（浙江專用）2020版高考數學大一輪復習 第四章 三角函數、解三角形 第5講 三角函數的圖象與性質練習（含解析）

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1、第5講 三角函數的圖象與性質 [基礎達標] 1．最小正周期為π且圖象關于直線x＝對稱的函數是(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：選B.由函數的最小正周期為π，可排除C.由函數圖象關于直線x＝對稱知，該直線過函數圖象的最高點或最低點，對于A，因為sin＝sin π＝0，所以選項A不正確．對于D，sin＝sin＝，所以D不正確，對于B，sin＝sin＝1，所以選項B正確，故選B. 2．(2019·合肥市第一次教學質量檢測)函數y＝sin(ωx＋)在x＝2處取得最大值，則正數ω的最小值為(　　) A． B． C． D． 解析：

2、選D.由題意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋kπ(k∈Z)，因為ω>0，所以當k＝0時，ωmin＝，故選D. 3．(2019·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)下列四個函數：y＝sin|x|，y＝cos|x|，y＝|tan x|，y＝－ln|sin x|，以π為周期，在上單調遞減且為偶函數的是(　　) A．y＝sin|x| B．y＝cos|x| C．y＝|tan x| D．y＝－ln|sin x| 解析：選D.A.y＝sin|x|在上單調遞增，故A錯誤；B.y＝cos|x|＝cos x周期為T＝2π，故B錯誤；C.y＝|tan x|在上單調遞增，故C錯誤；D.f(x＋π)＝－ln|s

3、in(x＋π)|＝－ln|sin x|，周期為π，當x∈時，y＝－ln(sin x)是在上單調遞減的偶函數，故D正確，故選D. 4．(2017·高考全國卷Ⅲ)設函數f(x)＝cos(x＋)，則下列結論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在(，π)單調遞減 解析：選D.根據函數解析式可知函數f(x)的最小正周期為2π，所以函數的一個周期為－2π，A正確；當x＝時，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正確；f(x＋π)＝cos＝cos，當x＝時，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正確；

4、函數f(x)＝cos在上單調遞減，在上單調遞增，故D不正確．所以選D. 5．若函數f(x)＝sin(ω>0)在區(qū)間(π，2π)內沒有最值，則ω的取值范圍是(　　) A．∪ B．∪ C． D． 解析：選B.易知函數y＝sin x的單調區(qū)間為 [kπ＋，kπ＋]，k∈Z， 由kπ＋≤ωx＋≤kπ＋，k∈Z，得≤x≤，k∈Z， 因為函數f(x)＝sin(ω>0)在區(qū)間(π，2π)內沒有最值， 所以f(x)在區(qū)間(π，2π)內單調， 所以(π，2π)?，k∈Z， 所以k∈Z，解得k＋≤ω≤＋，k∈Z， 由k＋≤＋，得k≤， 當k＝0時，得≤ω≤； 當k＝－1時，得－≤ω≤.

5、 又ω>0，所以0<ω≤. 綜上，得ω的取值范圍是∪.故選B. 6．已知函數f(x)＝sin，f′(x)是f(x)的導函數，則函數y＝2f(x)＋f′(x)的一個單調遞減區(qū)間是(　　) A． B． C． D． 解析：選A.由題意，得f′(x)＝2cos，所以y＝2f(x)＋f′(x)＝2sin＋2cos＝2sin＝2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以y＝2f(x)＋f′(x)的一個單調遞減區(qū)間為，故選A. 7．函數y＝lg sin x＋ 的定義域為________． 解析：要使函數有意義，則有 即解得(k∈Z)， 所以2kπ<

6、x≤＋2kπ，k∈Z. 所以函數的定義域為. 答案： 8．函數y＝(4－3sin x)(4－3cos x)的最小值為________． 解析：y＝16－12(sin x＋cos x)＋9sin xcos x， 令t＝sin x＋cos x，則t∈[－，]，且sin xcos x＝，所以y＝16－12t＋9×＝(9t2－24t＋23)． 故當t＝時，ymin＝. 答案： 9．(2019·溫州市高中模考)已知函數y＝sin x的定義域為[a，b]，值域為，則b－a的最大值和最小值之差等于________． 解析：如圖，當x∈[a1，b]時，值域為且b－a最大；當x∈[a2，b]時

