《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 第二節(jié)解分離變量方程解分離變量方程 可可分離變量方程分離變量方程 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分離變量方程的解法分離變量方程的解法:設(shè) y(x)是方程的解,兩邊積分,得 則有恒等式 當(dāng)G(y)與F(x)可微且 G(y)g(y)0 時,的隱函數(shù) y(x)是的解.則有稱為方程的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng) F(x)=f(x)0 時,由確定的隱函數(shù) x(y)也是的解.設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為 G(y),F(x),說明由確定目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.求微分方程的通解.解解:分離變量得兩邊積分得即(C 為任意常數(shù))或或說明說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解 y=0)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.解初值問題解解:分離變量得兩邊積分得即由初始條件得 C=1,(C 為任意常數(shù))故所求特解為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.求下述微分方程的通解:解解:令 則故有即解得(C 為任意常數(shù))所求通解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí):解法解法 1 分離變量即(C 0 )解法解法 2故有積分(C 為任意常數(shù))所求通解:積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.子的含量 M 成正比,求在衰變過程中鈾含量 M(t)隨時間 t 的變化規(guī)律.解解:根據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知 t=0 時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.成正比,求解解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系.t 足夠大時目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.有高 1 m 的半球形容器,水從它的底部小孔流出,開始時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中,容器里水面的高度 h 隨時間 t 的變解解:由水力學(xué)知,水從孔口流出的流量為即求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設(shè)在內(nèi)水面高度由 h 降到 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對應(yīng)下降體積因此得微分方程定解問題:將方程分離變量:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩端積分,得利用初始條件,得則得容器內(nèi)水面高度 h 與時間 t 的關(guān)系:可見水流完所需時間為 因此目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程的求解方法:說明說明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個解.例如,方程分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).解;階;通解;特解 y=x 及 y=C 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(1)找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程(如:P298 題5(2)2)根據(jù)物理規(guī)律列方程3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(2)利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3)求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.3.解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟例4例5例6目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 求下列方程的通解:提示提示:(1)分離變量(2)方程變形為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)P 304 1(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;5;6第三節(jié)
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類型：共享資源
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上傳時間：2022-03-30
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