2022年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析(I)

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1、2022年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析(I) 　 一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．若集合A={1，2，3，4，5}，集合B={x|x（4﹣x）＜0}，則圖中陰影部分表示（　　） A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{4，5} D．{1，4} 2．已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a3?a7=，則cosa5=（　　） A． B． C．± D．± 3．設(shè)i為虛數(shù)單位且z的共軛復(fù)數(shù)是，若z+=4，z=8，則z的虛部為（　　） A．±2 B．±2i C．2 D．﹣2 4．現(xiàn)有4種不同的顏色

2、為公民基本道德規(guī)范四個(gè)主題詞（如圖）涂色，要求相鄰的詞語(yǔ)涂色不同，則不同的涂法種數(shù)為（　?。? A．27 B．54 C．108 D．144 5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x值為（　?。? A．4 B．5 C．6 D．7 6．在△ABC中AC=6，AC的垂直平分線(xiàn)交AB邊所在直線(xiàn)于N點(diǎn)，則?的（　?。? A．﹣6 B．﹣15 C．﹣9 D．﹣18 7．某幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的各側(cè)面中最大的側(cè)面的面積為（　?。? A．4 B．8 C．2 D．2 8．已知圓C：x2+y2=1，在線(xiàn)段AB：x﹣y+2=0（﹣2≤x≤3）上任取一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作圓C切線(xiàn)，求“

3、點(diǎn)M與切點(diǎn)的距離不大于3”的概率P為（　?。? A． B． C． D． 9．如圖，將繪有函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分圖象的紙片沿x軸折成直二面角，若AB之間的空間距離為，則f（﹣1）=（　?。? A．﹣2 B．2 C． D． 10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°則此球的表面積等于（　?。? A． B．20π C．8π D． 11．已知雙曲線(xiàn)右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥FB，設(shè)∠ABF=θ且，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（　?。? A． B． C． D．（

4、2，+∞） 12．已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x2+bx存在極小值，且對(duì)于b的所有可能取值f（x）的極小值恒大于0，則a的最小值為（　　） A．﹣e3 B．﹣e2 C．﹣e D．﹣ 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫(xiě)在答題卡相對(duì)應(yīng)位置上． 13．若的展開(kāi)式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n=　　． 14．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為　?。? 15．已知函數(shù)f（x）=，存在x1＜x2＜x3，f（x1）=f（x2）=f（x3），則的最大值為　　． 16．在△ABC中，AB=AC，E為AC邊上的點(diǎn)，且AC=3AE，BE=2，則△ABC的面積的最大值為　?。?/p>

5、 　 三、解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)?n∈N*，Sn=（n+1）an﹣n（n+1）． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn． 18．某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個(gè)班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成頻率分布直方圖（如右圖）．已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同，甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[2，4]的有8人． （1）圖中a的值為　??； （2）用各組時(shí)間的組中值代替各組平均值，估算乙班學(xué)生每天學(xué)習(xí)的平均

6、時(shí)長(zhǎng)； （3）從甲、乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任取4人參加測(cè)試，設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 19．如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=4，在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD． （1）求證：面FEB⊥面CEB； （2）若二面角D﹣AF﹣C的大小為，求幾何體ABCDEF的體積． 20．已知圓M：（x﹣）2+y2=r2（r＞0）．若橢圓C： +=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為圓M的圓心，離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若存在直線(xiàn)l：y=kx，使得直線(xiàn)l與橢圓C分

7、別交于A，B兩點(diǎn)，與圓M分別交于G，H兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線(xiàn)段AB上，且|AG|=|BH|，求圓M半徑r的取值范圍． 21．已知函數(shù)f（x）=ex﹣a（x﹣1）（a∈R）． （1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）若m，n，p滿(mǎn)足|m﹣p|＜|n﹣p|恒成立，則稱(chēng)m比n更靠近p．在函數(shù)f（x）有極值的前提下，當(dāng)x≥1時(shí)，比ex﹣1+a更靠近lnx，試求a的取值范圍． 　 請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)． 22．如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O1的切線(xiàn)交⊙O2于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作兩圓的割線(xiàn)，分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)D

