大學(xué)數(shù)學(xué)極限

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1、會計學(xué)1大學(xué)數(shù)學(xué)極限大學(xué)數(shù)學(xué)極限 極限概念是微積分的基本概極限概念是微積分的基本概念。也是微積分學(xué)研究的基本念。也是微積分學(xué)研究的基本工具工具. .后面將要介紹的函數(shù)的后面將要介紹的函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等重要概連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念，都是以極限為基礎(chǔ)的。念，都是以極限為基礎(chǔ)的。極限是研究函數(shù)的一種重要的方法。極限是研究函數(shù)的一種重要的方法。第1頁/共63頁極限是描述變量在某個變化過程中的變化趨勢變化趨勢。簡單說：第2頁/共63頁第3頁/共63頁第4頁/共63頁圓內(nèi)接正六邊形圓內(nèi)接正六邊形圓內(nèi)接正十二邊形圓內(nèi)接正十二邊形圓內(nèi)接下圓內(nèi)接下24邊邊形形邊長越多，正多邊形的周長越接近圓的周長

2、邊長越多，正多邊形的周長越接近圓的周長【古代極限應(yīng)用】第5頁/共63頁數(shù)列的極限數(shù)列的極限(limit of sequence)數(shù)列的定義數(shù)列的定義： 數(shù)列按照一定規(guī)律有次序排列的一串?dāng)?shù)列按照一定規(guī)律有次序排列的一串?dāng)?shù)數(shù)簡記簡記 （數(shù)列也可看作是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)（數(shù)列也可看作是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù) =f(n)n=1,2, =f(n)n=1,2, ） 稱為稱為數(shù)列數(shù)列的通項或一般項。的通項或一般項。.nx,4321nxxxxxnxnx第6頁/共63頁,1,41,31,21, 1n,) 1( , 1 , 1, 11n例如：例如：n1記作：記作：1) 1(n,21,21,21,21,21

3、432n記作：n21第7頁/共63頁 數(shù)列的極限數(shù)列的極限考察當(dāng)考察當(dāng)n時，通項時，通項xn的的變化趨勢變化趨勢。數(shù)列極限的實質(zhì)：數(shù)列極限的實質(zhì)：隨著項數(shù)n的變化,通項xn的變化趨勢變化趨勢也就是第8頁/共63頁,1,41,31,21, 1n0,) 1(,43,34,21,21nnn)(n,2,8,4,2n,) 1( ,1,1,11n趨勢不定趨勢不定)(n1)(n)(n第9頁/共63頁Axnnlim數(shù)列數(shù)列nx的極限定義的極限定義：則稱常數(shù)則稱常數(shù)A為該數(shù)列的極限。為該數(shù)列的極限。記記作作或或)(nAxn（lim來自于英文單詞“l(fā)imit”極限） 給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列 如果當(dāng)項數(shù)如果當(dāng)項數(shù)

4、n無限增大無限增大時，時，xn無限趨近于無限趨近于 某個固定的常數(shù)某個固定的常數(shù)Anx第10頁/共63頁,21,21,21,21,21432n常數(shù)常數(shù) 0 稱為此數(shù)列的極限稱為此數(shù)列的極限)(n021limnn記作：記作：n21例：例：0第11頁/共63頁nnx2)(nnn2lim,2,8,4,2n極限不存在例：例：第12頁/共63頁,1,41,31,21n,) 1(,43,34,21,21nnn收收 斂斂01limnn1) 1(lim1nnnn第13頁/共63頁,2,8,4,2n,) 1( ,1,1,11n發(fā)發(fā) 散散nn2lim不存在1) 1(limnn第14頁/共63頁 如果一個數(shù)列的極限

