廣西桂林市逸仙中學(xué)高二數(shù)學(xué)《離散型隨機(jī)變量及其概率分布》課件

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1、第一節(jié)第一節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果1. 基本概念(1)隨機(jī)變量：一般地，如果 ，可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.通常用字母X,Y,等表示.（2）離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值都是離散的，我們把這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.（3）一般地，假定隨機(jī)變量X有n個(gè)不同的取值，它們分別是 ，且P(X= )= (i=1,2,n),則稱表 12,.,nx xxixipXP1x2xixnx1p2pipnp概率分布表概率分布為離散型隨機(jī)變量X的 ，它和都叫做隨機(jī)變量X的 .2. 離散型隨機(jī)變量的基本性質(zhì)（1） 0(i=1,2,n

2、);(2) .3. 兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為 則稱X服從0-1分布或兩點(diǎn)分布，并記為 ,或 .ip12.1npppX01P1-PPX0-1分布 X兩點(diǎn)分布4. 超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件X=r發(fā)生的概率為 ,r=0,1,2,l,其中l(wèi)=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*，稱分布列 為 .如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X .記為XH(n,M,N).并將 記為H(r;n,M,N).n rMN MnNC CP XrCX01lP00nMN MnNC CC11nMN MnNC CCln lMN MnNC CC超幾

3、何分布列服從超幾何分布rn rMN MnNC CP XrC題型一題型一 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念【例1】寫出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所表示的意義.（1）一個(gè)袋中裝有2個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù);(2)投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，所得點(diǎn)數(shù)的最大值為Y.典例分析典例分析分析 (1)所取三個(gè)球中，可能有一個(gè)白球，也可能有兩個(gè)白球，還可能沒(méi)有白球.（2）投擲結(jié)果為（i,j）,其中1i6,1j6,其中i,jN,投擲結(jié)果用X,Y表示.解 (1)可取0,1,2.=0表示所取三球沒(méi)有白球;=1表示所取三球是1個(gè)白球，2個(gè)黑球;=2表示所取三球是2個(gè)白球，1個(gè)黑球.

4、（2）X的可能取值有2,3,4,5,12,Y的可能取值為1,2,3,6.若以(i,j)表示先后投擲的兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則X=2表示（1，1）;X=3表示（1，2），（2，1）;X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）;X=12表示(6,6);Y=1表示（1，1）;Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）;Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2）;Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），（6，6），（6，5），（6，1）.學(xué)后反思 研究隨機(jī)變量的取值關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解所定義的隨機(jī)變量的含義，明確隨機(jī)變量所取的值對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果是進(jìn)一步求隨機(jī)變量取這個(gè)值時(shí)的概

5、率的基礎(chǔ).1. 下列幾個(gè)結(jié)果:某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的游客數(shù)量為X；某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為X；某水文站觀察到一天中長(zhǎng)江的水位為X；某立交橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)為X.其中不是離散型隨機(jī)變量的是 .解析: 、中的隨機(jī)變量X可能取的值，我們都可以按一定次序一一列出，因此，它們都是離散型隨機(jī)變量；中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無(wú)法按一定次序一一列出，故X不是離散型隨機(jī)變量.答案: 題型二題型二 求離散型隨機(jī)變量的分布列求離散型隨機(jī)變量的分布列【例2】已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列

6、.分析 本題主要考查互斥事件、獨(dú)立事件離散型隨機(jī)變量的分布列，考查運(yùn)用概率的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.解 可能取的值為0,1,2,3,P(=0)= ,P(=1)= 2234224615C CC C12211343242246715C CC C CC C又P(=3)= ,P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)= .的分布列為 132246130CC C1713151530100123p15715310130學(xué)后反思 求概率分布（分布列）的一般步驟為：（1）明確隨機(jī)變量的取值范圍;（2）搞清楚隨機(jī)變量取每個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率值;（3）列出分布列（一般用表格形

7、式）;（4）檢驗(yàn)分布列（用它的兩條性質(zhì)驗(yàn)算）.舉一反三舉一反三2. 盒中裝有大小相同的10個(gè)球,編號(hào)分別為0,1,2,9,從中任取1個(gè)，觀察號(hào)碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”三類情況之一，并求其概率分布.解析： 分別用 表示“小于5”，“等于5”，“大于5”三種情況，設(shè)是隨機(jī)變量，其可能取值分別是 則P(= )= ,P(= )= ,P(= )= ,故的概率分布為123,x x x123,x x x1x511022x1103x42105P1x2x3x1211025題型三題型三 超幾何分布超幾何分布【例3】某校高三年級(jí)某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試

8、，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的概率分布.分析 X服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率公式來(lái)求解.解 依題意隨機(jī)變量X服從超幾何分布，所以P（X=k）= (k=0,1,2,3,4).P(X=0)= ,P(X=1)= , P(X=2)= ,P(X=3)= , P(X=4)= .464410kkC CC04644101210C CC1364410435C CC226441037C CC3164410821C CC4064410114C CCX的概率分布為X01234P114821374351210學(xué)后反思 對(duì)于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其概率分布可以直接應(yīng)用公式給出.超幾何分布描述的是不放回抽樣

