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1、1,第4章數(shù)值積分,2,1引言,1.數(shù)值求積的基本思想,依據(jù)微積分基本定理，對于積分,只要找到被積函數(shù)的原函數(shù)，便有下列牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式：,但對于下列情形：,3,（1）被積函數(shù)，諸如等等，找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)；,（2）當(dāng)是由測量或數(shù)值計(jì)算給出的一張數(shù)據(jù)表.這時(shí)，牛頓-萊布尼茨公式也不能直接運(yùn)用.,因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算問題.,由積分中值定理知，在積分區(qū)間內(nèi)存在一點(diǎn)，成立,4,圖4-1,5,將稱為區(qū)間上的平均高度.,,是梯形公式(幾何意義參看圖4-2).,6,圖4-2,用區(qū)間中點(diǎn)的“高度”近似地取代平均高度，則又可導(dǎo)出所謂中矩形公式(簡稱矩形公式)
2、,,7,一般地，可以在區(qū)間上適當(dāng)選取某些節(jié)點(diǎn)，,然后用加權(quán)平均得到平均高度的近似值，這樣,,式中稱為求積節(jié)點(diǎn)；稱為求積系數(shù),亦稱伴隨節(jié)點(diǎn)的權(quán).,權(quán)僅僅與節(jié)點(diǎn)的選取有關(guān)，,構(gòu)造出的求積公式具有下列形式：,k,A,8,這類數(shù)值積分方法通常稱為機(jī)械求積，其特點(diǎn)是將積分求值問題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，這就避開了牛頓-萊布尼茨公式需要尋求原函數(shù)的困難.,9,2.代數(shù)精度的概念,定義1,則稱該求積公式具有次代數(shù)精度.,梯形公式和矩形公式均具有一次代數(shù)精度.,數(shù)值求積是近似方法，為保證精度，自然希望求積公式對盡可能多的函數(shù)準(zhǔn)確成立.,10,欲使求積公式具有次代數(shù)精度，則只要令它,對都準(zhǔn)確成立，就得到,,11,如
3、果事先選定求積節(jié)點(diǎn)，譬如，以區(qū)間的等距分點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，這時(shí)取，求解方程組即可確定求積系數(shù)，而使求積公式至少具有次代數(shù)精度.,構(gòu)造求積公式，原則上是一個(gè)確定參數(shù)和的代數(shù)問題.,12,,例求a,b,c的值使下列求積公式的代數(shù)精度達(dá)到最高。,,13,3.插值型的求積公式,設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn),且已知函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的值，,作插值函數(shù).,取,作為積分的近似值，,,這樣構(gòu)造出的求積公式,14,稱為是插值型的，式中求積系數(shù)通過插值基函數(shù)積分得出,,由插值余項(xiàng)定理(第2章的定理2)即知，對于插值型的求積公式，其余項(xiàng),式中與變量有關(guān)，,,15,余項(xiàng)為零，,16,定理1,注意到,上式右端實(shí)際上等于,因而,成立.,這樣，
4、有下面定理.,17,4.求積公式的收斂性與穩(wěn)定性,定義2,其中,在求積公式中，由于計(jì)算可能產(chǎn)生誤差，,實(shí)際得的將是，,即,在求積公式中，若,則稱求積公式(1.3)是收斂的.,記,18,如果對任給小正數(shù),只要誤差充分小就有,,則表明求積公式計(jì)算是穩(wěn)定的，,由此給出下面定義.,定義3,就有成立，則稱求積公式是穩(wěn)定的.,對任給,若,只要,,19,定理2,證明,取,若求積公式中系數(shù),則此求積公式是穩(wěn)定的.,對任給,都有,若對,則當(dāng)時(shí)有,20,由定義3知，求積公式是穩(wěn)定的.,21,2牛頓-柯特斯公式,1.柯特斯系數(shù),設(shè)將積分區(qū)間劃分為等分，,選取等距節(jié)點(diǎn)構(gòu)造出的插值型求積公式,,稱為牛頓-柯特斯公式，,
