 上的最大值是 f(2)4444. 3在 4960 的兩個中，分別填入兩個自然數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，應(yīng)分別填上_和_ 解析：設(shè)兩數(shù)為 x，y，即 4x9y60， 又1x
9、1y1x1y（4x9y）60160134xy9yx160(1312)512，當且僅當4xy9yx，且 4x9y60，即 x6，y4 時，等號成立 答案：6 4 4若實數(shù) a，b，c 滿足 2a2b2ab，2a2b2c2abc，則 c 的最大值是_ 解析：因為 2a2b2ab， 所以 2ab2a2b2 2a2b2 2ab，即 2ab2 2ab. 所以 2ab4. 又因為 2a2b2c2abc， 所以 2ab2c2ab2c，即 2c2ab()2c1 . 所以2c2c12ab4，即2c2c14，所以432c2c10， 所以 2c43，所以 clog2432log23， 所以 c 的最大值為 2log
10、23. 答案：2log23 5已知 lg(3x)lg ylg(xy1) (1)求 xy 的最小值； (2)求 xy 的最小值 解：由 lg(3x)lg ylg(xy1)， 得x0，y0，3xyxy1. (1)因為 x0，y0，所以 3xyxy12 xy1， 所以 3xy2 xy10， 即 3( xy)22 xy10. 所以(3 xy1)( xy1)0. 所以 xy1，所以 xy1. 當且僅當 xy1 時，等號成立 所以 xy 的最小值為 1. (2)因為 x0，y0， 所以 xy13xy3xy22， 所以 3(xy)24(xy)40， 所以3(xy)2(xy)20. 所以 xy2. 當且僅當
11、xy1 時取等號 所以 xy 的最小值為 2. 6某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉 6 噸，每噸面粉的價格為 1 800 元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天 3 元，購買面粉每次需支付運費 900 元 (1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？ (2)某提供面粉的公司規(guī)定：當一次購買面粉不少于 210 噸時，其價格可享受 9 折優(yōu)惠，問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由 解：(1)設(shè)該廠應(yīng)每隔 x 天購買一次面粉，其購買量為 6x 噸，由題意可知，面粉的保管等其他費用為 36x6(x1)6(x2)619x(x1)， 設(shè)平均每天所支付的總費用為 y1元，
12、 則 y19x（x1）900 x1 8006900 x9x10 8092900 x9x10 80910 989， 當且僅當 9x900 x，即 x10 時取等號 即該廠應(yīng)每隔 10 天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少 (2)因為不少于 210 噸，每天用面粉 6 噸，所以至少每隔 35 天購買一次面粉 設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件后，每隔 x(x35)天購買一次面粉，平均每天支付的總費用為 y2元， 則 y21x9x(x1)90061 8000.90900 x9x9 729(x35) 令 f(x)x100 x(x35)，x2x135， 則 f(x1)f(x2)x1100 x1x2100 x2 （x2x1）（100 x1x2）x1x2. 因為 x2x135，所以 x2x10，x1x20，100 x1x20， 故 f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， 即 f(x)x100 x， 當 x35 時為增函數(shù) 則當 x35 時，f(x)有最小值，此時 y210 989. 因此該廠應(yīng)接受此優(yōu)惠條件
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