5、存在如果一個數(shù)列的極限存在, ,則稱該則稱該數(shù)列是數(shù)列是收斂收斂(converge)(converge)； 如果一個數(shù)列的極限不存在如果一個數(shù)列的極限不存在, ,則稱該則稱該數(shù)列是數(shù)列是發(fā)散發(fā)散(diverge)(diverge)。第15頁/共63頁1limnnn1課堂練習(xí)：判別下列數(shù)列是否收斂54,43,32,21)(n1nn通項1數(shù)列收斂第16頁/共63頁函數(shù)函數(shù) 值值 隨著自變量隨著自變量x的變化而變化的變化而變化)(xf函數(shù)的極限函數(shù)的極限(limit of function) 研究函數(shù)的極限研究函數(shù)的極限,就是研究當(dāng)自變量就是研究當(dāng)自變量按照某種方式變化時所對應(yīng)的函數(shù)值按照某種方式變

6、化時所對應(yīng)的函數(shù)值的的變化趨勢。變化趨勢。第17頁/共63頁二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限限, )(xfy 函數(shù)對一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限x0 xx )(xf變化趨勢變化趨勢?)(xf變化趨勢變化趨勢?第18頁/共63頁自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限（變化趨勢）（變化趨勢）x1、時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限（變化趨勢）（變化趨勢）x2、時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限（變化趨勢）（變化趨勢）x3、第19頁/共63頁xy1, 5, 4, 3, 2x,51,4

7、1,31,21y時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限x例：oxyy=f(x) 0 xx0第20頁/共63頁xy1, 5, 4, 3, 2x,51,41,31,21y時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限xox-yxy1(X0)y=f(x) 0 x0第21頁/共63頁xy1yox+-xy=f(x) 0 xy1時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限第22頁/共63頁定義定義2.2：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，如果當(dāng)，如果當(dāng)X無無限增大時，函數(shù)無限趨近于某個固限增大時，函數(shù)無限趨近于某個固定的常數(shù)定的常數(shù) A,則稱當(dāng)則稱當(dāng)X趨于正無窮時趨于正無窮時， f(x) 以以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x

8、時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限.,時的極限類似可定義xx記為記為f f( (x x) )y y 第23頁/共63頁定義定義2.2：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，如果當(dāng)，如果當(dāng)X0,而而|X|X|無限增大時，函數(shù)無限趨近無限增大時，函數(shù)無限趨近于某個固定的常數(shù)于某個固定的常數(shù) A,則稱當(dāng)則稱當(dāng)X趨于趨于負無窮時，負無窮時， f(x) 以以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限記為記為f f( (x x) )y y 第24頁/共63頁定義定義2.2:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ，如果自變量，如果自變量X可取正值也可取負值，可取正值也可取負值，X的絕對值的絕對值無限增大時

9、，函數(shù)無限趨近于某個無限增大時，函數(shù)無限趨近于某個固定的常數(shù)固定的常數(shù) A,則稱當(dāng)則稱當(dāng)X趨于無窮時趨于無窮時， f(x) 以以A為極限，為極限，)()()(limxAxfAxfx或x時時,函數(shù)函數(shù)f(x)的極限的極限記為記為f f( (x x) )y y 第25頁/共63頁01limxx01limxx01limxx第26頁/共63頁xxfy2)(xx2limxx2limxx2lim不存在-+xy20第27頁/共63頁正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xxsinlim不存在第28頁/共63頁0 xx 2)(xxfy例7 討論當(dāng) 時，函數(shù)二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極二、自變量趨于有限值時

10、函數(shù)的極限限2x的的變化趨勢變化趨勢f(x) 變化趨勢變化趨勢?0 x為有限值第29頁/共63頁2)(xxfyx 1.9999991.99999999922.0000000012.0000.1y 3.9999960000013.9999999960000000014.0000000040000000014.00004000011x2 , f(x) 4（22）2xy x第30頁/共63頁11)(2xxxfyx0.90.990.9990.999911.00011.0011.011.1y1.91.991.9991.9999不存在2.00012.0012.012.1例8x1 , f(x) 2討論函數(shù)x