8、、E，DE與AC相交于點(diǎn)P． （1）求證：AD∥EC； （2）若AD是⊙O2的切線(xiàn)，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長(zhǎng)． 23．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)且0≤φ≤π）． （1）求曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)C2的普通方程； （2）當(dāng)曲線(xiàn)C1和曲線(xiàn)C2有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 24．已知函數(shù)f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且關(guān)于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）對(duì)?x∈R恒成立． （1）求實(shí)數(shù)a的最大值m； （

9、2）若正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值． 　 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．若集合A={1，2，3，4，5}，集合B={x|x（4﹣x）＜0}，則圖中陰影部分表示（　?。? A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{4，5} D．{1，4} 【考點(diǎn)】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算． 【分析】化簡(jiǎn)B={x|x（4﹣x）＜0}={x＜0或x＞4}，而圖中陰影部分表示的集合是A∩?RB，從而解得． 【解答】解：由圖中陰影部分表示的集合

10、是A∩?RB ∵B={x|x（4﹣x）＜0}={x＜0或x＞4}， ∴?RB={x|0≤x≤4}， ∵集合A={1，2，3，4，5}， ∴A∩?RB={1，2，3，4} 故選：A 　 2．已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a3?a7=，則cosa5=（　　） A． B． C．± D．± 【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值． 【分析】直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知求得．則答案可求． 【解答】解：在等比數(shù)列{an}中， 由a3?a7=，得，∴． ∴cosa5=． 故選：C． 　 3．設(shè)i為虛數(shù)單位且z的共軛復(fù)數(shù)是，若z+=4，z=8，則z的虛部為（　?。? A．

11、±2 B．±2i C．2 D．﹣2 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算． 【分析】設(shè)z=a+bi，a、b∈R；利用z的共軛復(fù)數(shù)是=a﹣bi，列出方程組求出a、b的值即可． 【解答】解：設(shè)z=a+bi，a、b∈R； ∴z的共軛復(fù)數(shù)是=a﹣bi， 又z+=2a=4，∴a=2； z=a2+b2=4+b2=8，∴b=±2； ∴z的虛部為±2． 故選：A． 　 4．現(xiàn)有4種不同的顏色為公民基本道德規(guī)范四個(gè)主題詞（如圖）涂色，要求相鄰的詞語(yǔ)涂色不同，則不同的涂法種數(shù)為（　?。? A．27 B．54 C．108 D．144 【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用． 【分析】首先給最左邊一塊涂色，有4

12、種結(jié)果，再給左邊第二塊涂色有3種結(jié)果，以此類(lèi)推第三塊也有3種結(jié)果，第四塊也有3種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果． 【解答】解：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題， 首先給最左邊一塊涂色，有4種結(jié)果， 再給左邊第二塊涂色有3種結(jié)果， 以此類(lèi)推第三塊有3種結(jié)果，第四塊有3種結(jié)果， ∴根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有4×3×3×3=108． 故選C． 　 5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x值為（　?。? A．4 B．5 C．6 D．7 【考點(diǎn)】程序框圖． 【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的x，y的值，當(dāng)x=6，y=64時(shí)，滿(mǎn)足條件y=64＞10×6+3，退出循環(huán)，輸出x的值為6

13、． 【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有 a=2，x=3，y=8 不滿(mǎn)足條件y＞10x+3，x=4，y=16 不滿(mǎn)足條件y＞10x+3，x=5，y=32 不滿(mǎn)足條件y＞10x+3，x=6，y=64 滿(mǎn)足條件y=64＞10×6+3，退出循環(huán)，輸出x的值為6． 故選：C． 　 6．在△ABC中AC=6，AC的垂直平分線(xiàn)交AB邊所在直線(xiàn)于N點(diǎn)，則?的（　?。? A．﹣6 B．﹣15 C．﹣9 D．﹣18 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【分析】先根據(jù)條件畫(huà)出圖形，并設(shè)AC的垂直平分線(xiàn)交AC于M，從而得出，這樣進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出的值． 【解答】解：如圖，設(shè)AC垂直平分線(xiàn)交AC于M

