第三章概率論與數(shù)理統(tǒng)計

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1、第三章第三章 隨機向量及其分布隨機向量及其分布主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：1、隨機向量與分布函數(shù)、隨機向量與分布函數(shù)2、離散型隨機向量：聯(lián)合概率分布律，邊緣分、離散型隨機向量：聯(lián)合概率分布律，邊緣分布，條件分布，獨立性布，條件分布，獨立性3、連續(xù)型隨機向量：聯(lián)合概率密度，邊緣概率、連續(xù)型隨機向量：聯(lián)合概率密度，邊緣概率密度，條件概率密度函數(shù)與獨立性密度，條件概率密度函數(shù)與獨立性4、隨機向量函數(shù)的分布、隨機向量函數(shù)的分布一、二維隨機變量及其分布函數(shù)一、二維隨機變量及其分布函數(shù) 研究思路與一維相同研究思路與一維相同 使用使用分布函數(shù)分布函數(shù), , 概率分布概率分布和和概率密度概率密度等等函數(shù)函數(shù), ,來刻

2、劃作為一個整體的二維隨機變量來刻劃作為一個整體的二維隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。的統(tǒng)計規(guī)律。1. 二維隨機變量二維隨機變量以下只討論二維隨機變量以下只討論二維隨機變量 ( ( X, Y ) ) 。12(,)nnX XXnnX定義： 稱 個定義在同一個樣本空間上的隨機變量組成的向量，為 維隨機變量或 維隨機向量。2 2、聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)2021-12-2032, ( , )P,R,XYXYF x yXx Yyx yXY定義：設(shè)是二維隨機變量，則稱二元函數(shù)為的分布函數(shù)，或 與 的聯(lián)合分布函數(shù)。 ,XxYyXxYy2021-12-2040000,F x yX Yx yxxyy幾何意義：分布函數(shù)表示隨

3、機點落在區(qū)域 中的概率。如圖陰影部分所示：xy00,xy 3、 聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)10 (單調(diào)不減性).,),(是是單單調(diào)調(diào)不不減減的的分分別別關(guān)關(guān)于于yxyxF 一維隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)？ 1212,( ,)( ,)xyyF x yF x y固定 對任意的有1212,( , )(, )yxxF x yF xy固定對任意的有xy2021-12-2052021-12-20620 (規(guī)范性) 0,1,F x y(,)0F 且，(,)1F . 0),(, 0),(, yFyxFx lim,= lim P,=P,=P=lim,= lim P,=P,=P=XyyYxxF x yXx

4、YyXx YXxFxF x yXx YyXYyYyFy 30 (右連續(xù)性)00000000,(0)( ,),()( ,);0 xyxyFF x yFF x y-稱之為X,Y的邊緣分布函數(shù)。 40(矩形不等式) 11212122,P0 xxyyxXxyYy，22111122 ( ,)( ,)( ,)( ,)0F x yF x yF x yF x y即2x1x2y1y2021-12-2071, ( , )23X YxyF x yA BarctgCarctg例 、已知二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為解解:(1)(,)122FABC (, )023yFyA BCarctg( ,)022xF xABarct

5、gC 212ACB2021-12-20 1ABC 2 P 02,03 34 P2 .XYXYX求常數(shù) ， ，；和 的邊緣分布函數(shù)； 82021-12-209 12 P 02,030,02,30,32,016XYFFFF),()(xFxFX(3).,2arctan121xx),()(yFyFY11arctan,.23yyP21 P2XX 22arctan121114(4)2021-12-201022222,0 00;,01,01;( , ),01,1;,1,01;1,1,1.11P3, 1.23X Yxyx yxyF x yxxyyxyxyXYXY 例 、已知二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為， 或