11、1函數(shù)值的變化趨勢2xoy1第31頁/共63頁定義定義2.3：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點在點x0的的鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)(點點x0 可可以除外以除外)有定義有定義，如果當(dāng)自變量，如果當(dāng)自變量x無限趨近于無限趨近于x0(但但xx0)時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)無限趨近于某個固定無限趨近于某個固定常數(shù)常數(shù)A,則稱當(dāng)則稱當(dāng)x趨于趨于x0時，函數(shù)以時，函數(shù)以A為極限，為極限，)()()(lim00 xxAxfAxfxx或記記作作函數(shù)極限定義：第32頁/共63頁4lim22xx211lim21xxx上例可記作第33頁/共63頁函數(shù)極限定義的注意點1、鄰域內(nèi)有定義（、鄰域內(nèi)有定義（xx0）xx0lim:0 xx 不

12、存在2、 x無限趨近于無限趨近于x00 xx 0 xx 0 xx 0 xx 211lim21xxx第34頁/共63頁x1yo1xx0lim 1, 1)(xxxf例：0第35頁/共63頁xy1yox圖象xx1lim0例（課后思考：函數(shù)極限存在的充分必要條件）不存在X從右測接近于0，y+X從左測接近于0，y-第36頁/共63頁xxxcoslim0 xxxsinlim0 xxx0lim 根據(jù)定義可以證明：以下的極限均成立可以證明：以下的極限均成立Cxx0limC0 x0cosx0sin x第37頁/共63頁-、數(shù)列、數(shù)列 的極限：的極限：給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列 如果當(dāng)項數(shù)如果當(dāng)項數(shù)n無限增大時，無

13、限增大時，xn無限趨近于無限趨近于 某個固定的常數(shù)某個固定的常數(shù)A則稱常數(shù)則稱常數(shù)A為該數(shù)列的極限。為該數(shù)列的極限。Axnnlim)(nAxn-、數(shù)列、數(shù)列 的極限：的極限：nx記作記作或或給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列 如果當(dāng)項數(shù)如果當(dāng)項數(shù)n無限增大時，無限增大時，xn無限趨近于無限趨近于 某個固定的常數(shù)某個固定的常數(shù)A則稱常數(shù)則稱常數(shù)A為該數(shù)列的極限。為該數(shù)列的極限。nx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點在點x0的鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)(點點x0 可以除外可以除外)有定義有定義，如果，如果當(dāng)自變量當(dāng)自變量x無限趨近于無限趨近于x0(但但xx0)時時，函數(shù)，函數(shù)f(x)無限趨近于某個固定常數(shù)無限趨近于某個固定

14、常數(shù)A,則稱當(dāng)則稱當(dāng)x趨于趨于x0時，函數(shù)以時，函數(shù)以A為極限。為極限。二、函數(shù)二、函數(shù) y=f(x)的極限：的極限：)()()(lim00 xxAxfAxfxx或記作記作小結(jié)第38頁/共63頁思考練習(xí)題)0(1)0)(xxxxfxxarctanlimxxarctanlim2、已知函數(shù)討論)(lim0 xfx是否存在？1、求下列極限的值第39頁/共63頁第40頁/共63頁左極限左極限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0 x如果當(dāng)如果當(dāng) 從從0 x的的左側(cè)無限趨近左側(cè)無限趨近0 x時時,記著記著,0 xx函數(shù)函數(shù)f(x)無限趨近于一個確定的常無限趨近于一個確定的常數(shù)數(shù)A, 則稱則稱A為函數(shù)

15、為函數(shù)f(x)當(dāng)當(dāng)0 xx 時的左極限。記作時的左極限。記作第41頁/共63頁類似可定義類似可定義右極限右極限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0函數(shù)的左極限和右極限函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。統(tǒng)稱為單側(cè)極限。第42頁/共63頁x1yo1,010,)(xxxxf)(lim)00(0 xffx0lim0 xx第43頁/共63頁對數(shù)函對數(shù)函數(shù)數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( a第44頁/共63頁xxlnlim0第45頁/共63頁例如：例如：xxxxxxxfy2, 1220,sin01,)(2),(lim0 xfx

