《高等數學》(第六版)上下冊 PPT教學課件
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目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三節(jié)一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算三重積分 第十章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想,采用引例引例:設在空間有限閉區(qū)域 內分布著某種不均勻的物質,求分布在 內的物質的可得“大化小大化小,常代變常代變,近似和近似和,求極限求極限”解決方法解決方法:質量 M.密度函數為目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義.設存在,稱為體積元素體積元素,若對 作任意分割任意分割:任意取點任意取點則稱此極限為函數在 上的三重積分三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質與二重積分相似.性質性質:例如 下列“乘中值定理中值定理.在有界閉域 上連續(xù),則存在使得V 為 的體積,積和式”極限記作記作目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、三重積分的計算二、三重積分的計算1.利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”)方法方法3.三次積分法 先假設連續(xù)函數 并將它看作某物體 通過計算該物體的質量引出下列各計算最后,推廣到一般可積函數的積分計算.的密度函數,方法:目錄 上頁 下頁 返回 結束 方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)該物體的質量為細長柱體微元的質量為微元線密度記作目錄 上頁 下頁 返回 結束 方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)為底,d z 為高的柱形薄片質量為該物體的質量為面密度記作目錄 上頁 下頁 返回 結束 投影法方法方法3.三次積分法三次積分法設區(qū)域利用投影法結果,把二重積分化成二次積分即得:目錄 上頁 下頁 返回 結束 當被積函數在積分域上變號時,因為均為為非負函數根據重積分性質仍可用前面介紹的方法計算.目錄 上頁 下頁 返回 結束 小結小結:三重積分的計算方法三重積分的計算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”方法方法3.“三次積分三次積分”具體計算時應根據三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數及積分域的特點靈活選擇.目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中 為三個坐標例例1.計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解解:面及平面目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2.計算三重積分解解:用用“先二后一先二后一”目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 就稱為點M 的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關系:坐標面分別為圓柱面半平面平面目錄 上頁 下頁 返回 結束 如圖所示,在柱面坐標系中體積元素為因此其中適用范圍適用范圍:1)積分域積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單方程簡單;2)被積函數被積函數用柱面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中 為例例3.計算三重積分所解解:在柱面坐標系下及平面由柱面圍成半圓柱體.目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4.計算三重積分解解:在柱面坐標系下所圍成.與平面其中 由拋物面原式=目錄 上頁 下頁 返回 結束 3.利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 就稱為點M 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系坐標面分別為球面半平面錐面目錄 上頁 下頁 返回 結束 如圖所示,在球面坐標系中體積元素為因此有其中適用范圍適用范圍:1)積分域積分域表面用球面坐標表示時方程簡單方程簡單;2)被積函數被積函數用球面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5.計算三重積分解解:在球面坐標系下所圍立體.其中 與球面目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6.求曲面所圍立體體積.解解:由曲面方程可知,立體位于xOy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yOz面對稱,并與xOy面相切,故在球坐標系下所圍立體為且關于 xOz 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結積分區(qū)域多由坐標面被積函數形式簡潔,或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系*說明說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:對應雅可比行列式為變量可分離.圍成;目錄 上頁 下頁 返回 結束 1.將用三次積分表示,其中 由所提示提示:思考與練習思考與練習六個平面圍成,目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.設計算提示提示:利用對稱性原式=奇函數目錄 上頁 下頁 返回 結束 3.設 由錐面和球面所圍成,計算提示提示:利用對稱性用球坐標 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè)P162 1(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);*10(2);11(1),*(4)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題 1.計算所圍成.其中 由分析分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!采用“三次積分”較好.目錄 上頁 下頁 返回 結束 所圍,故可 思考思考:若被積函數為 f(y)時,如何計算簡便?表為 解解:目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.計算其中解解:利用對稱性
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