6、求(1)和 的邊緣分布函數(shù)； (2)2021-12-2011 Y2PP,= lim P,lim,0,0;=,01;1,1.xxFyYyXYyXx YyF x yyyyy 2(1)PP,= lim P,lim,0,0;=,01;1,1.XyyFxXxXx YXx YyF x yxxxx 解：2021-12-201211111 11(2)P3, 13, 1,3, 123322 312XYFFFF Ylim,lim,XyxFxF x yFyF x y一般地，邊緣分布函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù)唯一確定：，但是，僅僅由邊緣分布函數(shù)不能確定聯(lián)合分布函數(shù)。 可以將二維可以將二維 隨機變量及其邊緣分布函數(shù)的概隨機變量

7、及其邊緣分布函數(shù)的概念推廣到念推廣到 n n 維維 隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)。分布函數(shù)。 ,10( , )100 xyyyXYX YexexyF x yeyeyxFxFy 例3、已知的聯(lián)合分布函數(shù)為，；，；，其他.求與2021-12-2013 1,0( ,)0 01,0(, )0 0 xXyyYexFxF xxeyeyFyFyy ；解：，.；，.二、二維離散型隨機變量及其概率分布二、二維離散型隨機變量及其概率分布2021-12-20,(,), ,1,2,(, )XYxyi jijX Y定義： 若二維隨機變量所有可能的取值 為有限多個或無窮可列多個，則

8、稱為二維離散型隨機變量。,( ,),P,1,2,ijijijijX Yx ypXxYypi jX YXY定義：若二維離散型隨機變量取的概率為則稱= ，為二維離散型隨機向量的概率分布律(列)，或隨機變量 與的聯(lián)合概率分布律(列)。,P,1,2,ijijX YXxYypi j記為，1 1、聯(lián)合概率分布律、聯(lián)合概率分布律14111ipp1jijpp 1 jyy1ixxXY,:X Y 的聯(lián)合概率分布律也可列表表示如下2021-12-2015聯(lián)合聯(lián)合概率概率分布分布律律的性質(zhì)的性質(zhì) ： 10 , ,1,2,2111pijijpijji; 2021-12-2016例例4 4、袋中有、袋中有2 2只紅球，只

9、紅球，3 3只白球，現(xiàn)不放回摸球二次，只白球，現(xiàn)不放回摸球二次， 令令第二次摸到白球第二次摸到紅球第一次摸到白球第一次摸到紅球0101YX求(X,Y)的聯(lián)合概率分布律。XY101010110310310322251P1,110PXYP252 33P1,010XYP253 23P0,110XYP23253P0,010PXYP2021-12-2017,Xi YjXiYj P|PYj XiXij ip PXiYj例例5 5、設(shè)隨機變量、設(shè)隨機變量 X X 在在 1 1,2,3 ,2,3 中等可能地取值中等可能地取值, , Y Y 在在 11X X 中等可能地取整數(shù)值中等可能地取整數(shù)值, , 求求(

10、( X X, , Y Y ) )的聯(lián)合概率分布律的聯(lián)合概率分布律及及F F(2,2).(2,2). 解 確定隨機變量的取值：P1,1P1,2P2,1P2,2XYXYXYXY(1, 2, 3,)iji 13 1/3 Y 1 2 3 X123 1/6 1/6 1/9 1/9 1/9ijijyxxyp = 2/ 3 P,Xi Yj 0 0 01i F ( x , y) = P X x , Y y 222,2ijijpF 2021-12-20182021-12-2019 123XY例4續(xù)： 分別求隨機變量 和 的概率分布律。 如果第一次摸的是紅球，求第二次摸的是紅球的概率； 如果第一次摸的是紅球，求第

11、二次摸的是白球的概率。2、邊緣概率分布律、邊緣概率分布律2021-12-202011,P, ,1,2,P, ,1,2,P, ,1,2,ijijiiijjjjijiXYX YXxYypi jXxppi jX YXYyppi jX YY若隨機變量 與 的聯(lián)合概率分布律為則稱為關(guān)于 的邊緣概率分布律；為關(guān)于 的邊緣概率分布律。1111ipp1jijpp 聯(lián)合概率分布律及邊緣概率分布律聯(lián)合概率分布律及邊緣概率分布律1 jyy1ixx1PXipp1P YjppXY2021-12-20213、條件概率分布律、條件概率分布律2021-12-2022,P, ,1,2,P,P|,1,2,PP,P|,1,2,Pi