9、問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).舉一反三舉一反三3. 設(shè)有產(chǎn)品100件，其中有次品5件，正品95件，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取20件，求抽得次品件數(shù)的分布列.解析： 由題意知的可能取值為0,1,2,3,4,5,服從超幾何分布，其中M=5,N=100,n=20.所以P(=k)= (k=0,1,2,3,4,5).所以的分布列為2059520100kkC CC012345P0.319 3 0.420 1 0.207 3 0.047 9 0.005 20.000 2題型四題型四 利用隨機(jī)變量的分布列解決概率問(wèn)題利用隨機(jī)變量的分布列解決概率問(wèn)題【例4】（14分）袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球

10、的概率是17.現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取,取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用X表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù).（1）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(2)求隨機(jī)變量X的概率分布；（3）求甲取到白球的概率.分析 (1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)，需列出方程求解.(2)寫出X的可能取值，求出相應(yīng)概率，求出X的分布列.（3）利用所求分布列，甲取到白球的概率為P(A)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5).解 (1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知 ,2所以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2), 即袋中原有3個(gè)白球.4227

11、11127 677 62nn nn nCC(2)由題意，的可能取值為1,2,3,4,5.P(X=1)= , P(X=2)= ,P(X=3)= , P(X=4)= ,P(X=5)= .6所以取球次數(shù)的分布列為 8374 327 674 3 367 6 535 4 3 2 337 6 5 435 4 3 2 1 317 6 5 4 335 X01234P1353356352737(3)因?yàn)榧紫热。约字挥锌赡茉诘?次，第3次和第5次取球，記“甲取到白球”的事件為A，則P（A）=P(“X=1”或“X=3”或“X=5”)10因?yàn)槭录癤=1”、“X=3”、“X=5”兩兩互斥，所以P(A)=P(X=1

12、)+P(X=3)+P(X=5)= 14361227353535學(xué)后反思 （1）處理有關(guān)離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定恰當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量，并明確隨機(jī)變量所有可能的取值.（2）離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.（3）注意應(yīng)用概率之和為1這一性質(zhì)檢驗(yàn)解答是否正確.舉一反三舉一反三4. (2010廣州模擬)某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為.(1)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率；（2）求的分布列.X0678910P00.20.30.30.2解析： (1)該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率

13、為P(7)=0.20.2=0.04.(2)的可能取值,為0,7,8,9,10,則P(=0)=0,P(=7)=0.04,P(=8)=20.20.3+ =0.21,P(=9)=20.20.3+20.30.3+ =0.39,P(=10)=20.20.2+20.30.2+20.30.2+ =0.36.所以的分布列為 20.320.320.2078910P00.040.210.390.36易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示【例】某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列.錯(cuò)解 P(=1)=0.9,P(=2)=0.10.9=0.09,P(=3)=0.10.10.

14、9=0.009,P(=4)= 0.9=0.000 9,P(=5)= 0.9=0.000 09,故其分布列為30.140.112345P0.90.090.0090.00090.0001錯(cuò)解分析 當(dāng)=5時(shí)，應(yīng)包含兩種情形：一是前4發(fā)都沒(méi)有命中，恰第5發(fā)命中，概率為 0.9; 二是這5發(fā)子彈均未命中目標(biāo)，概率為 ,所以P（=5）= 0.9+ =0.000 1或P(=5)=1-(0.9+0.09+0.009+0.000 9)=0.000 1. 12345P0.90.090.0090.00090.000140.140.150.150.1正解 錯(cuò)解中取1,2,3,4時(shí)的概率均正確，當(dāng)=5時(shí)，只要前四次射不

15、中，都要射第5發(fā)子彈，不必考慮第5發(fā)子彈射中與否，所以P(=5)= ,從而知耗用子彈數(shù)的分布列為40.110. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示： F(x)=P(Xx)，則當(dāng)x的取值范圍是1,2)時(shí)，求F(x).考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練X012Pa1316解析: 由分布列的性質(zhì)知a= ,當(dāng)x1,2)時(shí)，F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)= 1211523611. (2009濟(jì)南模擬)設(shè)隨機(jī)變量的分布列P= =ak(k=1,2,3,4,5).（1）求常數(shù)a的值；（2）求P ;(3)求P( ).Pa2a3a4a5a5k35110710解析： 的分布列為 (1)由a+2a+3a+4a+5a=1

16、,得a= .(2)P( )=P(= )+P(= )+P(=1)= 或P( )=1-P( )=1-( + )= .115353545345415151553525115215451525354555(3)因?yàn)?,只有= , , 滿足，故P( )=P(= )+P(= )+P(= )= 1107101525351107101525351232151515512. (2009深圳模擬)一批零件中有10個(gè)合格品，2個(gè)次品，安裝機(jī)器時(shí)從這批零件中任選一個(gè)，取到合格品才能安裝，若取到的是次品，則不再放回.（1）求最多取2次零件就能安裝的概率；（2）求取得合格品前已取出的次品數(shù)的分布列.解析: 取1次就能安裝的概率為 ; 取2次就能安裝的概率為 所以最多取2次零件就能安裝的概率為 (2)由于隨機(jī)變量表示取得合格品前已取出的次品數(shù)，所以的可能取值為0,1,2.P(=0)= ,P(=1)= P(=2)= 的分布列為10512621051211335565633661051262105121133211011211 1066012P16653356