大學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)

《大學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《大學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)（30頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算2 求導(dǎo)法則 導(dǎo)數(shù)很有用，但全憑定義來計(jì)算導(dǎo) 四、基本求導(dǎo)法則與公式 三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則, 使導(dǎo)數(shù)運(yùn)算變得較為簡(jiǎn)便.數(shù)是不方便的. 為此要建立一些有效的一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算000( ( )( )()().(1)x xu xv xu xv x 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 也可導(dǎo)也可導(dǎo), , 且且( )( )( )f xu xv x 00000( ( ) ( )() ()() ().(2)x xu x v xu x v xu x v x 推論推論 若若 u (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), ,c 是常數(shù)是常數(shù)，則則 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 也可導(dǎo)也可導(dǎo), , 且且( )(

2、 ) ( )f xu x v x 定理定理 5.6 若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), , 則函數(shù)則函數(shù)( ), ( )u x v x定理定理 5.5 若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), , 則函數(shù)則函數(shù)( ), ( )u x v x( )().( )003xxcu xcux ().uvwu vwuv wuvw 定理定理 5.6 可推廣到任意有限個(gè)函數(shù)相乘的情形可推廣到任意有限個(gè)函數(shù)相乘的情形, , 如如 下面證明乘積公式下面證明乘積公式 (2), 請(qǐng)讀者自行證明公式請(qǐng)讀者自行證明公式 (1) .() ()() ()()lim000000 xu xx v xxu x v xfxx

3、00000( ) ( )() ( )limxu xx v xxu xv xxx 證證 (2) 按定義可得按定義可得 0000() ()() ()u xv xxu xv xx 0000()()lim()xu xxu xv xxx 注意注意: ,: ,千萬不要把導(dǎo)數(shù)乘積公式千萬不要把導(dǎo)數(shù)乘積公式 (2)()uvu v 記錯(cuò)了記錯(cuò)了. .0000() ()()().u xv xu xv x 0000()()lim()xv xxv xu xx 例例1 1011( ).nnnnf xa xa xaxa 求的導(dǎo)數(shù)求的導(dǎo)數(shù)1011( )()()()() nnnnfxa xa xaxa解解 因此因此, 對(duì)于多

4、項(xiàng)式對(duì)于多項(xiàng)式 f 而言而言, 總是比總是比 f 低一個(gè)冪次低一個(gè)冪次. .f 例例2 sinln.yxxx 求求在在處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解 由公式由公式 (2)，得，得 12011(1). nnnna xna xaln.xy 1(sin ) lnsin (ln )coslnsin,yxxxxxxxx 0000020() ()() ()( ).(4)( )()x xu x v xu x v xu xv xvx 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 也可導(dǎo)也可導(dǎo)，且且( )( )( )u xf xv x 則則定理定理5.7 若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), ,( ), ( )u x v x0()0,v x 證證

5、1( )( )( ) ( ).( ),( )g xf xu x g xg xv x設(shè)，則對(duì)有設(shè)，則對(duì)有000011( )()( )()v xxv xg xxg xxx 0000( )()1.( )()v xxv xxv xxv x 由于由于 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), , 因此因此0()0,v x ( )v x對(duì)對(duì) 應(yīng)用公式應(yīng)用公式 (2) 和和 (5), 得得( )( ) ( )f xu x g x 0000200()()()()lim,()xg xxg xv xg xxvx 0020()1.( )()x xv xv xvx 亦亦即即(5)00000()() ()()() ,fxu xg x

6、u xg x0000020() ()() ()( ).( )()x xu xv xu xv xu xv xvx 即即例例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：22222cossin1sec.coscosxxxxx (i),;nxn 是是正正整整數(shù)數(shù)(ii) tan, cot;xx(iii) sec , csc.xx解解1121(i) ().nnnnnnxxnxxx 2sin(sin ) cossin (cos )(ii) (tan )coscosxxxxxxxx 同理可得同理可得 sectan .xx 221(cos )sin(iii) (sec)coscoscosxxxxxx (csc )

