《大學數(shù)學》習題及答案

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1、YOUR LOGO 原 創(chuàng) 文 檔 請 勿 盜 版 精選名師資料 大學數(shù)學習題 第一章 微積分的基礎和研究對象 § 1 微積分的基礎——集合、實數(shù)和極限 一．論述第二次數(shù)學危機產(chǎn)生的背景和解決方法。 二．敘述極限，實數(shù)和集合在微積分中的作用。 二．敘述實數(shù)系的演變和性質(zhì)，寫出鄰域的概念。 § 2 微積分的研究對象——函數(shù) 一．填空題 2x 1 的定義域 1．函數(shù) y . 2 2 x x 1 1 2 0 | x | 1 2．設函數(shù) 則函數(shù) f[f(x)

2、]= f (x) = . | x | 1 1 1 x 的反函數(shù)為 x . 3．函數(shù) y = 1 1 2 4．設 f (x) 是奇函數(shù) f (x) .( ,且 (x)= ) , 則 是 函數(shù) . (x) x 2 1 5．函數(shù) f (x) = sinxsin3x 的周期 T= . 二．求下列函數(shù)定義域 x 1 1． y = 4 3x 2 3 arcsin + . 2 精品學習資料 第 1 頁，共 51 頁 精選名師資料 2 ln(3 x) 2． y = + . x x 2 x 0 1

3、x x 1 2 三．設 ( x 1) ( x) . 求 , 2x 2x x2 0 1 x x 1 2 四．設函數(shù) f (x) = , g (x) = ln x ， 求 f [ g(x) ] , g [ f(x) ]. x ) = cos x + 1 , 2 x f (cos ). 2 五．已知 f (sin 求 六．證明題：設 f(x) 為定義在 (-L,L) 內(nèi)的奇函數(shù)，若 在(0,L) 內(nèi)單調(diào)增加，證明 f(x) f(x) 在 (-L,0) 內(nèi)也單調(diào)增加 . 精品學習資料 第 2 頁，共 51 頁

4、 精選名師資料 第二章 微積分的直接基礎——極限 §1 數(shù)列的極限 一、判斷題 { an } 1．數(shù)列 中去掉或增加有限項，不影響數(shù)列的極限； （ ） { an bn } 2．數(shù)列 極限存在，則 { an } 與 { bn } 極限均存在； （ ） 0 ，存在無限多個 { an } an a 3．若 | an a | } ，則有 lim n 滿足 . （ ） 二．填空題 { an } 2 n 3 cos n n 1．數(shù)列 有界是數(shù)列收斂的 條件； 2． lim n ； 3． lim n ； 3n 5n

5、 2 3 4． lim n . 三．用極限定義證明 2 n 5 1 . 1． lim n n n 2 2． lim n ( 5 n) 0 . cos n n 0 . 3． lim n an a lim n lim n | an | | a |，并舉例說明其逆命題不成立 四．證明：若 . ，則有 精品學習資料 第 3 頁，共 51 頁 精選名師資料 n 3 } 五．證明數(shù)列 極限不存在 . {cos § 2 函數(shù)的極限 一．填空題 x 2x 4, x 1 ， lim f (x )

6、 ＝ x 1 0 1．設函數(shù) lim x 1 0 f ( x ) ＝ f ( x) . ，則 1, x 1 1 x 2． lim sin x 0 . ex ax x x 0 0 3．設 ，則 f ( x) f (0 ) f (0 ) ， ， b 當 b lim x 0 f ( x) 1 . 時， 二．判斷題 f (x) g(x) f ( x) A ， lim g ( x) x x 0 0 ，則有 若 不存在；（ ） 1. lim x x0 lim x x0 2 ；（ ） 2. l

7、im (x x sin x) lim ( x) x x0 f A ， g( x) B ，且 A B ，則 f (x) g (x) ；（ 若 ） 3. lim x x0 1 x 1 x 0 ；（ ） 4. lim xcos x 0 lim x lim cos x 0 x 0 f (x) g(x) lim g( x) x x 0 0 則 lim f ( x) x x0 0 . （ 若 存在， 且 ） 5. lim x x0 sin x x 1 ； 6． lim x （ ） 1 x x) e

8、 ；（ 7． lim (1 x ） 精品學習資料 第 4 頁，共 51 頁 精選名師資料 1 1 1 x 是等價無窮小量，則 k 2 ； （ 8．當 時， ） 與 3 2 k x x x 9．無窮小量的代數(shù)和還是無窮小量 ；（ ） x 3 x 4 是關于 x 的 4 階無窮小量； 10．當 x 0 時，無窮小量 y （ ） tan x sin x 0 3 x 0 x 0 時 sin x ～ x ～ tan x ，所以有 0 .（ 11．因為 lim x 0 lim x 0 ） 3 x

