高中數(shù)學 章末綜合測評2 新人教A版選修4-5

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章末綜合測評(二) (時間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．已知a，b，c，d都是正數(shù)，且bc＞ad，則，，，中最大的是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【解析】　因為a，b，c，d均是正數(shù)且bc＞ad， 所以有＞. ① 又－＝＝＞0， ∴＞， ② －＝＝＞0， ∴＞. ③ 由①②③知最大，故選D. 【答案】　D 2．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝1，則下列不等式中恒成立的是(　　) 【導(dǎo)學號：32750045】 A．xy＞yz B．xz＞yz C．x|y|＞z|y| D.xy＞xz 【解析】　法一　特殊值法：令x＝2，y＝0，z＝－1，可排除A，B，C，故選D. 法二　3z＜x＋y＋z＜3x，∴x＞＞z， 由x＞0，y＞z，得xy＞xz.故D正確． 【答案】　D 3．對于x∈[0,1]的任意值，不等式ax＋2b＞0恒成立，則代數(shù)式a＋3b的值(　　) A．恒為正值 B．恒為非負值 C．恒為負值 D.不確定 【解析】　依題意2b＞0，∴b＞0， 且a＋2b＞0，∴a＋2b＋b＞0，即a＋3b恒為正值． 【答案】　A 4．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，其中a，b均為正數(shù)，那么an與an＋1的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)n＞an＋1 B．a(chǎn)n＜an＋1 C．a(chǎn)n＝an＋1 D.與n的取值有關(guān) 【解析】　an＋1－an＝－ ＝. ∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N＋， ∴an＋1－an＞0，因此an＋1＞an. 【答案】　B 5．若實數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是(　　) A．18 B．6 C．2 D. 【解析】　3a＋3b≥2＝2＝23＝6，選B. 【答案】　B 6．設(shè)a＝lg 2－lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)＝b D.a≤b 【解析】　a＝lg 2－lg 5＝lg ＜0. 又x＜0，知0＜ex＜1，即0＜b＜1，∴a＜b. 【答案】　A 7．若不等式|kx－4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，則實數(shù)k＝(　　) A. B．2 C．6 D.2或6 【解析】　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2， ∴2≤kx≤6， ∵不等式的解集為{x|1≤x≤3}， ∴k＝2. 【答案】　B 8．設(shè)a＝x4＋y4，b＝x3y＋xy3，c＝2x2y2(x，y∈R＋)，則下列結(jié)論中不正確的是(　　) A．a(chǎn)最大 B．b最小 C．c最小 D.a，b，c可以相等 【解析】　因為b＝x3y＋xy3≥2＝2x2y2＝c，故B錯，應(yīng)選B. 【答案】　B 9．要使－＜成立，a，b應(yīng)滿足的條件是(　　) A．a(chǎn)b＜0且a＞b B．a(chǎn)b＞0且a＞b C．a(chǎn)b＜0且a＜b D．a(chǎn)b＞0且a＞b或ab＜0且a＜b 【解析】?。?(－)3＜a－b ?3＜3?ab(a－b)＞0. 當ab＞0時，a＞b；當ab＜0時，a＜b. 【答案】　D 10．已知x＝a＋(a＞2)，y＝(b＜0)，則x，y之間的大小關(guān)系是(　　) A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D.不能確定 【解析】　因為x＝a－2＋＋2≥2＋2＝4(a＞2)． 又b2－2＞－2(b＜0)， 即y＝＜－2＝4，所以x＞y. 【答案】　A 11．若a>0，b>0，則p＝(ab)，q＝abba的大小關(guān)系是(　　) A．p≥q B．p≤q C．p>q D.p0，則≥1，a－b≥0，從而≥1，得p≥q； 若b≥a>0，則0<≤1，a－b≤0，從而≥1，得p≥q. 綜上所述，p≥q. 【答案】　A 12．在△ABC中，A，B，C分別為a，b，c所對的角，且a，b，c成等差數(shù)列，則角B適合的條件是(　　) A．0＜B≤ B．0＜B≤ C．0＜B≤ D.＜B＜π 【解析】　由a，b，c成等差數(shù)列，得2b＝a＋c， ∴cos B＝＝， ＝＝－≥. 當且僅當a＝b＝c時，等號成立． ∴cos B的最小值為. 又y＝cos B在上是減函數(shù)，∴0＜B≤. 【答案】　B 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在題中橫線上) 13．用反證法證明命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是鈍角”時的假設(shè)是________． 【解析】　“三角形中最多只有一個內(nèi)角是鈍角”的對立事件是“三角形中內(nèi)角有2個鈍角或3個全是鈍角”，故應(yīng)填三角形中至少有兩個內(nèi)角是鈍角． 【答案】　三角形中至少有兩個內(nèi)角是鈍角 14．