5、式中稱為柯特斯系數(shù).,引進(jìn)變換,步長,則利用等距節(jié)點(diǎn)的,插值公式，有,22,,當(dāng)時(shí)，,這時(shí)的求積公式就是梯形公式,23,當(dāng)時(shí)，,相應(yīng)的求積公式是辛普森(Simpson)公式,,柯特斯系數(shù)為,24,的牛頓-柯特斯公式稱為柯特斯公式，,,這里,可構(gòu)造柯特斯系數(shù)表.,其形式是,25,26,從柯特斯系數(shù)表看到時(shí)，柯特斯系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，,特別地，假定,于是有,且,則有,27,它表明初始數(shù)據(jù)誤差將會(huì)引起計(jì)算結(jié)果誤差增大，即計(jì)算不穩(wěn)定，故的牛頓-柯特斯公式是不用的.,28,2.偶階求積公式的代數(shù)精度,由定理1，階的牛頓-柯特斯公式至少具有次的代數(shù)精度.,先看辛普森公式，它是二階牛頓-柯特斯公式，因此至少具有二
6、次代數(shù)精度.,用進(jìn)行檢驗(yàn)，,本節(jié)討論代數(shù)精度的進(jìn)一步提高問題.,按辛普森公式計(jì)算得,29,另一方面，直接求積得,這時(shí)有，,而它對通常是不準(zhǔn)確的，,辛普森公式實(shí)際上具有三次代數(shù)精度.,因此，,定理3,30,證明,由于這里,引進(jìn)變換并注意到有,按余項(xiàng)公式,有,31,因?yàn)楸环e函數(shù),若為偶數(shù)，則為整數(shù)，,為奇函數(shù)，所以,再令,進(jìn)一步有,32,3.幾種低階求積公式的余項(xiàng),按余項(xiàng)公式，梯形公式的余項(xiàng),這里積分的核函數(shù)在區(qū)間上保號(非正)，,,應(yīng)用積分中值定理，在內(nèi)存在一點(diǎn)使,，,33,,,34,3復(fù)化求積公式,復(fù)化求積的基本思想是把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間(通常是等分)，再在每個(gè)子區(qū)間上用低階求積公式，目的
7、是提高精度.,1.復(fù)化梯形公式,分點(diǎn),將區(qū)間劃分為等分，,,35,,記,稱為復(fù)化梯形公式.,,36,其余項(xiàng),由于,且,所以使,于是復(fù)化梯形公式余項(xiàng)為,37,,誤差是階，,且當(dāng)時(shí)有,即復(fù)化梯形公式是收斂的.,,38,此外，的求積系數(shù)為正，由定理2知復(fù)化梯形公式是穩(wěn)定的.,只要?jiǎng)t當(dāng)時(shí)，上式均收斂到積分所以復(fù)化梯形公式收斂.,將Tn改寫為,39,,對復(fù)化梯形公式，還有如果f(x)在a,b上有2r+2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，余項(xiàng),,,40,,定義設(shè),41,2.復(fù)化辛普森求積公式,記,,,,將區(qū)間分為n等分，,n=2m,xk=a+kh,k=0,,2m,在每個(gè)子區(qū)間x2k-2,x2k上用Simpson公式,,,42,
8、稱為復(fù)化辛普森求積公式.,,于是當(dāng)時(shí)，,,與復(fù)化梯形公式相似有,誤差階為4，顯然是收斂的.,43,實(shí)際上，只要,則可得到收斂性，,即,此外，由于Sn中求積系數(shù)均為正數(shù)，故知復(fù)化辛普森公式計(jì)算穩(wěn)定,44,例2,對于函數(shù)，,給出的函數(shù)表,并估計(jì)誤差.,解,(見表4-2)，,計(jì)算積分,應(yīng)用復(fù)化梯形法求得T8=0.9456909,試用復(fù)化梯形公式(及復(fù)化辛普森公式,將積分區(qū)間0,1劃分為8等分，,45,而如果將0,1分為4等分，應(yīng)用復(fù)化辛普森法有S4=0.9460832,同積分的準(zhǔn)確值I=0.9460831比較，,接下來看誤差估計(jì)，由于,所以有,46,于是,得復(fù)化梯形公式誤差,47,對復(fù)化辛普森公式，
9、,48,,,,49,4Richardson外推法,,,,也就是說用近似J的誤差價(jià)為，現(xiàn)在考慮利用構(gòu)造一個(gè)新的計(jì)算公式，使誤差的價(jià)比高.,,50,,,,,51,,,52,5龍貝格求積公式,梯形法計(jì)算簡單但收斂慢，本節(jié)討論如何提高收斂速度以節(jié)省計(jì)算量.,根據(jù)復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)表達(dá)式,53,,,54,,,55,若(預(yù)先給定的精度)，則終止計(jì)算，,并取,56,可以證明，如果充分光滑，那么T表每一列的元素及對角線元素均收斂到所求的積分值，即,對于不充分光滑的函數(shù)也可用龍貝格算法計(jì)算，,只是收斂慢一些，這時(shí)也可以直接使用復(fù)化辛普森公式計(jì)算.,57,例4,解,在上僅是一次連續(xù)可微，,用龍貝格算法計(jì)算積分,用龍貝格算法計(jì)算結(jié)果見表4-6.,58,從表中看到用龍貝格算到的精度與辛普森求積精度相當(dāng).這里的精確值為,
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