14、，則： = = =﹣18+0 =﹣18． 故選D． 　 7．某幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的各側(cè)面中最大的側(cè)面的面積為（　?。? A．4 B．8 C．2 D．2 【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積． 【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面為菱形，且側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出面積最大的側(cè)面面積． 【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得； 該幾何體是如圖所示四棱錐， 且四棱錐的底面是菱形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD， 則該幾何體的各側(cè)面中最大的側(cè)面是△PAB與△PAD， 其面積相等； △PAB中，PA==2，AB=2，PB==2；

15、PA2=AB2+PB2，∴△PAB為直角三角形； ∴S△PAB=×PB×AB=×2×2=2． 故選：D． 　 8．已知圓C：x2+y2=1，在線(xiàn)段AB：x﹣y+2=0（﹣2≤x≤3）上任取一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作圓C切線(xiàn)，求“點(diǎn)M與切點(diǎn)的距離不大于3”的概率P為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】幾何概型． 【分析】根據(jù)直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，求出OM的關(guān)系，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：設(shè)M（x，x+2），設(shè)切點(diǎn)為D， 若MD≤3， 則MO2=MD2+OD2≤9+1=10， 即x2+（x+2）2≤10， 即x2+2x﹣3≤0， 得﹣3≤x≤1， ∵﹣

16、2≤x≤3，∴﹣2≤x≤1， 則對(duì)應(yīng)的概率P==， 故選：B 　 9．如圖，將繪有函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分圖象的紙片沿x軸折成直二面角，若AB之間的空間距離為，則f（﹣1）=（　?。? A．﹣2 B．2 C． D． 【考點(diǎn)】點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算． 【分析】根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），結(jié)合φ的范圍求得φ的值，再根據(jù)A、B兩點(diǎn)之間的距離為=，求得T的值，可得ω的值，從而求得函數(shù)的解析式，從而求得f（﹣1）的值． 【解答】解：由函數(shù)的圖象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根據(jù)＜φ＜π，可得φ=． 再根據(jù)A、B兩點(diǎn)之間的距離為=，求得T=6，

17、 再根據(jù)T==6，求得ω=． ∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=2， 故選：B． 　 10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°則此球的表面積等于（　?。? A． B．20π C．8π D． 【考點(diǎn)】球的體積和表面積． 【分析】通過(guò)已知條件求出底面外接圓的半徑，設(shè)此圓圓心為O'，球心為O，在RT△OBO'中，求出球的半徑，然后求出球的表面積． 【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°， 可得BC=2 由正弦定理，可得△ABC外接圓半徑r=2， 設(shè)此圓圓心為O'，球心為O

18、，在RT△OBO'中， 易得球半徑R=， 故此球的表面積為4πR2=20π 故選：B． 　 11．已知雙曲線(xiàn)右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥FB，設(shè)∠ABF=θ且，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（　　） A． B． C． D．（2，+∞） 【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】作出對(duì)應(yīng)的圖象，設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′．則四邊形AFBF′為矩形．因此|AB=|FF′|=2c．|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．可得e===，求出即可． 【解答】解：如圖所示，設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′． ∵AF⊥FB

19、，∴四邊形AFBF′為矩形． 因此|AB=|FF′|=2c． 則|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ． ∵|AF′|﹣|AF|=2a． ∴2ccosθ﹣2csinθ=2a． 即c（cosθ﹣sinθ）=a， 則e===， ∵， ∴∈（，）， 則cos（）∈（0，）， cos（）∈（0，）， 則=， 即e＞， 故雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是， 故選：C 　 12．已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x2+bx存在極小值，且對(duì)于b的所有可能取值f（x）的極小值恒大于0，則a的最小值為（　?。? A．﹣e3 B．﹣e2 C．﹣e D．﹣ 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

