《數(shù)學(xué)人教Ａ版必修5：求數(shù)列的通項公式的策略與常用方法 講義（Word版含答案）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)人教Ａ版必修5：求數(shù)列的通項公式的策略與常用方法 講義（Word版含答案）（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
求數(shù)列的通項公式的策略與常用方法
一、觀察法：
1．觀察下列等式:
照此規(guī)律, 第個等式可為_______.
二、公式法：
（一）用等差、等比數(shù)列通項公式。
（二）若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式 求解。使用此公式須注意：①是正用還是逆用；②須分類討論；③如何求；④結(jié)論的書寫。
1.已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的通項公式為
2．正項數(shù)列滿足:___ ___.
【答案】因為,所以數(shù)列是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,所以,所以,所以.
3．設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為．已知，求的通項公式．
解：由題設(shè)知，則 ②
由
2、②得，，，
因為，解得或．
當(dāng)時，代入①得，通項公式；
當(dāng)時，代入①得，通項公式．
4. 已知等差數(shù)列的前項和，且，.
（1）求數(shù)列的通項公式.
（2）設(shè)，是否存在使得,,成等比數(shù)列？若存在，請說明理由.
略解：（1）由基本量可求得
（2）假設(shè)存在使得,,成等比數(shù)列，則，
，,,
，整理得
因為，所以，解得
又因，，所以，此時
所以存在，使得,,成等比數(shù)列
5．已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項和滿足
（1）求證：是等差數(shù)列
（2）若，求的前項和的最小值
解：（1） ∴
時，
整理得：
∵ 是正整數(shù)數(shù)列 ∴ ∴
∴ 是首項為2，公差為4
3、的等差數(shù)列 ∴
（2）∴ 為等差數(shù)列 ∴
∴ 當(dāng)時，的最小值為
6.已知正項數(shù)列的前項和為，且為和的等差中項，則=
略解：（用公式法求通項公式）因為和的等差中項，則有，消得，進(jìn)而得
7. 已知數(shù)列的前項和為，且滿足， （且）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求和.
解析：（１）證明：當(dāng)時，，①
由上式知若，則
，由遞推關(guān)系知，
∴由①式可得：當(dāng)時，
∴是等差數(shù)列，其中首項為，公差為.
（2）， .
當(dāng)時，，
當(dāng)時，不適合上式， ∴ .
【思路點(diǎn)撥】證明數(shù)列為等差數(shù)列通常利用其定義證明，一般遇到由數(shù)列的前n項和與項的遞推關(guān)
4、系通常先轉(zhuǎn)化為項的遞推關(guān)系或者和的遞推關(guān)系，再進(jìn)行解答.
8.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}和{bn}的通項公式.
【分析】(1)可通過題意中的以及對兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果。
【詳解】(1)由題意可知，，，，
所以，即，
所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，，
因為，
所以，數(shù)列是首項、公差為等差數(shù)列，。
(2)由(1)可知，
5、，，
所以，。
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。
三、疊加法：形如型
1.已知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項公式.
答案：
2. 已知數(shù)列滿足， .
令，證明：是等比數(shù)列；
(Ⅱ)求的通項公式。
解:（1）證
當(dāng)時，
所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列。
（2）解由（1）知
當(dāng)時，
當(dāng)時，。
所以。
3．在數(shù)列中，，，則（ A ）
A． B． C． D．
評注：已知,，其中可以是關(guān)于的分式
6、函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，求通項.
①若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。
②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;
③若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;
④若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和;
四．疊乘法：形如型
1．已知數(shù)列中,,前項和.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求的通項公式.
解:(1)由與可得
,
故所求的值分別為.
(2)當(dāng)時,① ②
①-②可得即
故有
而,所以的通項公式為
五、作差法：已知（即）求，常用作差法。
1．?dāng)?shù)列{}滿足=1，=+2+3+…+（n-1） (),則{}的通項公
7、式=______________
2．設(shè)數(shù)列滿足，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
解：(I)
驗證時也滿足上式，
(II) ，
，
六、作商法：已知求，常用作商法：。
1.已知...…..=n 2,求
2.已知數(shù)列滿足，則=（ B ）
A. B. C. D.
解析：,,
，
七、周期性：
（三）類似周期函數(shù)型
1．若數(shù)列{an}滿足若，則的值為（ B ）
A． B． C． D．
【講解】逐步計算，可得
,
這說明數(shù)列{an}
8、是周期數(shù)列，而, 所以．應(yīng)選B．
【點(diǎn)評】分段數(shù)列問題是一種新問題，又涉及到周期數(shù)列，顯示了以能力立意，題活而不難的特色．
2．?dāng)?shù)列滿足，，則=
3. 在數(shù)列中，，則 .
【解析】由得，所以該數(shù)列的周期為6，故，由
4.已知數(shù)列滿足等于的個位數(shù)，則（ A ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【分析】根據(jù)條件算出幾項直到找出規(guī)律即可得出答案．
【詳解】∵已知等于的個位數(shù)，
則，…，
可以看出：從開始重復(fù)出現(xiàn)從到的值：8，4，2，8，6，8．
因此，∴.故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能
9、力，由已知條件找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
八．構(gòu)造法：
（Ⅰ）線性構(gòu)造：
（一）．形如,其中)型
1．已知數(shù)列中，求通項.
解：由得,
所以數(shù)列構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列
所以,即 .
（二）形如型
1.在數(shù)列中，求通項.
解：， ①
時，，
兩式相減得 .令,則
即 ②
再由累加法可得.
亦可聯(lián)立 ① ②解出.
(三)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)
1.數(shù)列滿足：，求的通項公式．
解：變形得，，設(shè)，則，再變形得：
，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其中首項是公比為 所以有，即．
于是，故
2.設(shè)為數(shù)
10、列的前項和，且，，則= -11
略解：用公式法消得，進(jìn)而得
3.已知數(shù)列中，，，，求的通項公式.
解析：由得
又，是以7為首項，3為公比的等比數(shù)列，
，即有
又是以為首項，-1為公比的等比數(shù)列，
，
（Ⅱ）非線性構(gòu)造：
（一）倒數(shù)法：形如.
1. 已知數(shù)列中，，，求通項公式。
解：取倒數(shù)：
,
點(diǎn)評：常用的化歸還有對數(shù)化歸，待定化歸，一般需轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列的問題。
2. 在數(shù)列中，已知 ，求通項公式。
解：兩邊取倒數(shù)遞推式化為： ，即
所以…,
將以上個式子相加，得：
即故
（二）利用等式性質(zhì)兩邊同除(形如型)
1.已知數(shù)列中，，，則的通項公式為
【詳解】由題意可知
兩邊同時除以，得，且，
故數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，
所以，故；
2.已知數(shù)列中，，。
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項公式.
3.已知數(shù)列滿足，．
(1)若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
解：(1)∵，∴，即
∴是首項為１，公比為２ 的等比數(shù)列
∴
∴
(2) …………①
…………②
① - ②可得
化簡可得
數(shù)學(xué)人教Ａ版必修5：求數(shù)列的通項公式的策略與常用方法 講義（Word版含答案）