9、 三．利用定義證明下列函數(shù)的極限 x x2 2 4 1 ； 4 1． lim x 2 2． 。 lim x arctan x 2 四．利用極限四則運算求下列極限 2 2 1． lim ( n n 1 n 2n) . 2 x x cos x cos x 2． lim x 2 . 2 n n n n 3． lim n . 1 4． lim x ( ( x a)( x b) x) . 精品學習資料 第 5 頁，共 51 頁 精選名師資料 5 x 3 5． lim x 0 . 3

10、 1 x 1 x 1 ex 的極限 五． 1．討論 x 0 時， y . 1 e x 2 x 6 x x 0 0 在 x 0 處的極限 f ( x) . 2．討論函數(shù) a 1 是否存在 lim arctan x 1 . 3．討論極限 x 1 六．計算題 tan x sin x 1． lim x 0 . 3 x sin(x ) 3 2． lim x . 1 2 cosx 3 1 (cos x ) x . 3． lim x 0 精品學習資料 第 6 頁，共 51 頁 精選名

11、師資料 1 3 2 4 2 n 2n 1 . 4． lim n 1 tan x 1 sin x 5． lim x 0 . 2 x sin x arctan 3 x 6． lim x 0 . 5 1 x 1 x2 (1 cos 1 ) . x 7． lim x A(x 1)n ，求 七．已知 x 1時， ln x ~ A 與 n . 3 P(x) x 2x P( x) 3x 八．已知 P( x) 是多項式，并且 1 ，又 1 ，求 P( x) . lim x lim x 2 2 x lim (

12、 1 1 九．已知 b) 0 ，試確定 a,b 的值 . ax x x 精品學習資料 第 7 頁，共 51 頁 精選名師資料 § 3 連續(xù)函數(shù) 一．填空題 ex (sin x cos x), x x 0 0 1．若 是 (－∞ ,＋∞ )上的連續(xù)函數(shù) ,則 a= . f (x) 2x a, x 1 e a 有無窮間斷點 1) f (x) x=0 及可去間斷點 x=1,則 a= . 2．若 x( x 二．判斷題 f (x), g (x) 在 1．若 x0 g(x) 在 x0 也不連續(xù) f (x) 均不連續(xù)，

13、則 ；（ ） f (x), g (x) 在 2．若 x0 f ( x) g( x) 在 x0 也不連續(xù)；（ 均不連續(xù)，則 ） 3．區(qū)間 (a,b) 上的連續(xù)函數(shù)必有界 ；（ ） 4．若 f (x) 在 lim x x0 (x) 點連續(xù)，則 lim f [ x x0 ( x)] f [ lim x x0 ( x)] ；（ ） 5． f ( x) 在 (a, b) 內(nèi)單調(diào)，則 f ( x) 在 ( a, b) 內(nèi)之多有一個零點 . （ ） 三．求下列極限 2x x 2 1 3 2 1． lim ln( ex x 1 | x |) ；

14、 ． ； 2 lim x 4 x 1 2x 2x 3 1 3 tan 2 x) cot x 3． lim (1 x 0 ； ． lim x 4 . 1 1 e 0 x 0 1 f ( x) 在 x 0 處的連續(xù)性 . f ( x) 四．設 討論 x x 0 精品學習資料 第 8 頁，共 51 頁 精選名師資料 x3 3 x2 3 0 在區(qū)間 五．證明方程 x ( 2,0) 內(nèi)有一實根 . 1 0, 2 六．設 f ( x) 在 [0,1] 上連續(xù)，且 f (0) f (1)

15、，證明：必存在 x 使得 0 1 2 f ( x0 ) f (x0 ) . 七． f (x) 在 [a, ) 連續(xù)，且 lim x f (x) 存在，證明函數(shù) f (x) 在 [a, ) 有界 . 第二章 復習題 一．填空題 1 ln( 3 f ( x) 1． 的定義域是 . x) 1 2．設 f(x) 的定義域是 [1,2], 則 f ( ) 的定義域是 . x 1 x→x0 時 ,α (x)與 r( x)是等價無窮小 ,β (x)是比 α (x)高階的無窮小 , 則當 x→x0 時 , 3．若當 (x) r ( x)

16、 ( x) ( x) 函數(shù) 的極限是 . x tan x f ( x) 4．要使函數(shù) 是無窮大 , 則要求 x 趨向于值 . 2 sin 3x , x x 0 0 5．若 f (x) 在 x=0 處連續(xù) , 則要 a= . tanax x 7e cosx , 精品學習資料 第 9 頁，共 51 頁 精選名師資料 二．單選題 x x 1． f(x)= x( e e )在其定義域 (－∞ ,＋∞ )是 (A) 有界函數(shù) (B) 單調(diào)增函數(shù) ; ; (C)偶函數(shù) (D) 奇函數(shù) ;

17、. sin( x 1) 2．設 f (x) , x . 則此函數(shù)是 2 1 x (A) 有界函數(shù) (C)偶函數(shù) ; (B) 奇函數(shù) ; ; (D) 周期函數(shù) . 1 當x 3．函數(shù) f ( x) arctan 1 時的極限值是 1 x (A) , 2 , (D) 不存在 . (B) (C)0, 2 1 2e x 1 ex ; ; 1 1 arctan . 則 x=0 是 f( x)的 x 4．設 f (x) 1 (A) 可去間斷點 (C)無窮間斷點 (B) 跳躍間斷點 (D) 振蕩間斷點 ; .