20、極值． 【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)存在極小值等價(jià)為f′（x）=﹣x+b=0有解，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與判別式△之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可． 【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）， 則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=﹣x+b， 若函數(shù)f（x）=alnx﹣x2+bx存在極小值， 則f′（x）=﹣x+b=0有解， 即﹣x2+bx+a=0有兩個(gè)不等的正根， 則，得b＞2，（a＜0）， 由f′（x）=0得x1=，x2=， 分析易得f（x）的極小值點(diǎn)為x1， ∵b＞2，（a＜0）， ∴x1==∈（0，）， 則f（x）極小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=al

21、nx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a， 設(shè)g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，）， f（x）的極小值恒大于0等價(jià)為g（x）恒大于0， ∵g′（x）=+x=＜0， ∴g（x）在（0，）上單調(diào)遞減， 故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0， 得ln≤，即﹣a≤e3，則a≥﹣e3， 故a的最小值為是﹣e3， 故選：A 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫(xiě)在答題卡相對(duì)應(yīng)位置上． 13．若的展開(kāi)式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n=　5?。? 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 【分析】由于的展開(kāi)式中第四項(xiàng)為 T4=?? 是常數(shù)項(xiàng)，故=0，由此求得 n的值．

22、 【解答】解：由于的展開(kāi)式中第四項(xiàng)為 T4=??? =?? 是常數(shù)項(xiàng)，故=0，n=5， 故答案為 5． 　 14．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為　2?。? 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃． 【分析】由=22x﹣y，設(shè)m=2x﹣y，求m的最小值即可得到結(jié)論． 【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖， ∵=22x﹣y， ∴m=2x﹣y， 要求的最小值，即求m的最小值即可， 由m=2x﹣y，得y=2x﹣m， 平移直線(xiàn)y=2x﹣m，由平移可知當(dāng)直線(xiàn)y=2x﹣m， 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)y=2x﹣m的截距最大，此時(shí)m取得最小值， 由，解得，即A（1，1）． 代入m=2x﹣y，

23、得m=2﹣1=1， 即=22x﹣y的最小值為2． 故答案為：2 　 15．已知函數(shù)f（x）=，存在x1＜x2＜x3，f（x1）=f（x2）=f（x3），則的最大值為　　． 【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】先確定1＜x2＜e3，再令y=，求出函數(shù)的最大值，即可得出結(jié)論． 【解答】解：由題意，0＜lnx2＜3，∴1＜x2＜e3， 又=，故令y=，則y′=， ∴x∈（1，e），y′＞0，x∈（e，e3），y′＜0， ∴函數(shù)在（1，e）上單調(diào)遞增，在（e，e3）上單調(diào)遞減， ∴x=e時(shí)，函數(shù)取得最大值， ∴的最大值為． 故答案為：． 　 16．在△ABC中，AB=A

24、C，E為AC邊上的點(diǎn)，且AC=3AE，BE=2，則△ABC的面積的最大值為　?。? 【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算． 【分析】根據(jù)余弦定理和同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可． 【解答】解：如圖：設(shè)AB=AC=3x， ∵AC=3AE， ∴AE=x， 在三角形ABE中，根據(jù)余弦定理可得， cosA===﹣ ∴sinA==， ∴S△ABC=AB?AC?sinA=×9×=3≤ 故答案為： 　 三、解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)?n∈N*，Sn=（n+1）an﹣n（n+1）

25、． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn． 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 【分析】（1）由Sn=（n+1）an﹣n（n+1，得Sn﹣1=nan﹣1﹣（n﹣1）n，從而an﹣an﹣1=2，（n≥2），再求出a1=2．由此能求出an． （2）由=n?2n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 【解答】解：（1）∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)?n∈N*，Sn=（n+1）an﹣n（n+1），① ∴n≥2時(shí)，Sn﹣1=nan﹣1﹣（n﹣1）n，② ①﹣②，得：an=（n+1）an﹣nan﹣1﹣2n， ∴n（an﹣an﹣1﹣2）=0，

