《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件
《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊 PPT教學(xué)課件,高等數(shù)學(xué),《高等數(shù)學(xué)》(第六版)上下冊,PPT教學(xué)課件,第六,上下冊,PPT,教學(xué),課件
目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習(xí)題課習(xí)題課級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開 三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法 四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和傅式級(jí)數(shù)四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和傅式級(jí)數(shù) 展開法展開法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法 第十二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求和展開(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)基本問題基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開.為傅里葉級(jí)數(shù).為傅氏系數(shù))時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);時(shí)為冪級(jí)數(shù);目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法根值審斂法收 斂發(fā) 散不定 比較審斂法用它法判別積分審斂法部分和極限目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz審斂審斂法法:若且則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,概念概念:且余項(xiàng)若收斂,稱絕對(duì)收斂若發(fā)散,稱條件收斂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.若級(jí)數(shù)均收斂,且證明級(jí)數(shù)收斂.證證:則由題設(shè)收斂收斂收斂練習(xí)題練習(xí)題:P320 1;2;3;4;5目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解答提示解答提示:P320 題2.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:提示提示:(1)據(jù)比較審斂法的極限形式,原級(jí)數(shù)發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原級(jí)數(shù)發(fā)散 故原級(jí)數(shù)收斂發(fā)散,收斂,用洛必達(dá)法則,原級(jí)數(shù)發(fā)散 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時(shí)收斂;時(shí),為 p 級(jí)數(shù)時(shí)收斂;時(shí)發(fā)散.時(shí)發(fā)散.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P320 題3.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和也收斂.法法1 由題設(shè)根據(jù)比較審斂法的極限形式知結(jié)論正確.都收斂,證明級(jí)數(shù)法法2 因 故存在 N 0,當(dāng)n N 時(shí)從而 再利用比較法可得結(jié)論目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P320 題4.設(shè)級(jí)數(shù)收斂,且是否也收斂？說明理由.但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂.問級(jí)數(shù)提示提示:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知級(jí)數(shù)收斂,收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.例如,取目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P320 題5.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:提示提示:(1)p 1 時(shí),絕對(duì)收斂;0 p1 時(shí),條件收斂;p0 時(shí),發(fā)散.(2)故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因單調(diào)遞減,且但對(duì)所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂.由Leibniz審斂法知級(jí)數(shù)收斂;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù):先求收斂半徑 R:再討論 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性.P320 題7.求下列級(jí)數(shù)的斂散域:練習(xí)練習(xí):(自證)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:當(dāng)因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散,時(shí),時(shí)原級(jí)數(shù)收斂.故收斂域?yàn)槟夸?上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:因故收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂;一般項(xiàng)不趨于0,級(jí)數(shù)發(fā)散;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.解解:分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù)極限不存在 原級(jí)數(shù)=其收斂半徑注意:此題目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求部分和式極限三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法 求和 映射變換法 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分對(duì)和函數(shù)求積或求導(dǎo)難直接求和:直接變換,間接求和:轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和,再代值求部分和等 初等變換法:分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.求冪級(jí)數(shù)法法1 易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槟夸?上頁 下頁 返回 結(jié)束 法法2 先求出收斂區(qū)間則設(shè)和函數(shù)為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí):解解:(1)顯然 x=0 時(shí)上式也正確,故和函數(shù)為而在x0P320 題8.求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：級(jí)數(shù)發(fā)散,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(4)x0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 顯然 x=0 時(shí),級(jí)數(shù)收斂于0,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性,有x=1 時(shí),級(jí)數(shù)也收斂.即得又 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí):解解:原式=的和.P320 題9(2).求級(jí)數(shù)注注:本題也可利用例3間接求和.例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和傅式級(jí)數(shù)展開法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和傅式級(jí)數(shù)展開法 直接展開法 間接展開法練習(xí)練習(xí):1)將函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù).利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式解解:1.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2)設(shè),將 f(x)展開成x 的冪級(jí)數(shù),的和.(2001考研)解解:于是并求級(jí)數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.函數(shù)的傅式級(jí)數(shù)展開法函數(shù)的傅式級(jí)數(shù)展開法系數(shù)公式及計(jì)算技巧;收斂定理;延拓方法練習(xí)練習(xí):上的表達(dá)式為將其展為傅氏級(jí)數(shù).P321 題11.設(shè) f(x)是周期為2的函數(shù),它在解答提示解答提示目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:如何利用本題結(jié)果求級(jí)數(shù)根據(jù)傅式級(jí)數(shù)收斂定理,當(dāng) x=0 時(shí),有提示提示:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P320 6(2);7(3);8(1),(3);9(1);10(1);12 作業(yè)作業(yè)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 設(shè)冪級(jí)數(shù)滿足解解:設(shè)內(nèi)收斂,其和函數(shù)(1)證明(2)求 y(x)的表達(dá)式.則由代入微分方程得(2007考研)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分析,故得(2)由(1)知可見
收藏