若實數(shù)m，n，x，y滿足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b(a≠b)，則mx＋ny的最大值為________. 【導(dǎo)學號：32750046】 【解析】　設(shè)m＝cos α，n＝sin α，x＝cos β，y＝sin β， 則mx＋ny＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)． 當cos(α－β)＝1時，mx＋ny取得最大值. 【答案】　 15．用分析法證明：若a，b，m都是正數(shù)，且a＜b，則＞.完成下列證明過程： ∵b＋m＞0，b＞0， ∴要證原不等式成立，只需證明 b(a＋m)＞a(b＋m)， 即只需證明________． ∵m＞0，∴只需證明b＞a， 由已知顯然成立．∴原不等式成立． 【解析】　b(a＋m)＞a(b＋m)與bm＞am等價， 因此欲證b(a＋m)＞a(b＋m)成立， 只需證明bm＞am即可． 【答案】　bm＞am 16．已知a，b，c，d∈R＋，且S＝＋＋＋，則S的取值范圍是________． 【解析】　由放縮法，得＜＜； ＜＜； ＜＜； ＜＜. 以上四個不等式相加，得1＜S＜2. 【答案】　(1,2) 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)已知m＞0，a，b∈R，求證：≤. 【證明】　∵m＞0，∴1＋m＞0. 所以要證原不等式成立， 只需證(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即證m(a2－2ab＋b2)≥0， 即證(a－b)2≥0， 而(a－b)2≥0顯然成立， 故原不等式得證． 18．(本小題滿分12分)實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)． 【證明】　假設(shè)a，b，c，d都是非負數(shù)， 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0， 則1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd， 這與已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假設(shè)錯誤， ∴a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)． 19．(本小題滿分12分)設(shè)a，b，c是不全相等的正實數(shù)．求證：lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c. 【證明】　法一　要證：lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c， 只需證lg＞lg(abc)， 只需證＞abc. ∵≥＞0，≥＞0，≥＞0， ∴≥abc＞0成立． ∵a，b，c為不全相等的正數(shù)，∴上式中等號不成立． ∴原不等式成立． 法二　∵a，b，c∈{正實數(shù)}， ∴≥＞0，≥＞0，≥＞0. 又∵a，b，c為不全相等的實數(shù)， ∴＞abc， ∴l(xiāng)g＞lg(abc)， 即lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c. 20．(本小題滿分12分)若0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，求證：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同時大于1. 【證明】　假設(shè)三數(shù)能同時大于1， 即(2－a)b＞1，(2－b)c＞1，(2－c)a＞1. 那么≥＞1， 同理＞1，＞1， 三式相加＞3， 即3＞3. 上式顯然是錯誤的，∴該假設(shè)不成立． ∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同時都大于1. 21．(本小題滿分12分)求證：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋). 【導(dǎo)學號：32750047】 【證明】　∵＝＞ ＝2(－)，k∈N＋， ∴1＋＋＋…＋ ＞2[(－1)＋(－)＋…＋(－)] ＝2(－1)． 又＝＜＝2(－)，k∈N＋， ∴1＋＋＋…＋ ＜1＋2[(－1)＋(－)＋…＋(－)] ＝1＋2(－1)＝2－1＜2. ∴2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)． 22．(本小題滿分12分)等差數(shù)列{an}各項均為正整數(shù)，a1＝3，前n項和為Sn.等比數(shù)列{bn}中，b1＝1，且b2S2＝64，是公比為64的等比數(shù)列． (1)求an與bn； (2)證明：＋＋…＋＜. 【解】　(1)設(shè){an}的公差為d(d∈N)，{bn}的公比為q，則an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1. 依題意 由①知，q＝64＝2， ③ 由②知，q為正有理數(shù)， 所以d為6的因子1,2,3,6中之一， 因此由②③知，d＝2，q＝8. 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1. (2)證明：Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)， 則＝＝. ∴＋＋＋…＋ ＝ ＝＜＝.