7、csccot .xxx 221(cot)csc.sinxxx 同理可得同理可得001().(6)()fxy 證證00,xxxyyy 設(shè)設(shè)則則00()(),xyyy 00()() .yf xxf x 定理定理 5.8 設(shè)設(shè) 為為 的反函數(shù)，在的反函數(shù)，在( )yf x ( )xy 由由假設(shè)假設(shè), , 在點(diǎn)在點(diǎn)1f 0 x的某鄰域內(nèi)連續(xù)的某鄰域內(nèi)連續(xù), ,且嚴(yán)格且嚴(yán)格二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f00()xy 則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且0y0()0,y 點(diǎn)點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào), 且且00;00.xyxy 000011lim.()limxyyfxxxyy 例例4 求下列函數(shù)

8、的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,0)(0 y 便可證得便可證得注意到注意到單調(diào)單調(diào), , 從而有從而有(i) arcsinarccos;xx和和(ii) arctanarccot.xx和和解解(i)arcsin ,( 1, 1 )sinyxxxy 是是在在2111(arcsin ),( 1,1).(sin )cos1xxyyx 21,(arccos ),( 1, 1).1xxx 同同理理上的反函數(shù)，故上的反函數(shù)，故()22 ，yyyx22tan11sec1)(tan1)(arctan ).,(,112 xx同理有同理有21(arccot ),1xx (,).x 的反函數(shù)，故的反函數(shù)，故(ii)ar

9、ctantanyxxy是在是在上上()22 ，定理定理 5.90( )( )uxxyf u 設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在點(diǎn)點(diǎn)00()uxf 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可可這個(gè)定理一般用有限增量公式來證明這個(gè)定理一般用有限增量公式來證明，但為了與但為了與 00000() ()()()()(). (7)fxfuxfxx 導(dǎo)，導(dǎo)，且且三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證法證法, 為此需要先證明一個(gè)引理為此需要先證明一個(gè)引理.今后學(xué)習(xí)向量函數(shù)相聯(lián)系今后學(xué)習(xí)向量函數(shù)相聯(lián)系，這里采用另一種新的這里采用另一種新的引理引理 f 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)的充要條件是可導(dǎo)的充要條件是: : 在在 x0 的的某鄰某鄰

10、00()( ),U xxH x域域上上存存在在一一個(gè)個(gè)在在連連續(xù)續(xù)的的函函數(shù)數(shù)使使證證 設(shè)設(shè) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), , 且令且令00000( )(),()( )(),.f xf xxUxxxH xxxfx 00()().fxH x 且且),)()()(00 xxxHxfxf 000000( )()lim( )lim()(),xxxxf xf xH xfxH xxx 因因0( )H xx故故在在連連續(xù)續(xù)，且且00,( ) (),H xxU xx 反反之之 設(shè)設(shè)存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) 且且000( )()( )(),() .f xf xH xxxxU x ),()(limlim

11、00000 xHxHxxxfxfxxxx 得得 f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), ,).()(00 xHxf 且且下面證明定理下面證明定理 5.9 ( 公式公式 (7) ) .).(),)()()(000 xUxxxxHxfxf 根據(jù)極限根據(jù)極限),(0uFu 連續(xù)的函數(shù)連續(xù)的函數(shù)個(gè)在點(diǎn)個(gè)在點(diǎn)且且使使)()(00uFuf 同理，同理，,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn) xxu 則存在一個(gè)在點(diǎn)則存在一個(gè)在點(diǎn) x0).(),)()()(000uUxuuuFufuf 0000( )()( )(),().uuxxxxxxU x于是當(dāng)于是當(dāng) 有有),(0 xUx 由引理的必要性由引理的必要性,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)

12、在在點(diǎn)點(diǎn)及及uuf知存在一知存在一(),x 00()(),xx 使使且且連續(xù)的函數(shù)連續(xù)的函數(shù)00( ( )( ()( ( )( )().fxfxFxxxx 公式公式(7)改寫為改寫為00000()( ()()()().H xFxxfux ddd,dddyyuxux 0,x 由由于于在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù))(00 xuF 在在點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)，連續(xù)，0( )( ( )( ).H xFxxx 所所以以在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)根據(jù)引根據(jù)引 理的充分性理的充分性,0,fx 在在點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo) 且且)()(0 xf ( ),( ),yf u ux 其中其中這樣就容易理解這樣就容易理解 “鏈鏈” 的的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

