《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊(cè) PPT教學(xué)課件
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目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一階線性微分方程 第四節(jié)一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程*二、伯努利方程二、伯努利方程 第七章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若 Q(x)0,若 Q(x)0,稱為非齊次方程非齊次方程.1.解齊次方程分離變量?jī)蛇叿e分得故通解為稱為齊次方程齊次方程;目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.解方程 解解:先解即積分得即用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解.則代入非齊次方程得解得故原方程通解為令目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在閉合回路中,所有支路上的電壓降為 0例例2.有一電路如圖所示,電阻 R 和電解解:列方程.已知經(jīng)過電阻 R 的電壓降為R i 經(jīng)過 L的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流感 L 都是常量,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流因此所求電流函數(shù)為解的意義:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.求方程的通解.解解:注意 x,y 同號(hào),由一階線性方程通解公式通解公式,得故方程可變形為所求通解為 這是以為因變量 y 為自變量的一階線性方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束*二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方方程程 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)伯努利 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.求方程的通解.解解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1 先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.注意用變量代換將方程化為已知類型的方程例如,解方程法法1.取 y 作自變量:線性方程 法法2.作變換 則 代入原方程得 可分離變量方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示提示:可分離 變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P315 1(3),(6),(9);2(5);6;*8(1),(3),(5)作業(yè)第五節(jié) 習(xí)題課1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題1.求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示提示:令則有線性方程利用公式可求出目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解解:1)先解定解問題利用通解公式,得利用得故有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2)再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3)原問題的解為
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