2021中考數(shù)學(xué) 第24講 圖形的平移、對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)

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1、 第24講 圖形的平移、對(duì)稱與旋轉(zhuǎn) 考點(diǎn)1 圖形的平移 定義 在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)① 移動(dòng)一定的② ，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移. 性質(zhì) 1.對(duì)應(yīng)線段③ (或共線)且相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線④ 且平行(或共線)； 2.平移前后的圖形形狀和大小都沒有發(fā)生變化(即兩個(gè)圖形⑤ ). 考點(diǎn)2 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形 軸對(duì)稱 軸對(duì)稱圖形 定義 把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果能夠與另一個(gè)圖形⑥ ，那么就說這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是⑦ ，兩

2、個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn). 如果一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分能夠完全⑧ ，那么就稱這樣的圖形為軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的⑨ . 區(qū)別 軸對(duì)稱是指兩個(gè)全等圖形之間的相互位置關(guān)系. 軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形. 軸對(duì)稱的性質(zhì) 1.對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸⑩ ； 2.對(duì)應(yīng)線段? ； 3.對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線段的交點(diǎn)在? 上； 4.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形? . 考點(diǎn)3 圖形的旋轉(zhuǎn) 定義 在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形運(yùn)動(dòng)稱

3、為旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角. 性質(zhì) 1.對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離? ； 2.任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于? ； 3.旋轉(zhuǎn)前后的圖形? . 【易錯(cuò)提示】在旋轉(zhuǎn)過程中，相等的角有對(duì)應(yīng)角和旋轉(zhuǎn)角，不要把兩者混淆. 考點(diǎn)4 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形 中心對(duì)稱 中心對(duì)稱圖形 定義 把一個(gè)圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 后，如果與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做其對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)前后重合的點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn). 把一個(gè)圖形繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 后，能與其自身重合，那

4、么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做 . 區(qū)別 中心對(duì)稱是指兩個(gè)全等圖形之間的相互位置關(guān)系. 中心對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形. 中心對(duì)稱的性質(zhì) 1.中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過 ，而且被對(duì)稱中心 ； 2.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形 . 圖形的軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)問題，應(yīng)充分運(yùn)用其性質(zhì)解題，即運(yùn)用圖形的“不變性”，在旋轉(zhuǎn)中角的大小不變，線段的長(zhǎng)短不變. 命題點(diǎn)1 軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的識(shí)別 例1 (2014·德州)下列銀行標(biāo)志中，既不是中心對(duì)稱圖形也不是軸對(duì)稱圖形的是(

5、 ) 方法歸納：解答這類題的關(guān)鍵是明確這兩種對(duì)稱圖形的特征與區(qū)別：軸對(duì)稱圖形至少能找到一條對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線為對(duì)稱軸；中心對(duì)稱圖形有對(duì)稱中心，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心. 1.(2014·成都)下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是( ) 2.(2013·黃岡)隨著人民生活水平的提高，我國(guó)擁有汽車的居民家庭也越來越多，下列汽車標(biāo)志中，是中心對(duì)稱圖形的是( ) 3.(2013·呼和浩特)觀察下列圖形，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.

6、4個(gè) 4.(2014·巴中)下列汽車標(biāo)志中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是( ) 命題點(diǎn)2 圖形變換的有關(guān)計(jì)算 例2 (2014·遂寧)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C,使得點(diǎn)A′恰好落在AB上，則旋轉(zhuǎn)角度為( ) A.30° B.60° C.90° D.150° 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特征可知CA=CA′，從而得到∠CAA′=∠CA′A，由已知條件∠ACB=90°,∠ABC=30°可求得∠CAA′=60°，由此可求得旋轉(zhuǎn)角∠AC

7、A′的大小. 方法歸納：圖形變換的有關(guān)計(jì)算問題關(guān)鍵是運(yùn)用圖形變換主要特征，如旋轉(zhuǎn)前、后的兩個(gè)三角形全等，利用全等的性質(zhì)就可以求出線段的長(zhǎng)或角的度數(shù). 1.(2013·玉溪)如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在方格紙的格點(diǎn)上，若△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△COD的位置，則旋轉(zhuǎn)的角度為( ) A.30° B.45° C.90° D.135° 2.(2015·泉州模擬)如圖，將等邊△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1.若BC＝3，S△PB1C=，則BB1＝ . 3.(2013