12、jijijijijjjjijijjiiiiXYX YXxYypi jXx YypXx YyipYyYyXXx YypYyXxjXxpXxY若隨機變量 與 的聯(lián)合分布律為則稱為給定條件時， 的條件概率分布律；為給定條件時， 的條件概率分布律。2021-12-20233 3、條件概率分布律、條件概率分布律|P|,1,2,jijjijjYyXpX YyXx Yyip給定條件時， 的條件概率分布律記作：iXxY同理：給定條件時， 的條件概率分布律也可以如上表示。|jX Yy|PjX Yy1ppjijppjj1 ixx2021-12-20244 4、隨機變量的獨立性、隨機變量的獨立性,P, ,1,2,1

13、,2,ijijijijXYX YXxYypi ji jpppXY設(shè)隨機變量 與 的聯(lián)合概率分布律為，如果對任意的，都有則稱隨機變量 與 相互獨立。2021-12-2025 1 ,2 3 P2 ;44516X YXYXYXYYXXY的聯(lián)合概率分布律；與 的邊緣概率分布律； 給定條件時， 的條件概率分布律； 給定條件時， 的條件概率分布律； 判斷隨機變量 與 是否相互獨立？651 2 3 4 5.333XY例 、設(shè)袋中有 只球，編號分布為 ，現(xiàn)從袋中任取 只球，用 表示取出 只球中的最大號碼， 表示取出 只球中的最小號碼，求2021-12-2026 13,4,5,2,3.,XYX Y解：的可能取值

14、為， 的可能取值為1的聯(lián)合概率分布律與邊緣概率分布律如下表所示：X123PX30.1000.140.20.100.350.30.20.10.6PY0.60.30.11Y2021-12-2027 3 P2P4,1P5,1P5,2=0.2+0.3+0.2=0.7XYXYXYXY 4PY|X=4Y|X=41232/31/30 5X|Y=1PX|Y=13451/61/31/2 6 P3,20,P30.1,P20.3P3,2P3P2XYXYXYXYXY因為所以， 與 不獨立。2021-12-2028|101P |0.250.50.25P01,XXYXXYX Y例7 設(shè)隨機變量 與 有相同的概率分布：并且

15、求的聯(lián)合概率分布律。P01P0P00P1,1P1,1P1,1P1,10XYXYXYXYXYXYXY 解：因為 所以 =- 從而 P11,1P1,0P1,10.25P1,00.25XP XYXYXYXY 又因為 所以 2021-12-2029P1,00.25P0,1P0,10.25XYXYXY 同理可得：XPYYPX-101-100.2500.2500.2500.250.50100.2500.250.250.500.251P0.XYXY注：雖然 與 同分布，但是2021-12-2030X,1,2,8.iYX Yi 例8 設(shè)隨機變量 與 相互獨立，的聯(lián)合概率分布律與邊緣概率分布律如下表所示，試求未

16、知參數(shù)X-101PX0A11/9A2A311/3A4A5A6PY1/2A7A8Y123456781112A =,A =,A =,A =,618391211A =,A =,A =,A =.9336答案：2021-12-2031 當(dāng)兩個隨機變量相互獨立時，聯(lián)合概率分布與邊緣概率分布一一對應(yīng)；當(dāng)兩個隨機變量不獨立時，聯(lián)合概率分布可以唯一確定邊緣概率分布，但反之未必。如下例，第一組獨立，第二組不獨立，邊緣分布相同，但聯(lián)合分布不同。X -101PX03/16 3/166/163/411/16 1/16 2/16 1/4PY1/41/41/21X -101PX001/42/43/411/4001/4PY1