7、，值域為，且b－a最小，所以最大值與最小值之差為(b－a1)－(b－a2)＝a2－a1＝－－＝. 答案： 10．(2019·杭州學軍中學質檢)已知f(x)＝sin 2x－cos 2x，若對任意實數x∈，都有|f(x)|

8、)若f(x)的最大值是，求φ的值． 解：(1)由題意f(x)＝cos 2x－sin 2x＋ ＝cos＋， 由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，得kπ－≤x≤kπ－. 所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為，k∈Z. (2)由題意f(x)＝cos 2x－sin φsin 2x＋，由于函數f(x)的最大值為， 即＋＝1，從而cos φ＝0， 又0≤φ＜π，故φ＝. 12．(2019·臺州市高三期末評估)已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π，且x＝為f(x)圖象的一條對稱軸． (1)求ω和φ的值； (2)設函數g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的單調遞減區(qū)間． 解：(1)因

9、為f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π， 由T＝＝π，所以ω＝2， 由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z， 所以f(x)的圖象的對稱軸為x＝＋－，k∈Z. 由＝＋－，得φ＝kπ＋. 又|φ|≤，則φ＝. (2)函數g(x)＝f(x)＋f＝sin＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋sin 2x＝sin. 所以g(x)的單調遞減區(qū)間為，k∈Z. [能力提升] 1．(2019·湖州市高三期末考試)若α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，則必有(　　) A．α2＜β2 B．α2＞β2 C．α＜β D．α＞β 解析：選B.α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，即

10、αsin α＞βsin β，再根據y＝xsin x為偶函數，且在上單調遞增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故選B. 2．若f(x)＝cos 2x＋acos 在區(qū)間上是增函數，則實數a的取值范圍為(　　) A．[－2，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－∞，－4] 解析：選D.f(x)＝1－2sin2x－asin x，令sin x＝t，t∈，則g(t)＝－2t2－at＋1，t∈，因為f(x)在上單調遞增，所以－≥1，即a≤－4，故選D. 3．(2019·浙江“七彩陽光”聯(lián)盟高三聯(lián)考)已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)的圖象過點，若f(x)≤f對x∈R恒成立，則

11、ω的值為________；當ω最小時，函數g(x)＝f－在區(qū)間[0，22]的零點個數為________． 解析：由題意得φ＝，且當x＝時，函數f(x)取到最大值，故ω＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝1＋12k，k∈N，又因為ω＞0，所以ω的最小值為1，因此，g(x)＝f－＝sin x－的零點個數是8個． 答案：1＋12k(k∈N)　8 4．(2019·金華市東陽二中高三調研)設函數f(x)＝sin－2cos2x＋1(ω>0)，直線y＝與函數f(x)圖象相鄰兩交點的距離為π. (1)求ω的值； (2)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若點是函數y＝f(x)圖象的一個對稱

12、中心，且b＝3，求△ABC面積的最大值． 解：(1)函數f(x)＝sin－2cos2x＋1 ＝sin ωxcos－cos ωxsin－2·＋1 ＝sin ωx－cos ωx＝sin. 因為f(x)的最大值為，所以f(x)的最小正周期為π， 所以ω＝2. (2)由(1)知f(x)＝sin， 因為sin＝0?B＝， 因為cos B＝＝＝， 所以ac＝a2＋c2－9≥2ac－9，ac≤9， 故S△ABC＝acsin B＝ac≤. 故△ABC面積的最大值為. 5．已知a>0，函數f(x)＝－2asin＋2a＋b，當x∈時，－5≤f(x)≤1. (1)求常數a，b的值； (2

13、)設g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的單調區(qū)間． 解：(1)因為x∈，所以2x＋∈. 所以sin∈， 所以－2asin∈[－2a，a]． 所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因為－5≤f(x)≤1， 所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1， g(x)＝f＝－4sin－1 ＝4sin－1， 又由lg g(x)>0，得g(x)>1，所以4sin－1>1， 所以sin>， 所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z， 其中當2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z時，g(x)單調遞增，即kπ