26、 ∴an﹣an﹣1=2，（n≥2）， n=1時(shí)，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2． ∴{an}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列， ∴an=2n（n∈N*）． （2）∵=n?2n， ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和： Tn=2+2?22+3?23+…+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n，③ 2Tn=22+2?23+3?24+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1，④ ③﹣④，得：﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1 =﹣n?2n+1 =2n+1﹣2﹣n?2n+1 =（1﹣n）?2n+1﹣2， ∴． 　 18．某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況，抽取甲、乙兩班，

27、調(diào)查這兩個(gè)班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成頻率分布直方圖（如右圖）．已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同，甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[2，4]的有8人． （1）圖中a的值為　0.0375??； （2）用各組時(shí)間的組中值代替各組平均值，估算乙班學(xué)生每天學(xué)習(xí)的平均時(shí)長(zhǎng)； （3）從甲、乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任取4人參加測(cè)試，設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得能求出a． （2）由頻率分布直方圖能估算乙班

28、學(xué)生每天學(xué)習(xí)的平均時(shí)長(zhǎng)． （3）由甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[2，4]的有8人，甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同，求出甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)都為40人，從而得在兩班中學(xué)習(xí)埋單大于10小時(shí)的同學(xué)共有7人，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ． 【解答】解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得： （a+0.0875+0.1+0.125+0.15）×2=1， 解得a=0.0375． （2）由頻率分布直方圖估算乙班學(xué)生每天學(xué)習(xí)的平均時(shí)長(zhǎng)為： =3×0.05+5×0.15+7×0.35+9×0.35+11×0.1=7.6． （3）∵甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間[2，4]的有8人，

29、∴甲班的學(xué)生人數(shù)為=40， ∵甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同，∴甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)都為40人， ∴甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間（10，12]的有40×0.0375×2=3人， 乙班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間（10，12]的有40×0.05×2=4人， ∴在兩班中學(xué)習(xí)埋單大于10小時(shí)的同學(xué)共有7人， ∴ξ的所有可能取值為0，1，2，3， P（ξ=0）==， P（ξ=1）==， P（ξ=2）==， P（ξ=3）==， ∴ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 P Eξ==． 　 19．如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=4，在

30、梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD． （1）求證：面FEB⊥面CEB； （2）若二面角D﹣AF﹣C的大小為，求幾何體ABCDEF的體積． 【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定． 【分析】（1）由余弦定理求出AC，得出AC⊥BC，又AC⊥CE得出AC⊥平面BCE，于是EF⊥平面BCE，故而平面BEF⊥平面BCE； （2）以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)CE=h，求出平面ADF和平面ACF的法向量，，令|cos＜＞|=解出h，于是幾何體ABCDEF的體積V=VD﹣ACEF+VB﹣ACEF． 【解答】證明：（1）∵AB=4，BC=2，∠ABC=60

31、°，∴AC==2． ∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC． ∵CE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴CE⊥AC，又CE?平面BCE，BC?平面BCE，DE∩BC=C， ∴AC⊥平面BCE， ∵AC∥EF，∴EF⊥平面BCE， 又EF?平面BEF， ∴平面BEF⊥平面BCE． （2）以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示： 設(shè)CE=h，則C（0，0，0），A（2，0，0），F(xiàn)（，0，h），D（，﹣1，0），B（0，2，0）． ∴=（﹣，﹣1，0），=（﹣，0，h）， 設(shè)平面ADF的法向量為=（x，y，z），則， ∴，令z=得=（h，﹣h，）．

32、 ∵BC⊥平面ACEF，∴=（0，2，0）為平面ACF的一個(gè)法向量， ∴cos＜＞===﹣． ∴=cos45°=， 解得h=．即CE=． ∴VD﹣ACEF===． VB﹣ACEF===． ∴幾何體ABCDEF的體積V=VD﹣ACEF+VB﹣ACEF==． 　 20．已知圓M：（x﹣）2+y2=r2（r＞0）．若橢圓C： +=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為圓M的圓心，離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若存在直線(xiàn)l：y=kx，使得直線(xiàn)l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，與圓M分別交于G，H兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線(xiàn)段AB上，且|AG|=|BH|，求圓M半徑r的取值范圍． 【考點(diǎn)】直線(xiàn)