13、公式 (7) 又稱為又稱為 “鏈?zhǔn)椒ㄦ準(zhǔn)椒▌t則”.若將若將( ( ( )( ( )( ).fxfxx 與與的的不不同同含含義義例例5.sin2yxy 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)在鏈?zhǔn)椒▌t中一定要區(qū)分在鏈?zhǔn)椒▌t中一定要區(qū)分( )( ( )( )|uxfxfu 22dd d(sin ) ()cos22 cos.dd dyyuuxuxxxxu x 意義了意義了.解解分解成分解成 這兩個(gè)這兩個(gè)2sinyx 將將2sinyuux 與與于是由鏈?zhǔn)椒▌t于是由鏈?zhǔn)椒▌t, 有有基本初等函數(shù)的復(fù)合，基本初等函數(shù)的復(fù)合，例例6(,0 ).yxx 求求冪冪函函數(shù)數(shù)是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解lneelnxuyxyux

14、由由與與復(fù)合而成復(fù)合而成,ln1()(e)e.xuxxx 故故例例7求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): :2(i)1;x 21(ii);1x 2(iii)ln(1).xx解解 運(yùn)用復(fù)合求導(dǎo)法則運(yùn)用復(fù)合求導(dǎo)法則, , 分別計(jì)算如下分別計(jì)算如下: :122221(i)()(1)(1)12xxx 2.1xx 23 22211(ii)(1)(1)21xxx 2 3.(1)xx 2(iii)ln(1)xx 221( 1)11xxxx221(1)1xxxx 21.1x 例例8 8 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): :21(i)( )arctan(tan) ;332xf x 1,0,1e(ii)( )0,

15、0.xxxg xx 解解222111(i)( )sec133221tan92xfxx 2211.54cos9cossin22xxx (ii)0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,111211ee( ).(1e)xxxxg x 0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,因因?yàn)闉?01(0)lim00,1exxxgx 所以所以 在在 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo). .g0 x 101(0)lim01,1exxxgx 化某些連乘、連除式的求導(dǎo)化某些連乘、連除式的求導(dǎo).( )( )ln ( )( )ln ( )( ( )(e)e( ( )ln ( )v xv xu xv xu xu xv xu x ( )( )( )( )ln ( )( ).( )

16、v xu xu xv xu xv xu x 例例923142 5(1) (2),.(59)xxyyx 設(shè)求設(shè)求對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法( )0,( )u xu x 設(shè)設(shè) 均可導(dǎo)均可導(dǎo), 則則( )v x與與( )( )v xu x對(duì)數(shù)求導(dǎo)法不僅對(duì)冪指函數(shù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法不僅對(duì)冪指函數(shù)有效有效, ,也能簡(jiǎn)也能簡(jiǎn)解解 先對(duì)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)先對(duì)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù), 得得再對(duì)上式兩邊求導(dǎo)再對(duì)上式兩邊求導(dǎo), 又得又得于是得到于是得到).95ln(52)2ln(41)1ln(3ln2 xxxy26125.4(2)5591yxyxxx 2314225(1) (2)612.4(2)59(59)1xxxyxxxx 求導(dǎo)法則：求

17、導(dǎo)法則：);()( ,)()2(為為常常數(shù)數(shù)cuccuvuvuuv d1(4);dddyxxy 反反函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù);1,)3(22vvvvvuvuvu ;)()1(vuvu 四、基本求導(dǎo)法則與公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(1)( )0 ();cc 為為常常數(shù)數(shù));()()2(1為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù) xx;sin)(cos,cos)(sin)3(xxxx ;cotcsc)(csc,tansec)(secxxxxxx ;csc)(cot,sec)(tan)4(22xxxx ddd(5).dddyyuxux 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)11(6) (log), (ln );lnaxxxax (5) ()ln , (e )e;xxxxaaa ,20200?2211(7)(arcsin ), (arccos ),11xxxx 21(arccot ).1xx 21(arctan ),1xx