8、·青海)如圖，把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，點(diǎn)C、D分別落在C′、D′的位置上，EC′交AD于G，已知∠EFG=56°，那么∠BEG= . 命題點(diǎn)3 圖形變換的作圖 例3 (2014·巴中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2，4)，B(-2,1)，C(-5,2). (1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1； (2)將△A1B1C1的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)乘以-2，得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A2、B2、C2，請(qǐng)畫出△A2B2C2； (3)求△A1B1C1與△A2B2C2的面積比，即S△A1B1C1∶S△A2B2C2=

9、 (不寫解答過程，直接寫出結(jié)果). 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，作出每一個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接即可； (2)根據(jù)要求寫出A2、B2、C2的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中找到點(diǎn)A2、B2、C2，并依次連接即可； (3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可. 【解答】 方法歸納：旋轉(zhuǎn)變換作圖題的關(guān)鍵是根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、位似的性質(zhì)，抓住對(duì)稱軸、平移的方向、平移的距離、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角、位似比等基本要素，才能正確繪制出相應(yīng)圖形的變換圖形. 1.(2014·聊城)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，得到△A1B1C1，則A1，B

10、1，C1的坐標(biāo)分別是( ) A.A1(-4，-6)，B1(-3，-3)，C1(-5，-1) B.A1(-6，-4)，B1(-3，-3)，C1(-5，-1) C.A1(-4，-6)，B1(-3，-3)，C1(-1，-5) D.A1(-6，-4)，B1(-3，-3)，C1(-1，-5) 2.(2013·廣州)在6×6方格中，將圖1中的圖形N平移后位置如圖2所示，則圖形N的平移方法中，正確的是( ) A.向下移動(dòng)1格 B.向上移動(dòng)1格 C.向上移動(dòng)2格 D.向下移動(dòng)2格 3.把一張正方形紙片如圖①

11、，圖②對(duì)折兩次后，再如圖③挖去一個(gè)三角形小孔，則展開后圖形是( ) 4.(2014·麗水)如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上.將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′. (1)在正方形網(wǎng)格中，畫出△AB′C′； (2)計(jì)算線段AB在變換到AB′的過程中掃過的區(qū)域的面積. 1.(2014·泰安)下列四個(gè)圖形： 其中是軸對(duì)稱圖形，且對(duì)稱軸的條數(shù)為2的圖形的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3

12、 D.4 2.(2014·日照)下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是( ) 3.(2014·南京)下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是( ) 4.(2013·南昌)如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，則∠BAC的度數(shù)為( ) A.60° B.75° C.85° D.90° 5.(2013·晉江)如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，BE=CF，連接CE、DF.將△B

13、CE繞著正方形的中心O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△CDF的位置，則旋轉(zhuǎn)角是( ) A.45° B.60° C.90° D.120° 6.(2014·濱州)如圖，如果△ABC將其頂點(diǎn)A先向下平移3格，在向左平移1格到達(dá)A′點(diǎn)，連接A′B，那么線段A′B與線段AC的關(guān)系是( ) A.垂直 B.相等 C.平分 D.垂直且平分 7.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將△ABE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長(zhǎng)為

14、( ) A.3 B.2 C.2 D.2 8.(2014·南充)如圖，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，將矩形ABCD按如圖所示的方式在直線l上進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B在兩次旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)是( ) A.π B.13π C.25π D.25 9.(2013·棗莊)在方格紙中，選擇標(biāo)有序號(hào)①②③④中的一個(gè)小正方形涂黑，與圖中陰影部分構(gòu)成中心對(duì)稱圖形，該小正方形的序號(hào)是 . 10.如圖

15、，△DEF是由△ABC繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，則這點(diǎn)的坐標(biāo)是 . 11.(2013·廣州)如圖，Rt△ABC的斜邊AB=16,Rt△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到Rt△A′B′C′，則Rt△A′B′C′的斜邊A′B′上的中線C′D的長(zhǎng)度為 . 12.(2014·巴中)如圖，已知直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO1B1，則點(diǎn)B1的坐標(biāo)是 . 13.(2013·涼山)如圖，△ABO與△CDO關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AC上，且AF=CE.求證：FD=BE.