18、 1 2 ( x 1) cos , x 1 . 5．設 f (x) x 1 則 x=1 是 f(x)的 2 2x ln x, x 1 (A) 連續(xù)點 ; (C) 無窮間斷點 (B) 跳躍間斷點 (D) 振蕩間斷點 ; . ; 三．求下列極限 sin 2 2 x 1 3 4x 2 x 4 x x ) ； 2． lim x 0 ； 1． lim ( x tan x n n 2 3n ) 2 lim x arcsin( x) ； 4． x x ； 3． lim ( n 1 cscx

19、cot x x 5． lim x 0 . 精品學習資料 第 10 頁，共 51 頁 精選名師資料 五． 證明：方程 x2x =1 至少有一個小于 1 的正根 . [ c, d] 六．設 f(x)在 [a,b] 上連續(xù)， a

20、(x) 在 ( x0 ) 一定存在； （ ） ( x0 , f ( x0 )) 處有切線，則 f f ( x) g( x) ，則 f ( x) g (x) ； 3．若 （ ） 4．函數(shù) f ( x) 在 x x0 處的左右導數(shù)都存在是 x0 點可導的充分必要條件 f (x) 在 ;（ ） 5．下面的計算對嗎？ 1 x 2 1 x 1 cos x x sin 0 x x 0 ，因為當 0 設 x 0 時， f ( x) f (x) 2x sin ，而 f (x) 在 x 0 處無意義，故 x 0 不可

21、導 f ( x) 在 （ ） . 二．填空題 f x0 x x f x0 x x0 處可導，則 1．設 y f ( x) 在 lim x 0 ， f x0 h f x0 h f x0 nh f x0 mh lim h 0 ， lim h 0 ； h h 精品學習資料 第 11 頁，共 51 頁 精選名師資料 f x f (0) 存在且 f 0 0 ，則 2．若 lim ； x 0 x y f ( x) 為偶函數(shù)且 f ( 0) 3. 若 存在，則 f (0) ＝ ； 4.

22、已知 f ( x) x ，則 f (0) = ； 1 2 gt 2 5. 將一物體鉛直上拋， 經(jīng) t 秒后上升的高度為 3 秒時的瞬時 s 40t 則該物體在 , 速度為 ； 1 x 6. 曲線 y x 與橫軸交點處的切線方程是 與 ； f 1 f 1 2x x y f x 7. 設 f ( x) 為可導函數(shù)，且滿足條件 1 ，則曲線 在 lim x 0 (1 , f 1 ) 處的切線斜率為 ； n n x xn y x 8. 設 f ( x) ， 是過點（ 1，1）的曲線 （ n 是正整數(shù)）的

23、切線在 x 軸上的 截距，則 lim n f ( xn ) . x a 三．用定義求函數(shù) f (x) a 0 且 a 1）的導函數(shù)與它在 x 0 處的導數(shù) . （ x x a 處連續(xù)，試討論下列函數(shù)在 x a 處的可導性， 并在可導時求出 f a 四．設 在 ： ； 2. f x x a x 1． f x x a x ； 3. f x x a ( x) . 1 x arctan , x 0, x x 0 在 0 x 0 處的連續(xù)性和可導性 五．討論函數(shù) f ( x) . 精品學習

24、資料 第 12 頁，共 51 頁 精選名師資料 1 g( x) cos , x x x 0 ，且 g(0) 0 六．已知 f ( x) g (0) 0 ，求 f (0) . 0 , x e , ax x x 0 0 x 0 處連續(xù)且可導，求 a,b 的值 . f ( x) 七．設函數(shù) 在 , 2 x b, 4 x 3 在點 (1,2) 處的切線方程和法線方程 八．求曲線 y . 3 x 3x2 九．求垂直于直線 x 3y 1 0 且與曲線 1相切的直線方程 y . 1 x x

25、1 , x 0 十．證明函數(shù) f x x 0 處連續(xù)，但不可導 在點 . 0 , x 0 十一 . 談談你對導數(shù)概念的理解 . 精品學習資料 第 13 頁，共 51 頁 精選名師資料 § 2 求導數(shù)的方法——法則與公式 一、單項選擇題 x0 處，下述說法正確的是（ 1. 在函數(shù) f ( x) 和 g( x) 的定義域內(nèi)的一點 ） A. 若 f ( x) ， g( x) 均不可導，則 f ( x) g( x) 也不可導； B. 若 f ( x) 可導， g( x) 不可導，則 f ( x) g( x) 必不可導； C. 若 f (

