浙江省永嘉縣橋下鎮(zhèn)甌渠中學(xué)2014屆九年級(jí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《專題五 開放探索問(wèn)題》基礎(chǔ)演練

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1、 1. 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，且滿足y隨x的增大而增大，則該一次函數(shù)的解析式可以為________． 解析　設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y＝kx＋b(k≠0)， ∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，∴b＝1， ∵y隨x的增大而增大，∴k＞0， 故答案為y＝x＋1(答案不唯一，可以是形如y＝kx＋1，k＞0的一次函數(shù))． 答案　y＝x＋1(答案不唯一，可以是形如y＝kx＋1，k＞0的一次函數(shù)) 2．寫出一個(gè)不可能事件________． 解析　不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．一個(gè)月最多有31天，故明天是三十二號(hào)不可能存在，為不可能事件． 答案　明天

2、是三十二號(hào) 3．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個(gè)條件：________，可使它成為矩形． 解析　本題是一道開放題，只要掌握矩形的判定方法即可．由有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．想到添加∠ABC＝90°； 由對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．想到添加AC＝BD. 答案　∠ABC＝90°(或AC＝BD等) 4．一個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①圖象過(guò)(2，1)點(diǎn)；②當(dāng)x＞0時(shí)．y隨x的增大而減小，這個(gè)函數(shù)解析式為________(寫出一個(gè)即可)． 解析　本題的函數(shù)沒(méi)有指定是什么具體的函數(shù)，可以從一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)三方面考慮，只要符合條件①②即可． 答案　y＝

3、，y＝－x＋3，y＝－x2＋5(本題答案不唯一) 5．先化簡(jiǎn)，再把x取一個(gè)你最喜歡的數(shù)代入求值：÷. 分析　將括號(hào)里通分，除法化為乘法，約分化簡(jiǎn)，再代值計(jì)算，代值時(shí)，x的取值不能使原式的分母、除式為0. 解　原式＝· ＝· ＝· ＝ · ＝ 當(dāng)x＝6時(shí)，原式＝1. 6.(2012·廣州)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC＝α(60°≤α＜90°)． (1)當(dāng)α＝60°時(shí)，求CE的長(zhǎng)； (2)當(dāng)60°＜α＜90°時(shí)， ①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． ②

4、連接CF，當(dāng)CE2－CF2取最大值時(shí)，求tan∠DCF的值． 分析　(1)利用60°角的正弦值列式計(jì)算即可得解； (2)①連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用“角邊角”證明△AFG和△CFD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF＝GF，AG＝CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF＝GF，再根據(jù)AB、BC的長(zhǎng)度可得AG＝AF，然后利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，從而得解； ②設(shè)BE＝x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的長(zhǎng)度，在R

5、t△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答． 解　 (1)∵α＝60°，BC＝10，∴sin α＝， 即sin 60°＝＝，解得CE＝5 ； (2)①存在k＝3，使得∠EFD＝k∠AEF. 理由如下：連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖所示，∵F為AD的中點(diǎn)， ∴AF＝FD， 在平行四邊形ABCD中，AB∥CD， ∴∠G＝∠DCF，在△AFG和△DFC中， ， ∴△AFG≌△DFC(AAS)，∴CF＝GF，AG＝DC， ∵CE⊥AB， ∴EF＝GF(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)，∴∠AEF＝∠G，

6、 ∵AB＝5，BC＝10，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)， ∴AG＝5，AF＝AD＝BC＝5， ∴AG＝AF，∴∠AFG＝∠G， 在△EFG中，∠EFC＝∠AEF＋ ∠G＝2∠AEF， 又∵∠CFD＝∠AFG(對(duì)頂角相等)， ∴∠CFD＝∠AEF， ∴∠EFD＝∠EFC＋∠CFD＝2∠AEF＋∠AEF＝3∠AEF， 因此，存在正整數(shù)k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF； ②設(shè)BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5， ∴EG＝AE＋AG＝5－x＋5＝10－x， 在Rt△BCE中，CE2＝BC2－BE2＝100－x2， 在Rt△CEG中，CG2＝EG2＋CE2＝(10－x)2＋100－x2＝200－

7、20x， ∵CF＝GF(①中已證)， ∴CF2＝＝CG2＝(200－20x)＝50－5x， ∴CE2－CF2＝100－x2－50＋5x ＝－x2＋5x＋50＝－＋50＋， ∴當(dāng)x＝，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)， CE2－CF2取最大值， 此時(shí)，EG＝10－x＝10－＝， CE＝ ＝ ＝， 所以，tan∠DCF＝tan∠G＝＝＝. 7. 已知，如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3 cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1 cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，解答下列問(wèn)題： (1)當(dāng)t為何值時(shí)，△P

8、BQ是直角三角形？ (2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm2)，求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的？如果存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，說(shuō)明理由． 解　(1)當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)， 在Rt△BPQ中，∠B＝60°，BP＝3－t，BQ＝t. ∵cos B＝，∴BP＝BQ·cos B， 即3－t＝t·.解之，得t＝2. 當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)， 在Rt△BPQ中，∠B＝60°，BP＝3－t， BQ＝t， ∵cos B＝，∴BQ＝BP·cos B，即t＝(3－t)·.解之，得t＝1. 綜上，t＝1或t＝2時(shí)，△PBQ是直角三角形． (2)∵

9、S四邊形APQC＝S△ABC－S△PBQ， ∴y＝×3×3·sin 60°－×(3－t)·t·sin 60° ＝t2－t＋. 又∵S四邊形APQC＝S△ABC， ∴t2－＋＝×， 整理得，t2－3t＋3＝0，Δ＝(－3)2－4×1×3＜0， ∴方程無(wú)實(shí)根．∴無(wú)論t取何值時(shí)，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的. 8．已知點(diǎn)A(1，2)和B(－2，5)，試求出兩個(gè)二次函數(shù)，使它們的圖象都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)． 解　法一　設(shè)拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，2)，B(－2，5)， 則①－②得3b－3a＝－3，即a＝b＋1. 設(shè)a＝2，則b＝1，將a＝2，b＝1代入①，得c＝－1， 故所求的二次函數(shù)為y＝2x2＋x－1. 又設(shè)a＝1，則b＝0，將a＝1，b＝0代入①，得c＝1， 故所求的另一個(gè)二次函數(shù)為y＝x2＋1. 法二　因?yàn)椴辉谕粭l直線上的三點(diǎn)確定一條拋物線，因此要確定一條拋物線，可以另外再取一點(diǎn)，不妨取C(0，0)， 則∴解得 故所求的二次函數(shù)為y＝x2＋x， 用同樣的方法可以求出另一個(gè)二次函數(shù)． - 5 -