2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時作業(yè)52 橢圓 理（含解析）新人教版

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1、課時作業(yè)52　橢圓 一、選擇題 1．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為(　A　) A．4 B．3 C．2 D．5 解析：由題意知|OM|＝|PF2|＝3， ∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4. 2．(2019·開封模擬)曲線C1：＋＝1與曲線C2：＋＝1(k<9)的(　D　) A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 解析：因為c＝25－9＝16，c＝(25－k)－(9－k)＝16，所以c1＝c2，所以兩個曲線的焦距相

2、等． 3．已知實數(shù)4，m,9構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為(　C　) A. B. C.或 D.或 解析：由題意知m2＝36，解得m＝±6.當(dāng)m＝6時，該圓錐曲線表示橢圓，此時a＝，b＝1，c＝，則e＝；當(dāng)m＝－6時，該圓錐曲線表示雙曲線，此時a＝1，b＝，c＝，則e＝.故選C. 4．(2019·貴州六盤水模擬)已知點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點，若點P在橢圓C上，且∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝(　A　) A．4 B．6 C．8 D．12 解析：由|PF1|＋|PF2|＝4， |PF1|2＋|PF2|2－2

3、|PF1|·|PF2|·cos60° ＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12， 所以|PF1|·|PF2|＝4，故選A. 5．焦點在x軸上的橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為(　C　) A. B. C. D. 解析：由短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形，又由三角形面積公式得×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故選C. 6．正方形ABCD的四個頂點都在橢圓＋＝1(a>b>0)上，若橢圓的焦點在正方形的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是(　B　) A. B

4、. C. D. 解析：設(shè)正方形的邊長為2m，∵橢圓的焦點在正方形的內(nèi)部，∴m>c.又正方形ABCD的四個頂點都在橢圓＋＝1(a>b>0)上，∴＋＝1>＋＝e2＋，整理得e4－3e2＋1>0，e2<＝，∴0|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)為焦點，長軸長為10的橢圓上，

5、得點P的軌跡方程為＋＝1. 8．(2019·四川南充模擬)已知橢圓＋＝1(0

6、 有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 則m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25， 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝5，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.所以點P的坐標(biāo)為(－3,0)或(3,0)． 10．(2019·南寧市摸底聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點坐標(biāo)是M(－4,1)，則橢圓的離心率是. 解析：設(shè)直線x－y＋5＝0與橢圓＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，因為AB的中點M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直線AB的斜率k＝＝1.由兩式相減得， ＋＝0， 所以＝－·，所

7、以－＝， 于是橢圓的離心率e＝＝＝. 三、解答題 11．(2019·云南曲靖模擬)已知橢圓C的兩個焦點分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，且橢圓C過點P. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若與直線OP(O為坐標(biāo)原點)平行的直線交橢圓C于A，B兩點，當(dāng)OA⊥OB時，求△AOB的面積． 解：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，由題意可得解得 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)直線OP的方程為y＝x，設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 將直線AB的方程代入橢圓C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0， 由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，

8、 得m2<4， 由OA⊥OB，得·＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x2＋mx1＋m＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2＝m2－＝0，得m2＝. 又|AB|＝ ＝·，O到直線AB的距離d＝＝. 所以S△AOB＝|AB|·d＝×××＝. 12．已知橢圓C：＋＝1，直線l：x＋y－2＝0與橢圓C相交于兩點P，Q，與x軸交于點B，點P，Q與點B不重合． (1)求橢圓C的離心率； (2)當(dāng)S△OPQ＝2時，求橢圓C的方程； (3)過原點O作直線l的垂線，垂足為N.若|PN|＝λ|BQ|，求λ的值． 解：(1)a2＝3m，b2＝m，c2＝2m，e

9、2＝＝， 故e＝. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將x＋y－2＝0代入橢圓C的方程并整理得4x2－12x＋12－3m＝0，依題意，由Δ＝(－12)2－4×4×(12－3m)>0得m>1. 且有 |PQ|＝|x1－x2| ＝·＝， 原點到直線l的距離d＝， 所以S△OPQ＝|PQ|·d＝×·×＝2，解得m＝>1，故橢圓方程為＋＝1. (3)直線l的垂線為ON：y＝x， 由解得交點N(1,1)． 因為|PN|＝λ|BQ|，又x1＋x2＝3， 所以λ＝＝＝＝1，故λ的值為1. 13．(2019·合肥市質(zhì)量檢測)如圖，橢圓＋＝1(a>0)的左、右焦點分別為F1

10、，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，交y軸于點H.若F1，H是線段MN的三等分點，則△F2MN的周長為(　D　) A．20 B．10 C．2 D．4 解析：由F1，H是線段MN的三等分點，得H是F1N的中點，又F1(－c,0)，∴點N的橫坐標(biāo)為c，聯(lián)立方程，得得N(c，)，∴H(0，)，M(－2c，－)．把點M的坐標(biāo)代入橢圓方程得＋＝1，化簡得c2＝，又c2＝a2－4，∴＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝.由橢圓的定義知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周長為|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1

11、|＝4a＝4，故選D. 14．(2019·南昌摸底調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，短軸長為2. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，若kOM·kON＝，求原點O到直線l的距離的取值范圍． 解：(1)由題知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2， ∴b＝1，a＝2， ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程， 得得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 依題意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化簡得m2<4k2＋1，① x1＋x

12、2＝－，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 若kOM·kON＝，則＝， 即4y1y2＝5x1x2， ∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2， ∴(4k2－5)·＋4km·(－)＋4m2＝0，即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0， 化簡得m2＋k2＝，② 由①②得0≤m2<，

13、1(a>b>0)的左頂點和上頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，在線段AB上有且只有一個點P滿足PF1⊥PF2，則橢圓的離心率的平方為(　B　) A. B. C. D. 解析：如圖，由題意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在線段AB上有且只有一個點P滿足PF1⊥PF2，得點P是以點O為圓心，線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2與線段AB的切點，連接OP，則OP⊥AB，且OP＝c，即點O到直線AB的距離為c. 又直線AB的方程為y＝x＋b，整理得bx－ay＋ab＝0，點O到直線AB的距離d＝＝c，兩邊同時平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(

14、a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，兩邊同時除以a4，得()2＋－1＝0，可得＝，則e2＝＝＝1－＝1－＝，故選B. 16．(2019·重慶六校聯(lián)考)如圖，記橢圓＋＝1，＋＝1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界為曲線C，P是曲線C上的任意一點，給出下列四個命題： ①P到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四點的距離之和為定值； ②曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱； ③曲線C所圍區(qū)域的面積必小于36； ④曲線C的總長度不大于6π. 其中正確命題的序號是②③. 解析：對于①，若點P在橢圓＋＝1上，P到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和為定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)兩點的距離之和不為定值，故①錯；對于②，聯(lián)立兩個橢圓的方程，得得y2＝x2，結(jié)合橢圓的對稱性知，曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱，故②正確；對于③，曲線C所圍區(qū)域在邊長為6的正方形內(nèi)部，所以其面積必小于36，故③正確；對于④，曲線C所圍區(qū)域的內(nèi)切圓為半徑為3的圓，所以曲線C的總長度必大于圓的周長6π，故④錯．故答案為②③. 8