26、x) ， g( x) 均不可導，則必有 f ( x) + g( x) 不可導； f ( x) 可導， g( x) 不可導，則 f ( x) + g ( x) 必不可導 . D. 若 ex 2. 直線 l 與 x 軸平行且與曲線 y x 相切，則切點為（ ） A. 1,1 ; 1,1 ; 0,1 ; D. 0, 1 . B. C. 3. 設 f ( x) 在 x0 處不連續(xù)，則 f ( x) 在 x0 處 ( ) ( A) 必不可導 (B) 一定可導 ; (C) 可能可導 ; ( D ) 無極限 ; . ( x) ， ( x)

27、 在 x a 處連續(xù)但是不可導， 4. 設 F ( x) g (x) g (a) 存在，則 g(a) 0 是 F ( x) x a 處可導的（ 在 ）條件 C. 充分非必要； A. 充要； B. 必要非充分； D. 非充分非必要 . x x0 f ( x) 在點 f x x0 處（ ） x 5. 若 處可導，則 在點 A. 可導 ; B. 不可導 連續(xù)未必可導 ; 不連續(xù) ; C. D. . dy dx 2 x 6. 函數(shù) y 3x 2 cosx 3 ln e 的導函數(shù) （ ）. 1 e ln

28、 3 x x ( A) 6 x 2sin x 3 ln 3 ( B) 6 x 2 sin x 3 1 e 1 e x x 6 x 2 sin x 3 ln 3 ( D ) 6 x 2 sin x 3 (C) x 1 dy dx （ ） . 7. 函數(shù) y ，則 ln x 1 x ln x x ln x x(ln ( x x) 1) x ln x (ln (x 1) ( A) (B) (C ) (D ) 2 2 2 x ln x (ln x) x) x x 1 1 8. 已知

29、 y x 點的切線的斜率是（ ，則函數(shù)在 ） . 2 x 1) x 1) 2 1) 1 2 ( A) ( B) (C ) (D ) 2 2 2 (x ( x ( x x 1 精品學習資料 第 14 頁，共 51 頁 精選名師資料 dy dx （ ） . 9. 已知 y x sin x ln x ，則 sin x x cos x ln x sin x x sin x cos xln x sin x ln x cos xln x ( A) ( B) sin x ln x sin x ln x x

30、cos x ln x (C) ( D ) , 0, 10. 設 f ( x) 在 內(nèi)有 f ( x) 0 ， f ( x) 0 ，則 f ( x) 內(nèi)為奇函數(shù)且在 在 ,0 內(nèi)是（ ） . （ A ） f (x) 0 且 f ( x) 0 ； f ( x) 0 且 f ( x) 0 ； （ B） （ C） f (x) 0 且 f ( x) 0 ； （ D） f ( x) 0 且 f (x) 0 . y 11. 已知 y x ln x ，則 （ ）. 1 1 x 1 2 （ A） ； （

31、 B ） ； （ C） ； （ D） . 2 2 3 x x x 二．填空題 d dx 1 x 2 1 x f ( 1 ) 2 [ f ( )] 1. 已知 ，則 ； x sin x 2. 若 f ( x) ln x ，則 f ( ) ； 1 d dx d dx 2 [ f ( x)] g( x), h(x) x ，則 f [ h( x)] 3. 若 ； dy dx 4. 若 xy2 y 2 ln x 4 0 ，則 ； dy dx 5. 若 y x ln y ，則 ； d

32、y dx sin x y x , x 0 ，則 6. 若 ； dy dx x y 確定，則 y( x) 由 e cos(xy) 0 7. 設函數(shù) y ； x n 8. y 10 ，則 y 0 ； n sin 2 x ，則 y x 9. y . 三．求下列函數(shù)的導數(shù)： 1 1 x x 2 1. y x cosx x ； y ； 2. 精品學習資料 第 15 頁，共 51 頁 精選名師資料 3 3 2 x x x5 x x a e （ 3 a 0 且 a 1 ）； 3. f

33、(x) y xsin x ； 4. sin x x x 5. y ln 2 sin y xe secx ； ； 6. 6 1 x 1 x 1 x 7. y cot y ln ln ； ； 8. a 2 x2 y ln x 9. y ln 1 x ； ； 10. sin 2 x 11. y x x x y ； ； 12. 2 x arcsin x arccosx x x 1 1 13. y y arctan ； ； 14. sinn x eax 15. y sin

