2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題分類練1 三角函數(shù)、解三角形 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題分類練1 三角函數(shù)、解三角形 文 1．已知m＝，n＝，設(shè)函數(shù)f(x)＝m·n. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，求f(B)的取值范圍． [解]　(1)f(x)＝m·n＝·＝sin＋， 令2kπ－≤＋≤2kπ＋，則4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z. (2)由b2＝ac可知cos B＝＝≥＝(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào))， 所以0＜B≤，＜＋≤，1＜f(B)≤， 綜上f(B)的取值范圍為. 2．在△ABC中，角A

2、，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A. (1)求角A的大?。? (2)若a＝2，求△ABC面積的最大值． [解]　(1)由正弦定理可得：sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A， 從而可得：sin(A＋C)＝2sin Bcos A， 即sin B＝2sin Bcos A， 又B為三角形內(nèi)角，所以sin B≠0，于是cos A＝， 又A為三角形內(nèi)角，所以A＝. (2)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A得：4＝b2＋c2－2bc≥2bc－bc， 所以bc≤4(2＋)，所以S＝bcsin A≤2＋，△ABC面積最

3、大值為2＋. 3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a－c＝b，sin B＝sin C. (1)求cos A的值； (2)求cos的值． [解]　(1)在△ABC中，由＝，及sin B＝sin C，可得b＝c. 由a－c＝b，得a＝2c. 所以cos A＝＝＝. (2)在△ABC中，由cos A＝，可得sin A＝. 于是cos 2A＝2cos2A－1＝－，sin 2A＝2sin A·cos A＝. 所以cos＝cos 2A·cos＋sin 2A·sin＝. 4．如圖54所示，在四邊形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝.

4、 圖54 (1)求△ACD的面積； (2)若BC＝2，求AB的長． [解]　(1)因?yàn)椤螪＝2∠B，cos B＝， 所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－. 因?yàn)镈∈(0，π)， 所以sin D＝＝. 因?yàn)锳D＝1，CD＝3， 所以△ACD的面積S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝. (2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12， 所以AC＝2. 因?yàn)锽C＝2，＝， 所以＝＝＝＝， 所以AB＝4. (教師備選) 1．已知f(x)＝4sin xcos x＋2cos 2x－1，x∈. (1)求f(x)的值域； (2

5、)若CD為△ABC的中線，已知AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，cos∠BCA＝，求CD的長． [解]　(1)f(x)＝4sin xcos x＋2cos 2x－1， 化簡得f(x)＝2sin 2x＋2cos 2x－1＝4sin2x＋－1. 因?yàn)閤∈，所以2x＋∈， 當(dāng)2x＋＝時(shí)，sin取得最大值1， 當(dāng)2x＋＝或2x＋＝時(shí)，sin取得最小值， 所以sin∈，4sin －1∈[1,3]， 所以f(x)的值域?yàn)閇1,3] . (2)法一：因?yàn)锳C＝f(x)max，BC＝f(x)min ， 由(1)知，AC＝3，BC＝1 ， 又因?yàn)閏os∠BCA＝， 根據(jù)余弦定理得

6、AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝8， 所以AB＝2. 因?yàn)锳C2＝AB2＋BC2，所以△ABC為直角三角形， B為直角. 故在Rt△ABC中，BC＝1，BD＝ ， 所以CD＝＝. 法二：由(1)知||＝3，||＝1，＝(＋)， 所以2＝(2＋2＋2·) ＝＝3， 所以||＝. 2．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝btan A，且B為鈍角． (1)證明：B－A＝； (2)求sin A＋sin C的取值范圍． [解]　(1)證明：由a＝btan A及正弦定理， 得＝＝， 所以sin B＝cos A，即sin B＝sin. 又B為鈍角，因此＋A∈， 故B＝＋A，即B－A＝. (2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0， 所以A∈. 于是sin A＋sin C＝sin A＋sin ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－22＋. 因?yàn)?＜A＜，所以0＜sin A＜， 因此＜－22＋≤. 由此可知sin A＋sin C的取值范圍是.