云南省昭通市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和 4課件新人教A必修5

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1、等比數(shù)列的前N項(xiàng)和 數(shù)學(xué)小故事:數(shù)學(xué)小故事: 國(guó)際象棋起源于印度。國(guó)際象棋起源于印度。棋盤上共有棋盤上共有8 8行行8 8列構(gòu)成列構(gòu)成6464個(gè)格子。傳說(shuō)個(gè)格子。傳說(shuō)國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者,問(wèn)他有國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者,問(wèn)他有什么要求,發(fā)明者說(shuō):什么要求,發(fā)明者說(shuō):“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1 1個(gè)格子里放上個(gè)格子里放上1 1顆麥粒,在棋盤的第顆麥粒,在棋盤的第2 2個(gè)格子里放上個(gè)格子里放上2 2顆麥粒,在棋盤的第顆麥粒,在棋盤的第3 3個(gè)個(gè)格子里放上格子里放上4 4顆麥粒,在棋盤的第顆麥粒,在棋盤的第4 4個(gè)格個(gè)格子里放上子里放上8 8顆麥粒,以此類推,每個(gè)格顆麥粒,以此類推,每個(gè)格

2、子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的麥粒數(shù)的2 2倍,直到第倍,直到第6464個(gè)格子。請(qǐng)給個(gè)格子。請(qǐng)給我足夠的糧食來(lái)實(shí)現(xiàn)上述要求。我足夠的糧食來(lái)實(shí)現(xiàn)上述要求?!蹦阏J(rèn)你認(rèn)為國(guó)王有能力滿足發(fā)明者的上述要求嗎?為國(guó)王有能力滿足發(fā)明者的上述要求嗎?國(guó)際象棋棋盤國(guó)際象棋棋盤而所要求的而所要求的“64個(gè)格子所放的麥粒數(shù)總和個(gè)格子所放的麥粒數(shù)總和”就是求這個(gè)等比數(shù)列前就是求這個(gè)等比數(shù)列前64項(xiàng)的和項(xiàng)的和.問(wèn)題:求問(wèn)題:求2363641 2 222?S 如果將棋盤各格子所放的麥粒數(shù)看成一個(gè)如果將棋盤各格子所放的麥粒數(shù)看成一個(gè)數(shù)列,我們可以得到一個(gè)等比數(shù)列,它的首數(shù)列,我

3、們可以得到一個(gè)等比數(shù)列,它的首項(xiàng)是項(xiàng)是1,公比是,公比是2.二、新課講解:二、新課講解:2363641 2222S 式子兩邊都乘以式子兩邊都乘以 公比公比 2得得236364642 2 22 2 2S 由得由得646421S 而而64196421 18,446,744,073,709,551,615 1.84 10S 假定千粒麥子的質(zhì)量為假定千粒麥子的質(zhì)量為40克,那么麥粒的總質(zhì)量克,那么麥粒的總質(zhì)量超過(guò)了超過(guò)了7000億噸,是全世界億噸,是全世界1000多年的小麥總產(chǎn)量多年的小麥總產(chǎn)量.因此,國(guó)王不可能實(shí)現(xiàn)他的諾言因此,國(guó)王不可能實(shí)現(xiàn)他的諾言.1nnaan對(duì)于等比數(shù)列首項(xiàng),公比q,前 項(xiàng)和S

4、123nnSaaaa211111 nnSaa qa qa q根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,上式可寫(xiě)成根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,上式可寫(xiě)成 211111nnnqSa qa qa qa q 由由-得得 1nnqq (1- )S等式兩邊能否同除等式兩邊能否同除以(以(1-q)?)?11,nqSna(1)當(dāng)時(shí)11,nnaqqSq(1-)(2)當(dāng)時(shí)1-需要分類討論!需要分類討論!11,nqSna(1)當(dāng)時(shí)11 ,nnaqqSq(1- )(2)當(dāng)時(shí)1-因?yàn)橐驗(yàn)?1nnaa q1nnaa qSq-或1- 1, aq n若 已 知?jiǎng)t 選 用 公 式; 1,naq a若 已 知?jiǎng)t 選 用 公 式 .三、等比數(shù)列前三、等