17、/4 1/41/21YY2021-12-2032 32 1, 2 3X YXYXYXYXY練習(xí)：設(shè)袋中有 只白球， 只紅球。在下面三種情形下，分別求：的聯(lián)合概率分布律；與 的邊緣概率分布律；判斷 與 是否獨立？情形一：從中無放回的依次取2只球。 用 表示白球的個數(shù)， 表示紅球的個數(shù)；情形二：從中有放回的依次取2只球。 用 表示白球的個數(shù)， 表示紅球的個數(shù)；情形三：有放回的抽取2次XY，每次取2只球。 用 表示第一次取到的白球數(shù)， 表示第2次取到的紅球數(shù)。三、二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)三、二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)2021-12-203322,( , ) ( , )( , )d

18、d,xyX Yfx yx yF x yf u vu vX Yf x yX YXYX Yf x yx y 定義：設(shè)是二維隨機變量，若存在一個非負可積函數(shù)，使得，分布函數(shù)則稱為二維連續(xù)型隨機變量，為的聯(lián)合概率密度函數(shù) 或概率密度 ，或 與 的聯(lián)合概率密度函數(shù)。記作 1、聯(lián)合概率密度函數(shù)、聯(lián)合概率密度函數(shù)2、聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì) 223,( , )( ,)( ,)fx yx yF x yf x yx y 若在處連續(xù)，則有 2021-12-2034 21,0,;2,d d1.,f x yx yf x yx yf x y 非負性：歸一性： 反之，具有以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù)，必是某

19、個二維連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)。 2 4G,P (,)( ,)d dGX YGf x yx y對于任意平面區(qū)域都有設(shè)設(shè)1,01,01;(, ) ( , )0,.xyX Yf x y其他1001d1 d2xP XYxy2021-12-2035:P XY求1yx1(23 ),0,0(, ) ( , )0 .xyAexyX Yf x y；，其他例例1. 設(shè)設(shè)解：解：(1)(1)由歸一性由歸一性6 A2021-12-2036 1A2 1,1 3D,:00236FX Yx yxyxy求常數(shù) ； ；， 落在區(qū)域 =,內(nèi)的概率。(23 )00d( , )ddd1xyxf x yyxAey2021-12-

20、203711(23 )00(2) (1,1)P1,1d6dxyFXYxey11011230023=2d3d(1)(1)xyexeyee（3）(23 )P (, )6d dxyDX YDex y6 23(23 )300d6dxxyxey671e2021-12-20383、常用的二維連續(xù)型分布、常用的二維連續(xù)型分布 (1)二維均勻分布二維均勻分布 2,1( , );( , )0,DDX Yx yDRSf x yX Y若二維隨機變量的概率密度函數(shù)為，其他.則稱在區(qū)域 上 內(nèi) 服從均勻分布。 ,DDGP,GGDX YSX YS易見，若在區(qū)域 上 內(nèi) 服從均勻分布,則對 內(nèi)任意區(qū)域 ，有2021-12-

21、20391DS2021-12-20 2.,D 1, 2 P2 30.5,0.5X YX YYXF例 設(shè)服從如圖區(qū)域 上的均勻分布。求的聯(lián)合概率密度；yx yx 1S1,1,( , );,0,( , ).DX Yx yDf x yx yD解： 如圖所示，三角形的面積 所以，的聯(lián)合概率密度函數(shù)為2021-12-2041 1113 (0.5,0.5)0.5,0.51224FP XY 131(2)P211224GYXS 221212(,) (,)X YN記作：(2)(2)二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布N( 1, 2, 1, 2, )22112222212121()()() ()22(1)2121212221

22、212,1( , )2100 | 1,xxyyX Yf x yeX Y 如果二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為其中， 、為實數(shù)，、，則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布。2021-12-20422021-12-20432021-12-20444、邊緣概率密度函數(shù)、邊緣概率密度函數(shù) 2,( )( , )d( ,)d( , )d( , )ddXxxXX Yfx yx yfxf x yyXFxF xxf x yyf x yyx 設(shè)則稱為隨機變量 的邊緣概率密度函數(shù)。這是因為邊緣分布函數(shù) ( )( , )dYfyf x yxY 同理，稱為隨機變量 的邊緣概率密度函數(shù)。例例3 3、設(shè)、設(shè)(X,Y)(X,Y)的的聯(lián)