34、 nx （ n N ）； 16. y sinbx ； 精品學習資料 第 16 頁，共 51 頁 精選名師資料 1 x x 4 x 2 24 ，求 y 2 ； y e x 1 ，求 y 17. y ； 18. 1 1 3 x n n 2 y ； y x ，求 y 。 19. y 20. sin ，求 2 x 2 sin x, x x 0 四．已知 f ( x) , 求其導函數(shù) f (x) . x 0 dy dx 五．設 f (u) 為可導函數(shù)，求下列函數(shù)的導數(shù) ： y

35、sin{ f [sin f ( x)]} 1． ； f sin 2 x 2 2． y sin f x ； 六．利用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù)： ex 1． y x sin x 1 ； ln x 2． y sin x . 精品學習資料 第 17 頁，共 51 頁 精選名師資料 x 七． 設 且 f ( x) 可導，求 f (1 x) xe f ( x) . 5 八． 設 f ( u) 為可導函數(shù)，且 f ( x 3) x ，求 f ( x 3) 和 f ( x) . 2 f a g ( x) 連

36、續(xù)，且 f (x) (x a) g(x) ，求 九．設 . 2 ( x) 2 g (x) 2 ( x) g 2 (x) f ( x) g ( x) 0 ，求函數(shù) f y f 十．設 和 可導，且 的導數(shù) . 2 dy dx d y 2 xy e 3 y y y x 5x 0 所確定，試求 十一．設 由方程 ， . d x x 0 x 0 2 d y . xef ( y) ey y y x f (u) 二階可導且 f 1 ，試求 十二．設 由方程 所確定， 2 dx ax

37、2 ln 1 bx x , c, x x 0 0 x 0 處有二階導數(shù)，試確定參數(shù) 十三．已知函數(shù) f x ，在點 a,b, c 的值 . 精品學習資料 第 18 頁，共 51 頁 精選名師資料 十四．設函數(shù) f ( x) 滿足條件：對任何 x ，有 f (1 x) 2 f (x), f (0) c （ c 為已知常數(shù)） ， 證明 f (1) 存在，并求其值 . 1上任一點處的切線與 x 軸和 y 軸構(gòu)成的三角形面積為常數(shù) 十五．證明：曲線 xy . §3 局部該變量的估值問題——微分及其計算 一． 填空題 x3 x 在

38、x x 0.01 ，則 1．設 y 2 處 y dy ， ； 0 x0 處可微，則 lim x 0 y 2．設 y f x 在 ； 3．將適當?shù)暮瘮?shù)填入下列括號內(nèi)，使等式成立： d （ d （ ） = 2dx ； d = 3xdx ； （ ） ） costdt ； 1 d （ sin xdx ； ） 2 x dx； x dx ； d （ d （ e dx ； ） ） 1 1 x 2 d （ d （ ） sec 3xdx ； ） 1 1 x d （ dx . ） 2 二．單項選

39、擇題 u是 x 的可微函數(shù)，則 dy y f u 1. 設 是可微函數(shù)， （ ） . f u udx f u dx f u du f u u du （ A ） （ B） （ C） （D ） 0 時，在點 x 處的 2. 若 ( x) 可微，當 f x y dy 是關于 x 的（ ） . （ A ）高階無窮 （ B）等價無窮小 （C）同階無窮小 （ D）低階無窮小 精品學習資料 第 19 頁，共 51 頁 精選名師資料 充分小， f ( x) 0 時，函數(shù) 的改變量 y 與微分 dy 的關系是（ x y

40、f x 3. 當 ）. y dy y dy y dy y dy （ A ） （ B） （ C） (D) dy （ y f x 可微，則 ） . 4. x 無關； x 的線性函數(shù)； (A) 與 (C) 當 (B) 為 (D) 當 x 0 時是 x 的高階無窮??； x 0 時是 x 的等價無窮小 . y x 2 2 5. ln x y arctan , 則 dy （ ） . x x y y x y x y x x y y x x y y ( A) dy (B) dy

41、 (C) dy ( D ) dy x0 y f ( x) 為初等函數(shù)， 6. 設 為其定義區(qū)間內(nèi)任意一點，則下列命題正確的是 ( ). f ( x) 在點 x0 處必定可導； f ( x) 在點 x0 處必定可微； (A) (B) f ( x) 在點 x0 處必定連續(xù)； 不能確定 . (C) (D) x 7. 當 很小時 ,下列各式不正確的是 ( ). x sin x x tan x x ( A) (B) ln(1 x) x (C ) (D ) e x x 10 m ,如果棱長增加 0.01m 8. 一正方體

42、的棱長 ,則此正方體體積增加的近似值為 ( ). 3 3 3 3 1m 2m 3m 4m ( A) (B) (C) ( D ) 三．求下列函數(shù)的微分 2 1 x arctan1 1 x 1． y 2 x y ; 2. ; x2 x 3. y x sin2 x ; y 4. . x2 1 3 1.02 四．計算 arctan1 .02 的近似值 和 . 精品學習資料 第 20 頁，共 51 頁 精選名師資料 第三章 復習題 一．填空題 f (x 3x) x f (x ) 0 0

