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1、
第四章 三角函數(shù)
第3節(jié) 三角恒等變換
題型55 兩角和與差公式的證明
1.（2015陜西文）“”是“”的（ ）.
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
1.解析 當(dāng)時(shí)，
，
即；
當(dāng)時(shí)，有，所以或
.即不能推出.故選A.
命題意圖 考查三角函數(shù)恒等變形以及命題相關(guān).
題型56 化簡求值
1.（2014陜西文13）設(shè)，向量，
若，則_______.
2.（2014江蘇15）已知，．
（1）求的值；
（
2、2）求的值．
3.（2014天津文16）（本小題滿分13分）
在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，.
(1)求的值；
(2)求的值.
4.（2015重慶文）若，，則（ ）.
A. B. C. D.
4.解析 由兩角差的正切公式知.
故選A.
5.（2015四川文）已知，則的值是__________.
5.解析 由題意可得，
6.（2015江蘇文）已知，，則的值為 ．
6.解析 解法一：．
解法二：，故．
解法三：，
故．
7.（2015江蘇）設(shè)向量，則的值為
3、 ．
7.解析 解法一（強(qiáng)制法）：由題意得，，，，，，，，，
，，，.
從而
（恰當(dāng)整理化簡即可）.
解法二（部分規(guī)律法）：由題意
，從而，
即的結(jié)果呈現(xiàn)以為周期的變化，
故.
解法三（通用規(guī)律法）：由題意得：
，
，的周期為，在一個(gè)周期內(nèi)其和為，
故．
解法四（部分規(guī)律法）：
．
則，
設(shè)，
由誘導(dǎo)公式，
故，
從而分組求和．
設(shè)，由誘導(dǎo)公式，
故，從而分組求和．
又，從而．
評注 解法一、二雖然足夠復(fù)雜，但只要羅列清楚并逐步解決，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)比較簡單，從一般法
4、角度進(jìn)行解決思路難尋，便可以從具體值的角度思考，這給了江蘇考區(qū)的大部分普通考生以希望．
解法三側(cè)重對三角公式的化簡，側(cè)重從一般的角度找到問題的突破口．但解法三中化化簡使用積化和差簡化過程，即，但高中階段該公式已不要求掌握，因此此題順利化簡確實(shí)也比較麻煩．
解法四在解法三的基礎(chǔ)之上進(jìn)行了優(yōu)化，不化到最簡形式也可解決問題．
也有學(xué)生考慮構(gòu)造
，則和都是單位向量且夾角為，即．
8.（2015廣東文）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
8.解析 （1）.
（2）
.
9.（2017全國3文4）已知，則=（ ）.
A． B． C． D．
9
5、.解析 .
故選A.
評注 考點(diǎn)為三角函數(shù)的恒等變換，有一定難度，關(guān)鍵在于對正弦二倍角公式的運(yùn)用.失分的原因在于解題的思路是否清晰以及計(jì)算錯(cuò)誤.
10.（2017山東文4）已知，則（ ）.
A. B. C. D.
10.解析 .故選D.
11.（2017全國1文15）已知，，則 .
11.解析 由.又， 所以 .
因?yàn)?，所以?
所以.
12.（2017江蘇5）若，則 ．
12.解析 解法一（角的關(guān)系）：．故填．
解法二（直接化簡）：，所以．故填．
6、題型57 三角函數(shù)綜合
1.(2013廣東文16） 已知函數(shù)，．
(1) 求的值；
(2) 若，，求．
1.分析 （1）把代入函數(shù)解析式，借助特殊角的三角函數(shù)值求.（2）由
求出，利用兩角差的余弦公式求.
解析 （1）因?yàn)?，所?
.
（2）因?yàn)?，所?
所以
.
2. (2013湖南文16已知函數(shù).
（1） 求的值；
（2） 求使 成立的的取值集合.
2. 分析 （1）利用三角恒等變形公式將變形為只含一個(gè)角的一種三角函數(shù)形式后求解.
（2）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)變形為關(guān)于自變量的不等式求解.
解析 （1）.
（2）
.
等價(jià)于，即.
7、于是.解得.
故使成立的的取值集合為.
3.（2014江西文16）（本小題滿分12分）
已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，其中，.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
4. （2014廣東文16）（12分）已知函數(shù)，且.
（1）求的值；
（2）若，，求.
5.（2014湖南文21）（本小題滿分13分）
已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）記為的從小到大的第個(gè)零點(diǎn)，求證：對一切，有.
6.（2014遼寧文21）（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，.
求證：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且對（1）中的，有.
7.（2014四川文17）(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若是第二象限角，，求的值.
8.（2017全國1文11）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，，則（ ）.
A． B． C． D．
8.解析 由題意得
，
即，所以.
由正弦定理，得，即，得.故選B.
9.（2017北京文16）已知函數(shù).
（1）求的最小正周期；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，．
9.解析 (1) ，所以，所以的最小正周期為.
(2)當(dāng)時(shí)，，令，則.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
所以.
2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-文科 第四章 三角函數(shù)第3節(jié)三角恒等變換