16、求0lim)(lim200 xxfxx0sinlim)(lim00 xxfxx)(lim0 xfx第46頁/共63頁定理定理1.11.1：Axfxx)(lim0當(dāng)當(dāng) 時時, ,函數(shù)函數(shù) 極限存在的極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，充要條件是左、右極限存在且相等，即即)(xf0 xx Axfxfxxxx)(lim)(lim00第47頁/共63頁0,10,00, 1)(xxxxxxf討論討論 0 x時時)(xf的極限是否存在的極限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 因為因為)(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1第48頁/共63頁)(lim)00(0 xffx) 1(li

17、m0 xx1顯然顯然, )00()00(ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .第49頁/共63頁xyo11 xy11 xy0,10,00, 1)(xxxxxxf第50頁/共63頁例例7 7 問問a a為何值時為何值時, ,所給函數(shù)所給函數(shù)x x=2=2處極處極限存在。限存在。)2(2)2(2)2(10)(2xaxxaxxxf解解：左極限左極限2010lim)(lim)02(22xxffxx右極限右極限aaxxffxx24)2lim)(lim)02(222（第51頁/共63頁欲函數(shù)在欲函數(shù)在x x=2=2處極限存在，必須左極處極限存在，必須左極限限等于右極限，等于右極限，即即a=a=8

18、 8第52頁/共63頁思考：思考：1)1)研究函數(shù)極限時研究函數(shù)極限時, ,是否要考慮是否要考慮f f( (x x) )在在x x= =x x0 0時的性態(tài)？為什么？時的性態(tài)？為什么？2)2)若若f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)都存在都存在, ,當(dāng)當(dāng)x x趨趨于于x x0 0時時, ,f f( (x x) )的極限存在嗎？的極限存在嗎？3)3)如何利用如何利用f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0 0-0)-0)來判斷來判斷當(dāng)當(dāng)x x趨于趨于x x0 0 時時, ,f f( (x x) )的極限不存在？的極限不存在？第5

19、3頁/共63頁4)4)若極限若極限)(lim0 xfxx是否一定有是否一定有)()(lim00 xfxfxx？第54頁/共63頁1coslim0 xx0coslim2xx2arctanlimxx2arctanlimxx1sinlim2xx0sinlim0 xx0limxxe01limxx常用的極限結(jié)果：常用的極限結(jié)果：)(lim0為常數(shù)CCCxx第55頁/共63頁xxelim2lim xxxxlnlimxxlnlim0 xx1lim0 xxcoslimxxsinlim極限不存在的有：極限不存在的有：第56頁/共63頁練習(xí)：練習(xí)：設(shè)設(shè))1(12)11(1)1()(2xxxxxxxf求：求：)(l

20、im1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx)(lim1xfx第57頁/共63頁0) 1(lim)(lim11xxfxx不存在)(lim1xfx1) 12(lim)(lim11xxfxx1) 1(lim)(lim2211xxfxx第58頁/共63頁作業(yè)作業(yè)NO.13:(3) 分析分析 22)3(2xxy的復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu).解解:由由2232xxvvuyu復(fù)合而成的復(fù)合而成的.第59頁/共63頁作業(yè)作業(yè)NO.13:(4) 分析分析 3)5cos3tan(1 3xy的復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu).解解:由由xttvvuuy5cos3tan1323復(fù)合而成的復(fù)合而成的.xhttvvuuy5cosh3tan133第60頁/共63頁NO14. 不存在xxxfxx00lim)(lim解：解：左極限左極限11limlim)(lim000 xxxxxxf右極限右極限11limlim)(lim000 xxxxxxf)(lim)(lim00 xfxfxx不存在xxx0lim第61頁/共63頁0lim)(lim)00(00 xxffxx22lim)(lim)01 (11xxxff21,210,0,1)(xxxxxxf解解: xxffxx1lim)(lim)00(001lim)(lim)01 (11xxffxx第62頁/共63頁