43、 lim x0 f '( x0 )，則 x 0 f (2x) f ( x) 在 處導數(shù)為 ； 1．設 f ( x) lim x 0 1 f ( x) 在 f ' (0) x 0 處可導且 2 x cosx ，則 ； 2．若 f 1 lim x 0 f 0 1, f 0 sin x 0 ，則 tan 2 x ； 3．設 f (x) x 0 處的導數(shù)為 在 ； 1和 x 4．函數(shù) 2 x 2 兩點連線平行的切線方程 y 3x 上，與拋物線上橫坐標 ； 5．在拋物線 為 6．若 f ( x) 為可導的

44、奇函數(shù)且 f ( x0 ) 5 ，則 f ( x0 ) ； 1 x 2 e3x 7．設 df x cos2 x dx ，則 f ( x) = ； 1 在 x0 可微的 dx ； x0 可導是 f (x) 8． f ( x) 在 條件； y x x ，則 dy 9．設 2 3 10．若曲線 y x ax b 2 y 和 1 xy 在點 ，b (1, 1) 處相切， 則 a . 二．單項選擇題 1 x y 1 ，則 （ ） y 1 x 1．設 1 2 B． e； ln 2 ； D ． 1

45、ln 4 . A ． 2； C． 2 n 為大于 2．已知函數(shù) f ( x) 具有任意階導數(shù)，且 f ( x) = f x ，則當 2 的正整數(shù)時， n 是（ ） f (x) n 1 n 1 2n 2n A ． n! f x n f x f x D． n! f x ； B． ； C． ； . n 3．設 f ( x) = 3x3 x2 x f 2; (0) 存在的最高階導數(shù)的 D． 3. ，則使 n 為（ ） A ． 0； B． 1； C． 三．計算下列各題： tan 1 x 1 si

46、n ，求 x 1．設 y e y ； 精品學習資料 第 21 頁，共 51 頁 精選名師資料 2 2．設 f ( x) max 2, x ，求 f (x) ； 2 sin x 3．設 y (1 x ) ，求 y ； x 2 3 f (x) = 1 x x 4． ，求 f (x) ； n 1 n x y lim ln 1 n y ( x) ； 5． ，求 2 2 d y d x2 6．設 y sin 2 x2 ，其中 f f 具有二階導數(shù)，求 ； 2 d y d x2 f ； y

47、f x y 7．設 ，且 二階可導，求 dy dx x y 8．已知 e cos(xy) 0 ，求 ； 2 (50) x sin 2 x, 求 y 9． y ； 精品學習資料 第 22 頁，共 51 頁 精選名師資料 x 10．已知 y ln(1 3 ) ，求函數(shù)的微分 dy . 2 f ( x0 3h ) f ( x0 ) h sinh ( x0 ) 存在，求 f 五．已知 lim h 0 . 1 sin , x 0, 2 x x 0, 0. x f (0) ，其中 六．用定義求

48、f ( x) 并討論導函數(shù)的連續(xù)性 . arctan 2x 2, d , x x 0 1 0 x 3 2 七．設 f (x) ax bx 3 cx ln x, 1 ，試確定 x 0 及 a, b, c, d 的值，使 f ( x) 在 x 1 都可導 . f ( x) = ex ( x2 (n ) ( x) . 2x 2) ，求 十一． f f ( x) x 十二．已知 (x) 為奇函數(shù)， 且 (0) 存在， 問 f f x 0 是 F ( x) 的何種類型的間斷點？ 為什么？ 精品學習資料 第 23

49、 頁，共 51 頁 精選名師資料 第四章 導數(shù)的應用問題 洛比達法則，函數(shù)的性質(zhì)和圖像 §1 聯(lián)系局部與整體的紐帶——中值定理 一. 填空題 4 1．函數(shù) f ( x) x 在區(qū)間 [1,2] 上滿足 Lagrange 中值定理中的 。 2．若函數(shù) f ( x) (x 1)(x 2)( x 3)( x 4) ，則方程 f '( x) 0 有分別位于區(qū)間 內(nèi)的三個實根。 2 1 x 3 ，則 f ( x) 在區(qū)間 [ 。 3．若 f (x) 1,1] 上不滿足 Rolle 定理的一個條件是 4． Rolle 定理與 Lagrange

50、 定理的關系是 二、選擇題 。 1.Rolle 定理中的三個條件： f ( x) 在 [ a,b] 上連續(xù)，在 ( a, b) 內(nèi)可導，且 f (a) f (b) ， 是 f (x) 在 (a,b) 內(nèi)至少存在一點 ，使 f '( ) 0 成立的 條件。 A. 必要 B. 充分 C. 充要 既非充分也非必要 D. 2.下列條件不能使函數(shù) f (x) 在區(qū)間 [ a, b] 上應用 Lagrange 定理的是 。 f ( x) 在 [ a, b] 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導 f ( x) 在 [ a, b] 上可導 A.

