（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題八 數(shù)學文化及數(shù)學思想 第1講 數(shù)學文化練習 理 新人教A版

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1、第1講 數(shù)學文化 一、選擇題 1．“干支紀年法”是中國自古以來就一直使用的紀年方法．干支是天干和地支的總稱．天干、地支互相配合，配成六十組為一周，周而復始，依次循環(huán)．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個符號為天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為地支．如：公元1984年為農(nóng)歷甲子年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年．則2049年為農(nóng)歷(　　) A．己亥年　　　　　　　　 B．己巳年 C．己卯年 D．戊辰年 解析：選B．法一：由公元1984年為農(nóng)歷甲子年、公元1985年為農(nóng)歷乙丑年，公元1986年為農(nóng)歷丙寅年，可知以公元紀年的尾數(shù)在天干

2、中找出對應(yīng)該尾數(shù)的天干，再將公元紀年除以12，用除不盡的余數(shù)在地支中查出對應(yīng)該余數(shù)的地支，這樣就得到了公元紀年的干支紀年.2049年對應(yīng)的天干為“己”，因其除以12的余數(shù)為9，所以2049年對應(yīng)的地支為“巳”，故2049年為農(nóng)歷己巳年．故選B． 法二：易知(年份－3)除以10所得的余數(shù)對應(yīng)天干，則2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余數(shù)是6，即對應(yīng)的天干為“己”． (年份－3)除以12所得的余數(shù)對應(yīng)地支，則2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余數(shù)是6，即對應(yīng)的地支為“巳”，所以2049年為農(nóng)歷己巳年．故選B． 2．北宋數(shù)學家沈括的主要成就之一為隙積術(shù)，所謂

3、隙積，即“積之有隙”者，如累棋、層壇之類，這種長方臺形狀的物體垛積．設(shè)隙積共n層，上底由a×b個物體組成，以下各層的長、寬依次增加一個物體，最下層(即下底)由c×d 個物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為s＝[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋(c－a)，其中a是上底長，b是上底寬，c是下底長，d是下底寬，n為層數(shù)．已知由若干個相同小球粘黏組成的隙積的三視圖如圖所示，則該隙積中所有小球的個數(shù)為(　　) A．83 B．84 C．85 D．86 解析：選C．由三視圖知，n＝5，a＝3，b＝1，c＝7，d＝5，代入公式s＝[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋(c－a)得s＝85，

4、故選C． 3．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其意思為：“有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，走了六天后(第六天剛好用完)到達目的地．”若將此問題改為“第6天到達目的地”，則此人第二天至少走了(　　) A．96里 B．48里 C．72里 D．24里 解析：選A．根據(jù)題意知，此人每天行走的路程構(gòu)成了公比為的等比數(shù)列．設(shè)第一天走a1里，則第二天走a2＝a1(里)．易知≥378，則a1≥192. 則第二天至少走96里．故選A． 4．《數(shù)術(shù)記遺》相傳

5、是漢末徐岳(約公元2世紀)所著，該書主要記述了：積算(即籌算)、太乙算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數(shù)算、把頭算、龜算、珠算、計數(shù)共14種計算方法．某研究性學習小組3人分工搜集整理該14種計算方法的相關(guān)資料，其中一人4種，其余兩人每人5種，則不同的分配方法種數(shù)是(　　) A． B． C． D．CCC 解析：選A．先將14種計算方法分為三組，方法有種，再分配給3個人，方法有×A種．故選A． 5．我國古代的天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷(ɡuǐ)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)．二十四個

6、節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復始．若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是(　　) A．五寸　　　　　　　　 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 解析：選B．設(shè)從夏至到冬至的晷長依次構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷長是25寸．故選B． 6．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為

7、5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：選C．因為該直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，所以其斜邊長為13步，設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為r，則×5×12＝(5＋12＋13)r，解得r＝2.由幾何概型的概率公式，得此點取自內(nèi)切圓內(nèi)的概率P＝＝.故選C． 7．《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“”當作數(shù)字“1”，把陰爻“”當作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如

8、下： 卦名 符號 表示的二進制數(shù) 表示的十進制數(shù) 坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽 011 3 依次類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號為“”，其表示的十進制數(shù)是(　　) A．33 B．34 C．36 D．35 解析：選B．由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦的符號“”表示的二進制數(shù)為100010，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)為0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故選B． 8．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有賣牛二、羊五，以買一十三豕，有余錢一千；賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足；賣六羊、八豕，以買五牛