23、合聯(lián)合概率密度概率密度函數(shù)函數(shù)為為2,;( , )0,cxyxf x y其他.求求(1)(1)常數(shù)常數(shù)c;(2)c;(2)隨機變量隨機變量X X的邊緣概率密度函數(shù)。的邊緣概率密度函數(shù)。解解: :(1)(1)由歸一性由歸一性210dd1xxxc y 6 c(2)( )( , )Xfxf x y dy0,01;xor x26d ,01,xxyx2021-12-204526(),01;0,01.xxxxor x5 5、隨機變量的相互獨立性、隨機變量的相互獨立性 2021-12-2046 XY ( , )XYF x yFx Fy定理：隨機變量 與 獨立的充分必要條件是: 2(, )( , ),( ,

24、)XYX YXYx yf x yfx fy定理:設(shè)是二維連續(xù)型隨機變量，則隨機變量 與獨立的充分必要條件是：對任意的等式 幾乎處處成立。2021-12-2047 12(, )4,01,011( , )0,8,012( , )0,X Yxyxyf x yxyxyfx yX Y例4、設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，其他；，其他；討論是否獨立？2021-12-2048 11( )( , )dXfxf x yy解： 因為邊緣概率密度函數(shù)12 ,01,( )0,.Yyyfy同理，其他111 ( , )( )( )XYf x yfx fyXY顯然，故 與 相互獨立。11102 ,01,4d0,xxxy y其他；2

25、021-12-2049 2122,4 (1),01,( )8d0,XxX Yxxxfxxy y的邊緣概率密度函數(shù)分別為其他.113204 , 01,( )8 d0,yYyyfyxy x其他.222 ( , )( )( )XYfx yfx fyXY顯然所以，與 不獨立。2021-12-2050例例5、求二維正態(tài)分布的邊緣概率密度。求二維正態(tài)分布的邊緣概率密度。22112222112221212(1)1( , )21( )( , )dyyxxXf x yfxf x yy 解：e e22121 122211221211)()2 12de ee eyxxy 212211()1yxt ，221dd,1t

26、y 2121()211,2e exx 22121()2211d2e ee etxt 2021-12-20512222()221( ),2yYyfy 同同理理，e e221212221122,N,X YXY 定理：若， 則221212,N,0.X YXY 定理：若， 則 與 獨立當(dāng)且僅當(dāng)2021-12-2052121,01,01;6,( , )0,1 (0.5)(0.5),01,01;,( , )0,xyX Yf x yxyxyX Yf x y例 、設(shè)其他.其他.試比較他們的邊緣概率密度。注：注：1.1.均勻分布的邊緣分布還是均勻分布。均勻分布的邊緣分布還是均勻分布。 2.2.聯(lián)合概率密度函數(shù)唯

27、一確定邊緣概率密度函數(shù)，聯(lián)合概率密度函數(shù)唯一確定邊緣概率密度函數(shù)，但反之不一定成立。相同的邊緣分布可以有不同的聯(lián)合但反之不一定成立。相同的邊緣分布可以有不同的聯(lián)合分布。分布。例例7 7、甲乙約定、甲乙約定8:008:00 9:009:00在某地會面。設(shè)兩人都隨在某地會面。設(shè)兩人都隨機地在這期間的任一時刻到達，先到者最多等待機地在這期間的任一時刻到達，先到者最多等待1515分鐘過時不候。求兩人能見面的概率。分鐘過時不候。求兩人能見面的概率。2021-12-2053XYU 0,601,060,060; ( , )36000,XYXXYxyf x y解：設(shè) 、 分別表示甲、乙到達的時刻，則 與 同分