51、 ; B. ; b 點左連續(xù) f ( x) 在 ( a, b) 上可導，且在 a 點右連續(xù)，在 C. ; D. f ( x) 在 ( a, b) 內(nèi)有連續(xù)的導數(shù) . 三、證明下列不等式 a b a a b b 0 b a . ln ，其中 1. a b x x 1 時， e ex. 2. 當 x 1 ，求證 f ( x) e . 3. 已知 f '( x) f (x) ，且 f (0) 精品學習資料 第 24 頁，共 51 頁 精選名師資料 5 3 4. 證明方程 x 2 x x 1 0 只

52、有一個正根 . §2 求不定式極限的一般方法——洛必達法則 一．利用洛比達法則求極限 1 ex ln x 1 cos 2x cos3x lim lim x 0 1. ; 2. ; x 0 1 1 1 x 1 ex 3. lim x(ex x 1); 4. lim( x 0 ) . 1 二．求解下列各題 f (1 cos x) 1.設 f ( x) 具有一階連續(xù)導數(shù)， f (0) 0, f '(0) 2 ，求 lim x 0 . 2 tan x 2 .設 f (x) 在 x x0 處具有二階導數(shù)，求證 f (

53、x0 h) 2 f ( x0 ) f (x0 h) lim h 0 2 f ''(x ) . 0 1 cosh 精品學習資料 第 25 頁，共 51 頁 精選名師資料 §3 一．填空題 用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性，極值和最大最小值 2 1.已知曲線方程為 y 2 x x ，則曲線 y 在區(qū)間 上單調(diào)增，在區(qū)間 上單調(diào)減。 f (x) 在 [ a,b] 上連續(xù)， 在 ( a,b) 內(nèi)可導， x (a, b) 時， f '(x) 0 ，又 f (a) 0 2.若 且 ， 則 f ( x) 在 [ a, b] 上 f

54、 (b) 的正負號 ，但 。 x 3 max f ( x) 5 x 5 min f 5 x 5 ( x) f (x) e 3.若 ，則 ， 。 2 2 4.若 f (x) c( x 1) , c 0 ，則在 x 處取得極 值，其值為 。 3 5. y x 3x的極大值點是 ，極大值為 。 5 6.方程 x 2 x cos x 0 有 個實根。 二．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 2 2 1. f ( x) 1 6 x x ; f (x) 2x ln x 1; 2. n x 3. y x e ，

55、其中 n 0, x 0 . 三．求下列函數(shù)的極值 1 x3 (1 2 x) 3 . 4 2 1. f ( x) x 2x ; 2. f ( x) 四．證明下列不等式 1 3 3 當 0 x tan x x x 時，有 1. ; 2 精品學習資料 第 26 頁，共 51 頁 精選名師資料 2 x x2 ; x 4 時，有 當 2. x1 x2 ln x1 ln x2 x2 x1 當 e x1 x2 時，有 3. . 1 f ( ) x 1 , x x 五．設 f ( x) 滿足

56、3 f ( x) 0 ，求 f ( x) 的極值。 3 x 2 ax 六．設 y bx 2 在 x 1和 x 2 處取得極值，試確定 a,b 的值，并證明 y(x ) 1 2 1 是極大值， y( x2 ) 是極小值。 七．求下列函數(shù)的最大值與最小值 3 2 2 1. f ( x) x 4x 6, x [ 3,10]; f ( x) 4 x 18x 27 , x [0,2] 。 2. V a （ V ,a 都為常數(shù)），問容 八．試作一個上端開口的圓柱形容器，它的凈容積是 ，壁厚為 器內(nèi)壁的半徑為多少，才能使所用的材

57、料最少？ 精品學習資料 第 27 頁，共 51 頁 精選名師資料 第四章 復習題 一．填空題 x a 點處有拐點 1. 已知函數(shù) y f (x) 有連續(xù)的二階導數(shù)，且在 ( a, f (a)) ， f (a h) 2 f (a) h f (a h) 則 lim n 。 2 1 xx 2. y 的極大值點是 ，極大值為 。 二．求下列極限 x 2 1 e 2 x 1. lim x 0 lim x ( arctan x) . ; 2. 2 x 2 2 x 三．討論函數(shù) y sin x的單調(diào)

58、性。 arctan x 四．證明 ) 。 ln( x 1) , x [0, 1 x 精品學習資料 第 28 頁，共 51 頁 精選名師資料 第五章 微積分的逆運算問題 --不定積分 § 5.1 原函數(shù)與不定積分 一．填空題 1.若 F ( x), G( x) 均為 f (x) F '(x) G '( x) 的原函數(shù)，則 . d f ( x)dx df ( x) f (x) 是連續(xù)函數(shù)，則 ， 2. . 2 x 1 x 1 x 2 3 dx dx 3. . 4. . 2 x 1 x 6

