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1、第27講 表面積與體積（一）
一、知識(shí)要點(diǎn)
小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計(jì)算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?，養(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習(xí)慣，解題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計(jì)算。
在解答立體圖形的表面積問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：
（1）充分利用正方體六個(gè)面的面積都相等，每個(gè)面都是正方形的特點(diǎn)。
（2）把一個(gè)立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個(gè)立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。
（3）若
2、把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來(lái)。若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來(lái)。
二、精講精練
【例題1】從一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體木塊上挖去一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長(zhǎng)方體，剩下部分的表面積是多少？
這是一道開放題，方法有多種：
①按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為592平方厘米。
②按圖27-2所示，在某個(gè)面挖，剩下部分的表面積為632平方厘米。
③按圖27-3所示，挖通某兩個(gè)對(duì)面，剩下部分的表面積為672平方厘米。
練習(xí)1：
1、從一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬6厘米、高5厘米的長(zhǎng)方
3、體木塊上挖去一個(gè)棱長(zhǎng)2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少？
2、把一個(gè)長(zhǎng)為12分米，寬為6分米，高為9分米的長(zhǎng)方體木塊鋸成兩個(gè)想同的小廠房體木塊，這兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和，比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了多少平方分米？
3、在一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的立方體上挖一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體后，表面積會(huì)發(fā)生怎樣的變化？
【例題2】把19個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體重疊起來(lái)，如圖27-4所示，拼成一個(gè)立體圖形，求這個(gè)立體圖形的表面積。
要求這個(gè)復(fù)雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個(gè)方向觀察，每個(gè)方向上的小正方體各面就組合成了如
4、下圖形（如圖27-5所示）。
而從另外三個(gè)方向上看到的面積與以上三個(gè)方向的面積是相等的。整個(gè)立體圖形的表面積可采用（S上+S左+S前）×2來(lái)計(jì)算。
（3×3×9+3×3×8+3×3×10）×2
=（81+72+90）×2
=243×2
=486（平方厘米）
答：這個(gè)立體圖形的表面積是486平方厘米。
練習(xí)2：
1、用棱長(zhǎng)是1厘米的立方體拼成圖27-6所示的立體圖形。求這個(gè)立體圖形的表面積。
2、一堆積木（如圖27-7所示），是由16塊棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體堆成的。它們的表面積是多少平方厘米？
圖27－7
3、一個(gè)正方體的表面積是384平方厘
5、米，把這個(gè)正方體平均分割成64個(gè)相等的小正方體。每個(gè)小正方體的表面積是多少平方厘米？
【例題3】把兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最少是多少平方厘米？
把兩個(gè)相同的大長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大廠房體，需要把兩個(gè)相同面拼合，所得大廠房體的表面積就減少了兩個(gè)拼合面的面積。要使大長(zhǎng)方體的表面積最小，就必須使兩個(gè)拼合面的面積最大，即減少兩個(gè)9×7的面。
（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2
=（63+36+28）×4—126
=508—126
=382（平方厘米）
答：這個(gè)大廠房體的表面積最少是382平方厘米。
6、
練習(xí)3：
1、把底面積為20平方厘米的兩個(gè)相等的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積是多少？
2、將一個(gè)表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。求大長(zhǎng)方體的表面積是多少。
3、用6塊（如圖27-8所示）長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，有許多種做法，其中表面積最小的是多少平方厘米？
圖27-8
【例題4】一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方里，求原長(zhǎng)方體的表面積。
我們知道：體積=長(zhǎng)×寬×高；由長(zhǎng)增加2厘米，體積增加40立方厘
7、米，可知寬×高=40÷2=20（平方厘米）；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可知長(zhǎng)×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米，可知長(zhǎng)×寬=96÷4=24（平方厘米）。而長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。即
40÷2=20（平方厘米）
90÷3=30（平方厘米）
96÷4=24（平方厘米）
（30+20+24）×2
=74×2
=148（平方厘米）
答：原長(zhǎng)方體的表面積是148平方厘米。
練習(xí)4：
1、一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘
8、米，則體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來(lái)廠房體的表面積是多少平方厘米？
2、一個(gè)廠房體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長(zhǎng)方體后，便成為一個(gè)正方體，其表面積減少了120平方厘米。原來(lái)廠房體的體積是多少立方厘米？
3、有一個(gè)廠房體如下圖所示，它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？
圖27－9
【例題5】如圖27-10所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體。求這個(gè)物體的表面積。
如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再減去重疊部分的面
9、積，這樣計(jì)算比較麻煩。實(shí)際上三個(gè)向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個(gè)底面積。這樣，這個(gè)物體的表面積就等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。
3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1
=3.14×（4.5+3+2+1）
=3.14×10.5
=32.97（平方米）
答：這個(gè)物體的表面積是32.97平方米。
練習(xí)5：
1、一個(gè)棱長(zhǎng)為40厘米的正方體零件（如圖27-11所示）的上、下兩個(gè)面上，各有一個(gè)直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個(gè)零件的表面積。
2、用鐵皮做一個(gè)如圖27-12所示的工件（單位：厘米），需用鐵皮多少平方厘米？
3、如圖27-13所示，在一個(gè)立方體的兩對(duì)側(cè)面的中心各打通一個(gè)長(zhǎng)方體的洞，在上、下側(cè)面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞。已知立方體棱長(zhǎng)為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體的表面積和體積（π取3.14）。
小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)題第27講 表面積與體積（一）
