《大學數(shù)學》輔導講義.ppt

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《大學數(shù)學》輔導講義稿,賀家順2001-9-7,2001春開放教育《計算機》?？频诙W期,,總目錄,前言輔導進度第一章《多元函數(shù)的微積分》輔導提綱第二章《矩陣》輔導提綱第三章《線性方程組》輔導提綱第四章《隨機事件與概率》輔導提綱第五章《隨機變量及其數(shù)字特征》輔導提綱第六章《統(tǒng)計推斷》輔導提綱總復習提綱,前言,相信自己的能力，提高學習信心；加強自學，降低依賴心；抓住重點，突破難點；注意學習方法，聯(lián)系前面所學知識，化“厚”為“薄”，多看多練；結合生產(chǎn)、生活，深入書中，其樂無窮。,,輔導進度表,,第一章輔導提綱（1）,一、學習重點：1、求偏導數(shù)、全微分的方法；復合函數(shù)的微分法和求隱函數(shù)的偏導數(shù)的方法；用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法。2、直角坐標系、極坐標系下二重積分的計算方法3、曲頂柱體的體積和曲面圍成的空間的體積的求法。,,第一章輔導提綱（2）,二、注意二元函數(shù)的微積分和一元函數(shù)微積分的聯(lián)系、區(qū)別注意二元函數(shù)的微積分和一元函數(shù)微積分聯(lián)系起來，會達到事半功倍的學習效果，但也要幾點區(qū)別，不能一概而論；要善于把二元函數(shù)的微積分化為一元函數(shù)微積分。二元函數(shù)的微積分和一元函數(shù)微積分聯(lián)系、區(qū)別如下表：,,第二章《矩陣》輔導提綱,矩陣及矩陣的運算；逆矩陣和求法；方陣行列式及計算方法；線性方程組的克萊姆法則；矩陣的秩和矩陣的秩的大小判定；分塊矩陣和運算,,一、矩陣的概念和幾種運算1、矩陣的概念A）矩陣、元素和表示；B）n階矩陣、主對角線、次對角線；C）零矩陣、字母O表示；負矩陣；單位矩陣——方陣D）同型矩陣,矩陣及矩陣的運算,二、矩陣的運算1、矩陣相等；2、矩陣的加法；3、數(shù)與矩陣的乘法；4、矩陣的乘法；5、矩陣的轉置；三、幾種特殊的矩陣（方陣）A）數(shù)量矩陣；B）對角矩陣；C）三角矩陣；D）對稱矩陣；（乘不封閉）,矩陣及矩陣的運算,N階矩陣的行列式,n階矩陣的行列式的定義；展開；n階矩陣的行列式的性質；3、5、7、2推論n階矩陣的行列式的計算；（二三階、高階）方陣行列式定理。NO119,第三章《線性方程組》輔導主要內容,求線性方程組的一般解的高斯消元法；向量的線性運算；齊次線性方程組的通解的求法；非線性方程組的通解的求法。,,,第三章《線性方程組》1,一、高斯消元法1、基本概念和定理1）線性方程的一般形式和矩陣表示：不全為零時，稱（*）為非齊次線性方程組；時，稱（**）齊次線性方程組。**,*,如,如,第三章《線性方程組》2,矩陣表達式：設,,則（*）簡寫為：,為增廣矩陣,A為系數(shù)矩陣；X為未知數(shù)矩陣；B為右端矩陣,（**）為,第三章《線性方程組》3,2）基本定理：P185定理3.1。意義：利用初等行變換把增廣矩陣[A|B]化為階梯矩陣簡化線性方程組的求解過程。2、例題與練習例1：求下列線性方程組的（通）解解法1：[1]x[-1]=2,初等解法得x=1,y=2。解法2：因為系數(shù)矩陣用克萊姆法則：,第三章《線性方程組》4,解法3：高斯消元法,最后矩陣相當于方程組,注：1）對增廣矩陣的初等行變換過程~線性方程同解變形過程2）可根據(jù)最后一個矩陣直接寫出結果,第三章《線性方程組》5,例題2：求下列線性方程組的（通）解,注：不能用克萊姆法則,解1：即x+y=1,有2-1個自由未知量，一般解為x=1-y,令y=k,通解為x=1-k，y=k（k為任意實數(shù)）。,解2：高斯消元法,也可寫作：,第三章《線性方程組》6,例3：求下列線性方程組的（通）解,解法1：得0=-1，無解,解法2：,無解,注：例1、2線性方程組稱為相容線性方程組；例3為不相容線性方程組。另外，高斯消元法比克萊姆法則更具有通用性。,第三章《線性方程組》7,例4：求下列線性方程組的（通）解,解：,有三個獨立的方程，五個未知量，因而有5-3=2個自由未知量，一般解為：,,第三章《線性方程組》8,(令x4=k1,x5=k2),矩陣表示式由來后面詳講,第三章《線性方程組》9,二、n維向量及相關定理1、把二維、三維向量推廣到n維P195（定義、表示、分量）2、n維向量的線性運算,設,為兩個同維向量，則,,n維向量和,的矩陣本質相同；一個矩陣可看作若干個列（行）向量組成。