16、 14.(2013·福州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，等邊三角形AOC經(jīng)過平移或軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)都可以得到△OBD. (1)△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是 個(gè)單位長(zhǎng)度；△AOC與△BOD關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是 ；△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DOB，則旋轉(zhuǎn)角度可以是 度； (2)連接AD，交OC于點(diǎn)E，求∠AEO的度數(shù). 15.(2014·涼山)如圖所示，正方形網(wǎng)格中，△ABC為格點(diǎn)三角形(即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上). (

17、1)把△ABC沿BA方向平移后，點(diǎn)A移到點(diǎn)A1，在網(wǎng)格中畫出平移后得到的△A1B1C1； (2)把△A1B1C1繞點(diǎn)A1按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B2C2； (3)如果網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，求點(diǎn)B經(jīng)過(1)、(2)變換的路徑總長(zhǎng). 16.(2014·泰安)將兩個(gè)斜邊長(zhǎng)相等的三角形紙片如圖1放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°，把△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D′CE′.如圖2，連接D′B，則∠E′D′B的度數(shù)為( ) A.10° B.20°

18、 C.7.5° D.15° 17.如圖，A、B的坐標(biāo)分別為(1，0)、(0，2)，若將線段AB平移至A1B1，A1、B1的坐標(biāo)分別為(2，a)、(b，3)，則a+b＝ . 18.如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立. (1)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0°<θ<90°)時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由. (2)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G. ①求

19、證：BD⊥CF； ②當(dāng)AB=4，AD=時(shí)，求線段BG的長(zhǎng). 參考答案 考點(diǎn)解讀 ①方向 ②距離 ③平行 ④相等 ⑤全等 ⑥重合 ⑦對(duì)稱軸 ⑧重合 ⑨對(duì)稱軸 ⑩垂直平分 ?相等 ?對(duì)稱軸 ?全等 ?相等 ?旋轉(zhuǎn)角 ?全等 180° 180° 對(duì)稱中心 對(duì)稱中心 平分 全等 各個(gè)擊破 例1 D 題組訓(xùn)練 1.A 2.A 3.C 4.C 例2 B 題組訓(xùn)練 1.C 2.1 3.68° 例3 (1)(2)如圖所示. (3)1∶4. 題組訓(xùn)練 1.A 2.D 3.C

20、 4.(1)如圖. (2)由圖可知，線段AB在變換到AB′的過程中掃過區(qū)域的面積就是扇形B′AB的面積，其中∠B′AB=90°，AB==5， ∴線段AB在變換到AB′的過程中掃過的區(qū)域的面積為：π×52=π. 整合集訓(xùn) 1.C 2.B 3.C 4.C 5.C 6.D 7.B 8.A 9.② 10.(0,1) 11.8 12.(7，3) 13.證明：∵△ABO與△CDO關(guān)于O點(diǎn)中心對(duì)稱， ∴△ABO≌△CDO.∴AO=CO，BO=DO. 又∵AF=CE，∴AO-AF=CO-CE，即OF=OE. ∵∠FOD=∠EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS).

21、∴FD=BE. 14.(1)2；y軸；120. (2)連接CD. ∵△AOC≌△OBD，∴AC=OD. ∵△AOC，△OBD都是等邊三角形， ∴∠CAO=∠DOB=60°. ∴AC∥OD.∴四邊形AODC是平行四邊形. 又∵AC=OA，∴四邊形AODC是菱形. ∴AD⊥OC.∴∠AEO=90°. 15.(1)連接AA1，然后從C點(diǎn)作AA1的平行線且A1C1=AC.同理找到B1點(diǎn). (2)如圖. (3)點(diǎn)B的路徑包括線段BB1和長(zhǎng)， BB1==3， l==π， ∴路徑總長(zhǎng)為3+π. 16.D 17.2 18.(1)BD=CF成立. 理由：∵△ABC是等

22、腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°. ∵∠BAD=∠BAC-∠DAC， ∠CAF=∠DAF-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， ∴△BAD≌△CAF(SAS). ∴BD=CF. (2)①證明：設(shè)BG交AC于點(diǎn)M. ∵△BAD≌△CAF(已證)，∴∠ABM=∠GCM. ∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG. ∴∠BGC=∠BAC=90°.∴BD⊥CF. ②過點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N. ∵在正方形ADEF中，AD=， ∴AN=FN=AE=1. ∵在等腰直角△ABC中，AB=4， ∴CN=AC-AN=3，BC==4. ∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==. ∴在Rt△ABM中， tan∠ABM==tan∠FCN=. ∴AM=×AB=. ∴CM=AC-AM=4-=， BM==. ∵△BMA∽△CMG，∴ =. ∴=.∴CG=. ∴在Rt△BGC中，BG==. 12