33、與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓右頂點(diǎn)為圓心可得a值，進(jìn)而由離心率可得c值，根據(jù)平方關(guān)系可得b值； （II）由點(diǎn)G在線(xiàn)段AB上，且|AG|=|BH|及對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)H不在線(xiàn)段AB上，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得|AB|，在圓中利用弦心距及勾股定理可得|GH|，根據(jù)|AB|=|GH|得r，k的方程，分離出r后按k是否為0進(jìn)行討論，借助基本函數(shù)的范圍即可求得r范圍； 【解答】解：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c， 由橢圓右頂點(diǎn)為

34、圓M的圓心（，0），得a=， 又，所以c=1，b=1． 所以橢圓C的方程為：． （II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 由直線(xiàn)l與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，則， 所以（1+2k2）x2﹣2=0，則x1+x2=0，， 所以=， 點(diǎn)M（，0）到直線(xiàn)l的距離d=， 則|GH|=2， 顯然，若點(diǎn)H也在線(xiàn)段AB上，則由對(duì)稱(chēng)性可知，直線(xiàn)y=kx就是y軸，矛盾， 所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|， 所以=4， ==2， 當(dāng)k=0時(shí)，r=， 當(dāng)k≠0時(shí)，＜2（1+）=3， 又顯然＞2，所以， 綜上，． 　 21．已知函數(shù)f（x）=ex﹣a（x﹣1）

35、（a∈R）． （1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）若m，n，p滿(mǎn)足|m﹣p|＜|n﹣p|恒成立，則稱(chēng)m比n更靠近p．在函數(shù)f（x）有極值的前提下，當(dāng)x≥1時(shí)，比ex﹣1+a更靠近lnx，試求a的取值范圍． 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）設(shè)g（x）=﹣lnx（x≥1），h（x）=ex﹣1+a﹣lnx（x≥1），分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求a的取值范圍． 【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣a， 若a≤0，則在區(qū)間（﹣∞，+∞）上f′（x）＞0，f

36、（x）單調(diào)遞增．所以當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞）； 若a＞0，令f′（x）=0，即ex=a，解得x=lna， 因?yàn)楹瘮?shù)f′（x）=ex﹣a在區(qū)間（﹣∞，+∞）是遞增函數(shù)， 所以在區(qū)間（﹣∞，lna）內(nèi)f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；在區(qū)間（lna，+∞）內(nèi)f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增． 所以當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，lna），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞）； （2）由題意，a＞0，|﹣lnx|＜|ex﹣1+a﹣lnx|， 設(shè)g（x）=﹣lnx（x≥1），h（x）=ex﹣1+a﹣lnx（x≥1）， ∵g（x）在[1，+∞）上為

37、減函數(shù)，g（e）=0， ∴1≤x≤e，g（x）≥g（e）=0，x＞e，g（x）＜0． ∵h(yuǎn)′（x）=ex﹣1﹣，∴h′（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)， ∴x≥1，h（x）≥h（1）=a+1＞0． ①1≤x≤e，|﹣lnx|＜|ex﹣1+a﹣lnx|，可化為﹣lnx＜ex﹣1+a﹣lnx，即a＞﹣ex﹣1， 設(shè)p（x）=﹣ex﹣1（1≤x≤e），p（x）單調(diào)遞減，∴a＞p（1）=e﹣1； ②x＞e，|﹣lnx|＜|ex﹣1+a﹣lnx|，可化為﹣+lnx＜ex﹣1+a﹣lnx，即a＞﹣﹣ex﹣1+2lnx 設(shè)q（x）=