,第三章《線性方程組》10,3、相關定義、定理：1）線性組合（表出）的概念（P198）2）線性表出的充要條件、組合系數(shù)的求法（P199及P200例4）例4設,（以下略）,3）向量組的線性相關性和無關性定義、判定定理（不全為零、全為零）,4）向量組的極大無關組與向量組的秩的概念和求法、常用線性無關組,注：1)向量組的秩=矩陣的秩2)由于初等行變換不改變向量組線性相關性，極大無關組由主元不為零組成（可構成上三角矩陣）,第三章《線性方程組》11,三、齊次線性方程組（**）解的結構,,1、預備知識：線性方程（*）組相容性定理；解的個數(shù)定理。P218、P219,2、齊次線性方程組（**）解的結構,1）平凡解、非平凡解及有關結論P224,2）解的結構——基礎解系的線性組合、通解,3、齊次線性方程組（**）解的非平凡解的求法（P225）,例：求下面齊次線性方程組的解的通解,,第三章《線性方程組》12,解：,由此可見x4x5為自由元。于是令x4=1,x5=0和x4=0,x5=1,得解向量,原方程組的通解為,第三章《線性方程組》13,三、非齊次線性方程組（*）解的結構,1、有關結論：P230,2、解的結構（無窮解時）通解=（*）特解+齊次線性方程組（**）通解,3、（*）通解求法,例4：求下列線性方程組的（通）解,第三章《線性方程組》14,解：,因為系數(shù)矩陣的秩=增廣矩陣的秩=3<5，所以原方程組有無窮解，且有2個自由變元x4,x5。令x4=x5=0，和x4=1,x5=0和x4=0,x5=1,可得1個特解和相應齊次線性方程組的基礎解系,,通解為,,第三章《線性方程組》15,作業(yè)：P202No.1No.3P209No.1No.7P217No.1(1)No.2P223No.6P234No.1,第三篇概率論與數(shù)理統(tǒng)計,學習的意義學習內容：第四章：隨機事件與概率——古典實用的概率論；（古典、與貝努里概型貌的概率第五章：隨機變量及數(shù)字特征——用隨機變量刻劃隨機事件；研究概率。第六章：統(tǒng)計推斷——用樣本（的數(shù)字）特征推斷總體（的數(shù)字）特征,第四章隨機事件與概率4-1,一、基本概念隨機現(xiàn)象與隨機事件1）隨機現(xiàn)象及統(tǒng)計規(guī)律2）隨機試驗及特點：為研究隨機的統(tǒng)計規(guī)律，表示：E；三個特點3）隨機事件及特點：基本事件（樣本點）：隨機試驗中，每一可能發(fā)生的不能再分解的基本結果。表示：樣本空間：U隨機事件：U的子集。表示：A、B、C、D……。如：U=｛1，2，3，4，5，6｝，A={出現(xiàn)三點}={3}，B={出現(xiàn)3點或4點}={3，4}，C={出現(xiàn)偶數(shù)點}={2，4，6}等，是U的子集為隨機事件。,第四章隨機事件與概率4-2,事件的關系和運算(重點是把事件符號化，利于后面的計算）1）事件的包含和相等：2）事件的和：A+B3）事件積：AB（和包含不同）？4）事件的差：A-B5）互不相容事件：（互斥事件）6）對立事件：（和互斥事件不同）7）完備事件組：兩兩互不相容且和是必然事件,第四章隨機事件與概率4-3,概率及其性質1）頻數(shù)、頻率、概率的穩(wěn)定性、概率：P（A）2）概率的性質※頻率※※※完全可加性：兩兩互不相容，則,第四章隨機事件與概率4-4,二、古典概型及概率的計算1）古典概型：試驗結果個數(shù)有限；試驗結果出現(xiàn)的可能性相同；基本事件互不相容。2）古典概型的概率的計算：P（A）=※簡單算法：P270例2、例3、例4（1）※排列組合算法：例4（2）（3）概率的運算及法則：——復雜事件的概率簡單事件概率,,,1）,2）,3）,4）,5）若A1，A2，A3構成完備事件組：P295,第四章隨機事件與概率4-5,三、貝努里概型及概率的計算事件的獨立性：P（A|B）=P（A）兩事件獨立P（AB）=P（A）P（B）貝努里概型：若試驗E：結果只有兩個；在相同條件下獨立的重復n次；n次試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率：例題：P291例6,,第五章隨機變量及數(shù)字特征5-1,一、隨機變量（函數(shù)）及分布、期望、方差;二、常用隨機變量的分布三、二維隨機變量及其聯(lián)合分布、期望、方差、；,第五章隨機變量及數(shù)字特征5-2,一、隨機變量及其分布1、隨機變量的概念及和事件的關系#取值是隨機，事前并不知道取到哪一個值；#所取的每一個值，都對應于某一事件；#所取的每一個值的概率大小是確定的。