《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
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推廣推廣第九章第九章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意:善于類比善于類比,區(qū)別異同區(qū)別異同多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章 第一節(jié)第一節(jié)一、區(qū)域一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、區(qū)域區(qū)域1.鄰域鄰域點集稱為點 P0 的 鄰域鄰域.例如例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成點 P0 的去心鄰域去心鄰域記為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.區(qū)域區(qū)域(1)內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集 E 及一點 P:若存在點 P 的某鄰域 U(P)E,若存在點 P 的某鄰域 U(P)E=,若對點 P 的任一任一鄰域 U(P)既含 E中的內(nèi)點也含 E則稱 P 為 E 的內(nèi)點內(nèi)點；則稱 P 為 E 的外點外點;則稱 P 為 E 的邊界點邊界點 .的外點,顯然,E 的內(nèi)點必屬于 E,E 的外點必不屬于 E,E 的邊界點可能屬于 E,也可能不屬于 E.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)聚點聚點若對任意給定的 ,點P 的去心鄰域內(nèi)總有E 中的點,則稱 P 是 E 的聚點聚點.聚點可以屬于 E,也可以不屬于 E(因為聚點可以為 所有聚點所成的點集成為 E 的導(dǎo)集導(dǎo)集.E 的邊界點)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為開集；若點集 E E,則稱 E 為閉集；若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連,開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的;連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域;。E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界,記作E;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如，例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 整個平面 點集 是開集，是最大的開域,也是最大的閉域;但非區(qū)域.對區(qū)域 D,若存在正數(shù) K,使一切點 PD 與某定點 A 的距離 AP K,則稱 D 為有界域有界域,界域界域.否則稱為無無目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束*3.n 維空間維空間n 元有序數(shù)組的全體所構(gòu)成的集合記作即中的每一個元素用單個粗體字母 x 表示,即定義:線性運算其元素稱為點或 n 維向量.xi 稱為 x 的第 i 個坐標 或 第 i 個分量.稱為 n 維空間,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的距離距離定義為中點 a 的 鄰域鄰域為與零元 0 的距離為記作則稱 x 顯然趨于a,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例:圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強 三角形面積的海倫公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義1.設(shè)非空點集點集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域值域 .特別地,當 n=2 時,有二元函數(shù)當 n=3 時,有三元函數(shù)映射稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù),記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如,二元函數(shù)定義域為圓域說明說明:二元函數(shù) z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點的上半球面.的圖形一般為空間曲面 .三元函數(shù) 定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限定義定義2.設(shè) n 元函數(shù)點,則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當 n=2 時,記二元函數(shù)的極限可寫作：P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A,對一記作都有對任意正數(shù) ,總存在正數(shù),切目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.設(shè)求證:證證:故總有要證 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.設(shè)求證：證：證：故總有要證 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若當點趨于不同值或有的極限不存在，解解:設(shè) P(x,y)沿直線 y=k x 趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k 值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于不存在.例例3.討論函數(shù)函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.求解解:因而此函數(shù)定義域不包括 x,y 軸則故目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 僅知其中一個存在,推不出其他二者存在.注注.二重極限不同不同.如果它們都存在,則三者相等.例如例如,顯然與累次極限但由例3 知它在(0,0)點二重極限不存在.例3目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3.設(shè) n 元函數(shù)定義在 D 上,如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在 D 上如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點.則稱 n 元函數(shù)連續(xù).連續(xù),目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點.在圓周結(jié)論結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理：若 f(P)在有界閉域 D 上連續(xù),則*(4)f(P)必在D 上一致連續(xù).在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:原式例例5.求例例6.求函數(shù)的連續(xù)域.解解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域 鄰域:區(qū)域連通的開集 2.多元函數(shù)概念n 元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P61 題 2;4;5(3),(5)(畫圖);8P129 題 3;*4思考與練習(xí)思考與練習(xí)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解答提示解答提示:P61 題 2.稱為二次齊次函數(shù).P61 題 4.P61 題 5(3).定義域P61 題 5(5).定義域目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P62 題 8.間斷點集P129 題 3.定義域P129 題*4.令 y=k x，若令,則 可見極限不存在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P61 5(2),(4),(6)6 (2),(3),(5),(6)*7，*10第二節(jié) 作作 業(yè)業(yè) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題1.設(shè)求解法解法1 令目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.設(shè)求解法解法2 令即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.是否存在？解解:利用所以極限不存在.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.證明在全平面連續(xù).證證:為初等函數(shù),故連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù).由夾逼準則得
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