38、﹣﹣ex﹣1+2lnx（x＞e），q′（x）=﹣ex﹣1，∴q′（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減， ∴q′（x）＜q′（e）=＜0，∴q（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減， ∵q（e）=1﹣ee﹣1，∴a≥1﹣ee﹣1 綜上所述，a＞e﹣1． 　 請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)． 22．如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O1的切線(xiàn)交⊙O2于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作兩圓的割線(xiàn)，分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P． （1）求證：AD∥EC； （2）若AD是⊙O2的切線(xiàn)，且PA=6，PC=2，BD=9，求A

39、D的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段． 【分析】（1）由弦切角定理，得∠BAC=∠D．由同弧所對(duì)的圓周角，得∠BAC=∠E，所以∠D=∠E，最后由平行線(xiàn)的判定得AD∥EC； （2）在⊙O1中利用切割線(xiàn)定理，算出PB=3．再在⊙O2中由相交弦定理，得出PE=4，最后在⊙O2利用切割線(xiàn)定理，即可算出 AD的長(zhǎng)． 【解答】解：（1）連接AB， ∵AC是⊙O1的切線(xiàn)，∴∠BAC=∠D． 又∵∠BAC=∠E， ∴∠D=∠E，可得AD∥EC； （2）∵PA是⊙O1的切線(xiàn)，PD是⊙O2的割線(xiàn)， ∴PA2=PB?PD，即62=PB（PB+9），解之得PB=3． 又∵⊙O2中由相交弦定

40、理，得PA?PC=PB?PE， ∴6×2=3×PE，得PE=4． ∵AD是⊙O2的切線(xiàn)，DE是⊙O2的割線(xiàn)， ∴AD2=DB?DE=9×16=144，解得AD=12． 　 23．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為，曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)且0≤φ≤π）． （1）求曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)C2的普通方程； （2）當(dāng)曲線(xiàn)C1和曲線(xiàn)C2有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】（1）曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為，展開(kāi)可得：ρ（sinθ+cosθ）=a，利用互化

41、公式可得可得直角坐標(biāo)方程．由曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程，利用平方關(guān)系：cos2φ+sin2φ=1可得普通方程，注意y的取值范圍． （2）當(dāng)曲線(xiàn)C1和曲線(xiàn)C2有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，數(shù)形結(jié)合可得：圓心（﹣1，﹣1）到直線(xiàn)的距離d=＜1，且a≥﹣1，解出即可得出． 【解答】解：（1）曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為， 展開(kāi)可得：ρ（sinθ+cosθ）=a， 可得直角坐標(biāo)方程：x+y﹣a=0． 曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)且0≤φ≤π）， 可得普通方程：（x+1）2+（y+1）2=1，（﹣1≤y≤0）． （2）當(dāng)曲線(xiàn)C1和曲線(xiàn)C2有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)， 圓心（﹣1，﹣1）到直線(xiàn)的距離d=＜1，且a≥﹣1， 解

42、得﹣1≤a＜﹣2． 　 24．已知函數(shù)f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且關(guān)于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）對(duì)?x∈R恒成立． （1）求實(shí)數(shù)a的最大值m； （2）若正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+2b+3c=2m，求a2+b2+c2的最小值． 【考點(diǎn)】二維形式的柯西不等式． 【分析】（1）由條件利用絕對(duì)值三角不等式求得實(shí)數(shù)a的最大值． （2）由條件利用二維形式的柯西不等式，求得a2+b2+c2的最小值． 【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=|x+sin2θ|，g（x）=2|x﹣cos2θ|，θ∈[0，2π]，且關(guān)于x的不等式2f（x）≥a﹣g（x）對(duì)?x∈R恒成立， 故 2|x+sin2θ|≥a﹣2|x﹣cos2θ|恒成立，即 2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥a 恒成立． ∵2|x+sin2θ|+2|x﹣cos2θ|≥|2x+2sin2θ﹣（2x﹣2cos2θ）|=2，∴2≥a，即a≤2，∴a的最大值為m=2． （2）∵a+2b+3c=2m=4，∴16=（a+2b+3c）2≤（a2+b2+c2）?（12+22+32）=14?（a2+b2+c2）， ∴a2+b2+c2 ≥=，即a2+b2+c2的最小值 為． 　 xx11月4日