《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件,高等數(shù)學(xué),《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊,PPT教學(xué)課件,第六,上下冊,PPT,教學(xué),課件
目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七節(jié)第七節(jié)一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性 二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 第十二章 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運動:(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運動:令得函數(shù)項級數(shù)為角頻率,為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 1.組成三角級數(shù)的函數(shù)系證證:同理可證:正交,上的積分等于 0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上的積分不等于 0.且有 但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理定理 2.設(shè) f(x)是周期為 2 的周期函數(shù),且右端級數(shù)可逐項積分,則有證證:由定理條件,對在逐項積分,得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(利用正交性)類似地,用 sin k x 乘 式兩邊,再逐項積分可得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為的傅傅里里葉系數(shù)葉系數(shù);由公式 確定的以的傅里里的傅傅里里葉級數(shù)葉級數(shù).稱為函數(shù) 簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3(收斂定理收斂定理,展開定理展開定理)設(shè) f(x)是周期為2 的周期函數(shù),并滿足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)條件條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則 f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有 x 為間斷點其中(證明略證明略)為 f(x)的傅里里葉系數(shù).x 為連續(xù)點注意注意:函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.設(shè) f(x)是周期為 2 的周期函數(shù),它在 上的表達式為解解:先求傅里葉系數(shù)將 f(x)展成傅里葉級數(shù).目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近說明說明:f(x)的情況見右圖.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.設(shè) f(x)是周期為 2 的周期函數(shù),上的表達式為將 f(x)展成傅里葉級數(shù).解解:它在 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:當(dāng)時,級數(shù)收斂于目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 周期延拓傅里里葉展開上的傅里葉級數(shù)定義在定義在 ,上的函數(shù)上的函數(shù) f(x)的傅氏級數(shù)展開的傅氏級數(shù)展開法法其它目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.將函數(shù)則解解:將 f(x)延拓成以 展成傅里葉級數(shù).2為周期的函數(shù) F(x),目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng) x=0 時,f(0)=0,得說明說明:利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)已知又目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.周期為周期為2 的的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理定理4.對周期為 2 的奇函數(shù) f(x),其傅里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù) f(x),其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.設(shè)的表達式為 f(x)x,將 f(x)展成傅里里葉級數(shù).f(x)是周期為2 的周期函數(shù),它在解解:若不計周期為 2 的奇函數(shù),因此目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n1根據(jù)收斂定理可得 f(x)的正弦級數(shù):級數(shù)的部分和 逼近 f(x)的情況見右圖.n2n3n4n5目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.將周期函數(shù)展成傅里里葉級數(shù),其中E 為正常數(shù).解解:是周期為2 的周期偶函數(shù),因此 為便于計算,將周期取為2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.定義在定義在0,上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)數(shù)周期延拓 F(x)f(x)在 0,上展成周期延拓 F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù) f(x)在 0,上展成目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).解解:先求正弦級數(shù).去掉端點,將 f(x)作奇周期延拓,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:在端點 x=0,級數(shù)的和為0,與給定函數(shù)因此得 f(x)=x+1 的值不同.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再求余弦級數(shù).將則有作偶周期延拓,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:令 x=0 可得即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.周期為 2 的函數(shù)的傅里里葉級數(shù)及收斂定理 其中注意注意:若為間斷點,則級數(shù)收斂于目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 奇函數(shù)正弦級數(shù) 偶函數(shù)余弦級數(shù)3.在 0,上函數(shù)的傅里葉展開法 作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù) 作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)1.在 0,上的函數(shù)的傅里里葉展開法唯一嗎?答答:不唯一,延拓方式不同級數(shù)就不同.思考與練習(xí)思考與練習(xí)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,處收斂于2.則它的傅里里葉級數(shù)在在處收斂于 .提示提示:設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.設(shè)又設(shè)求當(dāng)?shù)谋磉_式.解解:由題設(shè)可知應(yīng)對作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級數(shù)展開式的和函數(shù),在 f(x)的定義域 內(nèi)時目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.寫出函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù).答案:定理3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P313 1(1),(3);2(1),(2);5;6;7(2)第八節(jié) 作業(yè)作業(yè) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.葉級數(shù)展式為則其中系數(shù)提示提示:利用“偶倍奇零”(1993 考研)的傅里 函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.設(shè)是以 2 為周期的函數(shù),其傅氏系數(shù)為則的傅氏系數(shù)提示提示:令類似可得利用周期函數(shù)性質(zhì)
收藏