5、比數(shù)列前N和公式的應(yīng)用和公式的應(yīng)用例題例題1、求下列等比數(shù)列前、求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和:項(xiàng)的和: 111(1),;248 111(1),822aqn解: 因?yàn)樗援?dāng)時(shí),818(1)1aqSq8111 ( )25522.125612191(2)27,0.243aaq191(2)27,0.243aaq例題例題1、求下列等比數(shù)列前、求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和:項(xiàng)的和: 8191127, 27.243243aaq解:(2)由可得.1又 由 q0,可 得 q=-3于 是 當(dāng) n=8時(shí) ,818(1)1aqSq8127 1 ()16403.1811 ()3 1819811aa qaaSqq或1271640

6、243.1811 ()3 38513.3q即小結(jié):解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的小結(jié):解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的條件求出條件求出 的值,再選擇好公式的值,再選擇好公式.1, , a q n若已知?jiǎng)t選用公式; 1, ,na q a若已知?jiǎng)t選用公式 .1aq和練習(xí)練習(xí)1、根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)的等比數(shù)列的前N項(xiàng)和.11(1),1,100;2aqn1(2)3,2,6;aqn113(3)2,.34naqa .18921)21 (366S1001110010050.2Sa1312()2143 .11161 ()3nnaa qSq 例題例題2、在等比數(shù)列中已知在等比數(shù)列中已知1442 , 16 ,

7、.aaqS求與1, , ,nna aq n S分析:題中已知分析:題中已知 五個(gè)量中的三個(gè),求其余五個(gè)量中的三個(gè),求其余的兩個(gè),是的兩個(gè),是“知三求二型知三求二型”的問(wèn)題的問(wèn)題.可以根據(jù)相關(guān)公式列可以根據(jù)相關(guān)公式列出兩個(gè)方程式,根據(jù)方程思想解出未知量出兩個(gè)方程式,根據(jù)方程思想解出未知量.1111nnnaa qaa qqn將它們代入公式和S341 62,21 61qqSq得 到142 ,1 6aa解 : 因 為4解這個(gè)關(guān)于q與S的方程組,得到42,3 0qS練習(xí)練習(xí)2、(1)在等比數(shù)列中已知)在等比數(shù)列中已知1332 , 26 , .aSaq求與 (2)在等比數(shù)列中已知)在等比數(shù)列中已知5151

8、 , 3 , .2qSaa求 與 15151545514511482313111.23131( )2aaaa qaSqaaaqaa(1)提示:由練習(xí)練習(xí)2、1332 , 26 , .aSaq求與 (2)在等比數(shù)列中已知)在等比數(shù)列中已知 331322331(1)2(1)26 112 aqqSqqaqaaq(1)提示:由(2)2 120qq由(1)化簡(jiǎn)得4 3.qq 解得,或232342 ( 4)32.32 318.qaqa 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),記得要分類記得要分類討論!討論!考試報(bào):第考試報(bào):第5期期2.5隨堂練習(xí)二第隨堂練習(xí)二第5、6題題練習(xí):已知等比數(shù)列練習(xí):已知等比數(shù)列 的前的前 n項(xiàng)和為項(xiàng)和為

9、 ,且,且 成等差數(shù)列,則數(shù)列成等差數(shù)列,則數(shù)列 的公比為的公比為 nanS123,2,3SSS3422,5,aSS nanS例例3:已知等比數(shù)列:已知等比數(shù)列 的前的前 n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 且公比且公比q1, 求數(shù)列求數(shù)列 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 na an練習(xí):已知等比數(shù)列練習(xí):已知等比數(shù)列 的前的前 n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 數(shù),則數(shù),則k+b= na3(, ,nnSkb nNk b 是常四、小結(jié):四、小結(jié): 2.2.等比數(shù)列前等比數(shù)列前 項(xiàng)和公式推導(dǎo)中蘊(yùn)含的項(xiàng)和公式推導(dǎo)中蘊(yùn)含的 思想方法:錯(cuò)位相減法思想方法:錯(cuò)位相減法. .n).1( ,11)1(),1( ,111qqqaaqqaqnaSnnn或1.1.等比數(shù)列求和公式等比數(shù)列求和公式以及公式的應(yīng)用;以及公式的應(yīng)用;3.利用方程的思想,解決利用方程的思想,解決“知三求二型知三求二型”的問(wèn)題的問(wèn)題.五、作業(yè)布置五、作業(yè)布置1、根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)的、根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)的等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和.nS.111(1)8,;22naqa 1(2)2.4,1.5,5;aqn 2、課本、課本p69 習(xí)題習(xí)題2.5 A組組 1

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