59、x 2 x 2 (e 3cos x)dx sin dx 5. . 6. . 二．計算下列各題 . x4 1 1 1 dx x 2 dx 1. 2. 2 x 2 x 2 sin 2 cos cos 2 x sin xcos 3 x x dx (2 e )dx 3. 4. 2 2 x dx cos 2 x tan 2 xdx 5. 6. 1 三．若曲線 y f ( x) 上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的倒數(shù)，且該曲線過點 (e,3) ， 求該曲線方程 . 精品學習資料 第 29

60、 頁，共 51 頁 精選名師資料 §5.2 矛盾轉(zhuǎn)化法 -- 換元積分法與分部積分法 一、填空題 x 1. cos dx 3 x d ( s i n 3 dx a 0 ） . . ) d (ax) （ 2. 3 4 2 d(3x 2) . xdx d (1 x ) . 3. x dx 4. 1 1 4x 1 dx d ( a r c t a nx 2. dx 5. 6. . 2 2 x 9 1 3 x 3 x 7. e dx dx . 8. . 4 二、求下列不定積分 : ln 2

61、 x x 5 sin xcos xdx dx 1. 2. . dx dx (a 0) (a 0) 3. 4. 2 2 2 2 a x a x dx 1 dx 5. 6. 1 2 x 1 x 2 x tan 1 x x dx dx 7. 8. 2 x 2 x x2 1 4 4 精品學習資料 第 30 頁，共 51 頁 精選名師資料 x xe dx ln xdx 9. 10. 2 e3 x dx 11. x tan xdx 12. f ( x) xf '( x) f

62、 ( x) arcsin xdx dx 13. 14. 2 2 x e cos xdx 15. ln( x 1 x )dx 16. x 2 三、已知 f ( x) 的一個原函數(shù)是 xf '( x) dx. e ，求 精品學習資料 第 31 頁，共 51 頁 精選名師資料 第五章 復習題 一、填空題 2 ln x ，則 1. 若 f (x) 的一個原函數(shù)為 f (x) 。 2. 若 f ( x)dx sin 2 x c ，則 f ( x) 。 3. 若 f ( x)dx x ln x c ，則 f ( x)

63、。 x 2 。 4. d e dx 5. (sin x) dx 。 6. 若 f ( x)dx F (x) c f (2 x 3)dx ，則 。 d dx e 2 。 7. ln( x 1)dx 1 二、單項選擇題 1. 下列等式成立的是（ ）． d dx (x)dx f (x) f ( x)dx f ( x) A． B． f C． d f (x)dx f (x) df ( x) f ( x) D． x2 e2 x 2. 若 f ( x)dx c ，則 f ( x) （ ） . 2 xe2x

64、 (1 2 2x 2 x e x) A. B. 2 xe2 x xe 2 x C. D. 3. 以下計算正確的是（ ） x d 3 dx x 2 A． 3 x dx x 2 ) d(1 ． B ln 3 1 dx x d( 1 ) x C． x ． ln xdx d D 三、計算題 3 3 x xsin x dx 1. x 精品學習資料 第 32 頁，共 51 頁 精選名師資料 (2 x 1)10dx 2. 1 sin x dx 3. 2 x x 2 dx x 4. 1 1 9

65、 x dx 5. 2 1 精品學習資料 第 33 頁，共 51 頁 精選名師資料 第六章 求總量的問題 定積分及其應用 -- § 6.1 特殊和式的極限 -- 定積分的概念 一、根據(jù)定積分的定義或幾何意義計算下列積分： 1 1. （ax b）dx ； 0 a 2 2 a x dx(a 0) 2. 0 1 1 1 2n 3. lim ( n ) ； n 1 n 2 二、利用定積分的性質(zhì)估計下列積分值的大?。? 1 2 ex dx； ( x3 2 x4 )dx . 2. 1. 0 1 三、不計算積

66、分，比較下列各組積分的大小 2 2 0 sin x dx ； 1． x dx 0 1 1 x2 x 2． e dx e dx . 0 0 精品學習資料 第 34 頁，共 51 頁 精選名師資料 § 6.2 計算定積分的一般方法 — 微積分基本定理 一、設 f ( x) 連續(xù)，求下列函數(shù) F ( x) 的導數(shù)： x b 1） F( x) f (t) dt ； 2） F ( x) f (t) dt ； a x x F ( x) t (t 4)dt 3） 。 0 二、填空題 x cost 2 dt x 0 1) lim x 0 = . . sin x 2) 已 知 f ( x) 在 ( , ) 上 連 續(xù) ， 且 f (0) 2 ， 且 設 F ( x) f (t) dt ， 則 0 F (0) . 2x e x 3x 1 , x 0 f (x) lim x 0 f (x) 3) 設 ，則 . x sin t 2 dt 3