例題1：擲一骰子，A={出現(xiàn)1點}，B={出現(xiàn)2點}，C={出現(xiàn)3點}F={出現(xiàn)6點}，G={出現(xiàn)2點或出現(xiàn)3點}，H={出現(xiàn)1點或出現(xiàn)2點或出現(xiàn)3點}；X表示擲此骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則X可能的取值為1，2，3，4，5，6是隨機的且所以,X可能的取值是有限個或可數(shù)個——離散型隨機變量,第五章隨機變量及數(shù)字特征5-3,例題2：P309例題3——連續(xù)型隨機變量（非離散型隨機變量中常見的一種）2、隨機變量的分布：取值規(guī)律,例題3：例題1的隨機變量X的分布列,第五章隨機變量及數(shù)字特征5-4,二、分布函數(shù)：（累加概率）,例題4:例題1的分布函數(shù)是：,第五章隨機變量及數(shù)字特征5-5,三、隨機變量的函數(shù)的分布1、概念：對于例題1中的中隨機變量X，設Y是X的函數(shù)，Y也是隨機變量2、隨機變量的函數(shù)的分布：例題6：例題1中，設Y=2X+1，求隨機變量X的函數(shù)Y的分布。解：X的可能取值為：1，2，3，4，5，6。所以Y的可能取值為3，5，7，9，11，13。且例題7：書P318例題11、例題12,第五章隨機變量及數(shù)字特征5-6,四、隨機變量的數(shù)字特征及性質,方差的簡化計算公式及性質：例8：P324例3、4、5和P325的性質,第五章隨機變量及數(shù)字特征5-7,五、幾種常用的分布及數(shù)字特征1、離散型,第五章隨機變量及數(shù)字特征5-8,2、連續(xù)型,第五章隨機變量及數(shù)字特征5-9,3、正態(tài)分布1）密度函數(shù)#圖象：#性質：P332#適用：#標準正態(tài)分布：密度函數(shù)：分布函數(shù)：性質：3σ原則：,,,第五章隨機變量及數(shù)字特征5-9,六、二維隨機變量1、聯(lián)合概率分布、聯(lián)合分布密度函數(shù)、聯(lián)合分布函數(shù)2、二維隨機變量的獨立性3、二維隨機變量的函數(shù)的期望和方差公式：（主要是Z=X+YZ=XY）#E（X+Y）=E（X）+E（Y）#D(X+Y)=D(X)+D(Y)-2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}#若X，Y相互獨立，則E（XY）=E（X）E（Y）#若X，Y相互獨立，則D（X+Y）=D（X）+D（Y）4、協(xié)方差和相關系數(shù)#協(xié)方差：cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)#若X，Y相互獨立，則cov(X,Y)=05、相關系數(shù)##相關系數(shù)|ρ|越接近1X與Y越接近線性關系。,第六章統(tǒng)計推斷6-1,主要內容：由樣本的數(shù)字特征對總體的數(shù)字特征進行估計和（一定概率下）的推斷一、矩估計、最大似然估計二、用區(qū)間估計正態(tài)總體期望的置信區(qū)間三、單正態(tài)總體均值和方差的（顯著性）檢驗,第六章統(tǒng)計推斷6-2,一、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念#總體和樣本#樣本均值和樣本方差#統(tǒng)計量：一個含有樣本值x1,x2,x3的式子，且不含未知量#統(tǒng)計量分布（抽樣分布）：設x1，x2，x3，，xn是來自正態(tài)總體的一組樣本，則：,第六章統(tǒng)計推斷6-3,二、參數(shù)的點估計1、矩估計法#原理：總體矩=相應的樣本矩2、最大似然估計#原理方法：求使似然函數(shù)值為最大時的參數(shù)例：P383例43、參數(shù)估計的無偏性和有效性#若參數(shù)的估計量滿足：,第六章統(tǒng)計推斷6-4,三、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1、原理：點估計可信度？在一定的概率（置信度）保證下的區(qū)間（置信區(qū)間）估計更可靠！2、正態(tài)總體的數(shù)學期望估計#已知方差#未知方差,第六章統(tǒng)計推斷6-5,3、正態(tài)總體的方差點估計（了解）#原理方法：,第六章統(tǒng)計推斷6-6,四、假設檢驗：對樣本與總體產(chǎn)生的誤差作出判斷（條件？隨機？）基本思想：在假設H0成立的條件下，求出接受域（區(qū)間），樣本的統(tǒng)計量落在接受域就說H0，否則H0的反面成立。主要正態(tài)總體介紹U和T檢驗法。1、U檢驗法（總體方差已知，檢驗數(shù)學期望）例1：P403例22、T檢驗法（總體方差不知，檢驗數(shù)學期望）例2：P403例53、X2檢驗法（總體數(shù)學期望不知檢驗方差）例3：P408例7,第六章統(tǒng)計推斷6-7,作業(yè)：P373練習6。1№2，№3，№4P388№5№7P397№5P410№2№3,