9、，錢不足六百，問牛、羊、豕價各幾何？”依上文，設(shè)牛、羊、豕每頭價格分別為x元、y元、z元，設(shè)計如圖所示的程序框圖，則輸出的x，y，z的值分別是(　　) A．，600， B．1 200，500，300 C．1 100，400，600 D．300，500，1 200 解析：選B．根據(jù)程序框圖得： ①y＝300，z＝，x＝，i＝1，滿足i<3； ②y＝400，z＝，x＝，i＝2，滿足i<3； ③y＝500，z＝300，x＝1 200，i＝3，不滿足i<3； 故輸出的x＝1 200，y＝500，z＝300.故選B． 9．(2019·洛陽市統(tǒng)考)如圖所示，三國時代數(shù)學家在《周脾算

10、經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影)，設(shè)直角三角形有一個內(nèi)角為30°，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒(大小忽略不計，取≈1.732)，則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為(　　) A．20 B．27 C．54 D．64 解析：選B．設(shè)大正方形的邊長為2，則小正方形的邊長為－1，所以向弦圖內(nèi)隨機投擲一顆米粒，落入小正方形(陰影)內(nèi)的概率為＝1－，向弦圖內(nèi)隨機拋擲200顆米粒，落入小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為200×(1－)≈27，故選B． 10．《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系

11、統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”該術(shù)相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈L2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選A．依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則V＝πr2h≈L2h＝(2πr)2h，化簡得π≈.故選A． 11．中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一

12、．”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為(　　) A． B． C．39 D． 解析：選B．設(shè)下底面的長為x，則下底面的寬為＝9－x.由題可知上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，所以其體積V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋＋，故當x＝時，體積取得最大值，最大值為－＋×＋＝.故選B． 12．在《九

13、章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖所示，鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點P在棱AC上運動，設(shè)CP的長度為x，若△PBD的面積為f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是(　　) 解析：選A．如圖，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，連接PR，則PQ∥AB，QR∥CD.　 因為PQ⊥BD，又PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR為△PBD中BD邊上的高． 設(shè)AB＝BD＝CD＝1，則＝＝，即PQ＝， 又＝＝＝，所以QR＝， 所以PR＝＝＝， 所以f(x)＝＝，故選A． 二、填空題 13．古希臘畢達

14、哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個三角形數(shù)為＝n2＋n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式： 三角形數(shù)　N(n，3)＝n2＋n； 正方形數(shù)　N(n，4)＝n2； 五邊形數(shù)　N(n，5)＝n2－n； 六邊形數(shù)　N(n，6)＝2n2－n； …… 可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10，24)＝________． 解析：易知n2前的系數(shù)為(k－2)，而n前的系數(shù)為(4－k)． 則N(n，k)＝(k－2)n2＋(4－k)n， 故N(10，24)＝×(24－2)×102＋×(4－24)×1

15、0＝1 000. 答案：1 000 14. (2019·湖南師大附中模擬)莊子說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話描述的是一個數(shù)列問題，現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，若輸入某個正整數(shù)n后，輸出的S∈，則輸入的n的值為________． 解析：框圖中首先給累加變量S賦值0，給循環(huán)變量k賦值1， 輸入n的值后，執(zhí)行循環(huán)體，S＝，k＝1＋1＝2. 若2>n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S＝，k＝2＋1＝3. 若3>n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S＝，k＝3＋1＝4. 若4>n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S＝，k＝4＋1＝5. 若5>n不成立，執(zhí)行循環(huán)體，S＝，k＝5＋1＝6. 若6>n不成立，執(zhí)行

16、循環(huán)體，S＝，k＝6＋1＝7. … 由輸出的S∈(，)，可得當S＝，k＝6時，應(yīng)該滿足條件6>n，所以5≤n<6，故輸入的正整數(shù)n的值為5. 答案：5 15．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第1天長高3尺，莞草第1天長高1尺．以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2倍．問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第________天時，蒲草和莞草的高度相同．(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301

17、0)． 解析：由題意得，蒲草的長度組成首項為a1＝3，公比為的等比數(shù)列{an}，設(shè)其前n項和為An；莞草的長度組成首項為b1＝1，公比為2的等比數(shù)列{bn}，設(shè)其前n項和為Bn.則An＝，Bn＝，令＝，化簡得2n＋＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝＝1＋≈3，即第3天時蒲草和莞草長度相等． 答案：3 16．劉徽《九章算術(shù)注》記載：“邪解立方，得兩塹堵．邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．”意即把一長方體沿對角面一分為二，這相同的兩塊叫塹堵，沿塹堵的一頂點與其相對的面的對角線剖開成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉臑，兩者體積之比為定值2∶1，這一結(jié)論今稱劉徽原理．如圖是一個陽馬的三視圖，則其外接球的體積為________． 解析：由三視圖得陽馬是一個四棱錐，如圖中四棱錐P-ABCD，其中底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD且PA＝1，所以PC＝，PC是四棱錐P-ABCD的外接球的直徑，所以此陽馬的外接球的體積為3＝. 答案： - 9 -