河南省平頂山市第三高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué) 251《平面幾何中的向量方法》 課件

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1、2.5.1平面幾何的向量方法平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法 向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量向量概念和運(yùn)算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)代數(shù)”的的計(jì)算，這就為我們解決物理問(wèn)題和幾何研究帶來(lái)極大的方便。計(jì)算，這就為我們解決物理問(wèn)題和幾何研究帶來(lái)極大的方便。 由于向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平由于向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度

2、、夾角都可以由向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，利用向量方法可以解決平量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問(wèn)題。面幾何中的一些問(wèn)題。問(wèn)題：?jiǎn)栴}：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？,ACABAD ,DBABAD ABCD猜想：猜想：2.類(lèi)比猜想，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？類(lèi)比猜想，平行四邊形有相似關(guān)系嗎？例例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線(xiàn)平方和、證明平行四邊形四邊平方和等于兩

3、對(duì)角線(xiàn)平方和ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：設(shè) ，則 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，故設(shè) 其它線(xiàn)段對(duì)應(yīng)向量用它們表示。bADaAB ,)(2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB你能總結(jié)一下利用向量法解決平面幾何問(wèn)題的基你能總結(jié)一下利用向量法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路嗎？本思路嗎？（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將

4、平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三三步曲步曲”：簡(jiǎn)述：簡(jiǎn)述：形到向量形到向量 向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算 向量和數(shù)到形向量和數(shù)到形例例2 如圖，如圖， ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E、F分別是分別是AD 、 DC邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，BE 、 BF分別與分別與AC交于交于R 、 T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR 、 R

5、T 、TC之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC解：設(shè)解：設(shè) 則則,A BaA DbA Rr A Cab 由于由于 與與 共線(xiàn)，故設(shè)共線(xiàn)，故設(shè)A RAC(),rn abnR 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?共線(xiàn)，共線(xiàn)，所以設(shè)所以設(shè)E RE B與與12()ERm EBm ab 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以A RA EE R 1122()rbmab 1122()()n abbm ab 因因 此此ABCDEFRT102()()mnmanb 即即,由 于 向 量不 共 線(xiàn)a b0102nmmn ，1 1解解 得得 ： n n = = m m = =3 3111333,ARACTCACRTAC 所

6、所 以以同同 理理于于 是是故故AT=RT=TCABCDEFRT練習(xí)、證明直徑所對(duì)的圓周角是練習(xí)、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角直角ABCO如圖所示，已知 O，AB為直徑，C為 O上任意一點(diǎn)。求證ACB=90分析分析：要證ACB=90，只須證向量 ，即 。CBAC 0CBAC解：解：設(shè) 則 ，由此可得：bOCaAO ,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即 ，ACB=900CBAC思考：能否用向量思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？坐標(biāo)形式證明？ab（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素。小結(jié)：小結(jié)：用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲三步曲”：作業(yè)：作業(yè)：課本課本P125 1,2