28、布，又因為 與 相互獨立，所以它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)為否則.2021-12-20547P | 15360016XY所以，兩人能見面的概率為：陰影圖像的面積| 15XY根據(jù)題意， 兩人能見面6060606015xy15yx6、條件概率密度函數(shù)000limP|P,limPyXx yYyXx yYyyYy定義：給定 ，設(shè)對任意固定的正數(shù)，極限|,.( | )P|X YYyXFx yXx Yy存在，則稱此極限為在條件下的條件分布函數(shù)記作( )0Yfy 可以證明當(dāng)時，有|( , )d( , )( | )d( )( )xxX YYYf u yuf u yFx yufyfy2021-12-2055|( )0

29、( | )( , )( | )( )X YYX YX YYfx yYyXfyFx yf x yfx yxfy若記為在條件下, 的條件概率密度，則當(dāng)時，( )0XfxXxY類似定義，當(dāng)時，在條件下,的條件概率密度為)(),()|()|(|xfyxfyxyFxyfXXYXY2021-12-2056228,211( , )40.X Yx yxyf x y例 、已知的聯(lián)合概率密度為，；，其他 |1( | );11 2P|.33Y Xfy xYX 求條件概率密度條件概率xy1解解: :（1 1）( )( , )dXfxf x yy21221d ,11;40,1or1;xx y yxxx 2021-12-

30、2057-11024211,11;80,xxx 其他.2021-12-2058|-11( , )( | )( )Y XXxf x yfy xfx當(dāng)時， 1|1/3141/3111 2 P|( |)d33329d10113Y XYXfyyyy 242,1;10,yxyx其他.2021-12-2059 |,02,max(0,1)min(1, );( , )0,1( ),( );(2)( | ),( | );(3)XYX YY XX Yxxxyxf x yfxfyfx yfy xXY例9、設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為其他.求與 獨立嗎？2021-12-2060111yxyx2 1X解： 先求 的邊緣概率密

31、度，分四種情況討論。0( )0Xxfx當(dāng)時，；2( )0Xxfx當(dāng)時，；2001( )( , )ddxXxfxf x yyx yx當(dāng)時，12-112( )( , )dd2Xxxfxf x yyx yxx當(dāng)時，2021-12-2061Y再求 的邊緣概率密度函數(shù)( )( , )dYfyf x yx1d ,01,yyx xy0,01.yor y 12,01,20,.yy其他2021-12-2062 |201( , )|( )X YYyf x yfx yfy當(dāng)時，2,1,120,.xyxyy 其他|01( , )|( )Y XXxf x yfy xfx當(dāng)時，1,0,0,.yxx其他|12( , )|(

32、 )Y XXxf x yfy xfx當(dāng)時，1,10，0,試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出L的壽命Z的概率密度2021-12-20762021-12-20778,01,( , )0,(1)max(, )(2)Wmin(, )xyxyX Yf x yZX YX Y例.設(shè)其他.求的概率密度函數(shù)；的概率密度函數(shù).11yx2021-12-2078 10( )0,ZzFz解： 當(dāng)時，1( )1,ZzFz當(dāng)時，4000z1( )d8d,zyZFzyxy xz當(dāng)時，34,01,( )0,ZZzzfz所以， 的概率密度函數(shù)為其他.2021-12-2079 2( ) 1 P min( , )1 P,WF wX YwXwYw 1( )1,WwFw當(dāng)時，1241( )1d8d2,yWwwwFwyxy xww 當(dāng)0時，0()0,WwFw當(dāng)時 ，4,01,( )0,wwwfw所以，的概率密度函數(shù)為其他.2021-12-2080 U 0,2 ,(1),1 Z(2)Umax(, )(3)Vmin(, )XYEXPXYXYX YX Y例 設(shè)且 與 相互獨立，求的概率密度函數(shù)。2021-12-2081341XYZXY例 設(shè)隨機變量 服從參數(shù)為 的兩點分布，隨機變量服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，求的分布。小結(jié)小結(jié)2021-12-2082