2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題能力提升訓(xùn)練21 數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用（1） 理

《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題能力提升訓(xùn)練21 數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用（1） 理》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題能力提升訓(xùn)練21 數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用（1） 理（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、訓(xùn)練21　數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用(一) (時(shí)間：45分鐘　滿(mǎn)分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2012·北京東城模擬)已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ等于 (　　)． A．1或2 B．2或－ C．2 D．0 2．公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，S8＝32，則S10等于 (　　)． A．18 B．24 C．60 D．90 3．(2012·臨沂模擬)函數(shù)y＝的圖象大致是 (　　)． 4．已知集合A＝{(x，y)|x、y為實(shí)數(shù)，且x2＋y2＝1}

2、，B＝{(x，y)|x、y為實(shí)數(shù)，且x＋y＝1}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為 (　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 5．若關(guān)于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1、x2滿(mǎn)足－1≤x1＜0＜x2＜2，則k的取值范圍是 (　　)． A. B. C. D. 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．(2012·合肥模擬)AB是過(guò)橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的中心弦，F(xiàn)(c,0)為它的右焦點(diǎn)，則△FAB面積的最大值是________． 7．長(zhǎng)度都為2的向量，的夾角為，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧(劣弧)上，＝m＋n，則m＋n的最大值是________． 8

3、．(2012·廈門(mén)模擬)已知F是雙曲線(xiàn)－＝1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A(1,4)，P是雙曲線(xiàn)右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為_(kāi)_______． 三、解答題(本題共3小題，共35分) 9．(11分)(2012·天津)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)P在橢圓上． (1)求橢圓的離心率； (2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)Q在橢圓上且滿(mǎn)足|AQ|＝|AO|，求直線(xiàn)OQ的斜率的值． 10．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx. (1)若函數(shù)y＝f(x)在x＝2處有極值－6，求y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (2)若y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)對(duì)x∈[－1,1]都有f′

4、(x)≤2，求的范圍． 11．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－k(x－1)＋1. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍； (3)證明：＋＋＋…＋＜(n∈N*且n＞1)． 參考答案 訓(xùn)練21　數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用(一) 1．B　[由(λa＋b)⊥(a－λb)得(λa＋b)·(a－λb)＝0， ∴(3λ－6,2λ＋1)·(3＋6λ，2－λ)＝0， ∴λ＝2或λ＝－，故選B.] 2．C　[設(shè)數(shù)列{an}的公差為d. 則∴ 解得：a1＝－3，d＝2， ∴S10＝10×(－3)＋×2＝60.] 3．A　[易知函數(shù)y

5、＝是非奇非偶函數(shù)，由此可排除C，D項(xiàng)，對(duì)此A，B項(xiàng)，當(dāng)x＞0時(shí)，x取值越大，y＝的波動(dòng)幅度越小，由此排除B項(xiàng)，故選A.] 4．C　[法一　由題得∴或 A∩B＝{(x，y)|(1,0)，(0,1)}，所以選C. 法二　直接作出單位圓x2＋y2＝1和直線(xiàn)x＋y＝1，觀(guān)察得兩曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，故選C.] 5．B　[構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x2＋2kx－1，∵關(guān)于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1、x2滿(mǎn)足－1≤x1＜0＜x2＜2， ∴即∴－＜k≤0.] 6．解析　如圖所示，F(xiàn)′為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′為平行四邊形，S△ABF＝S△ABF′＝·|FF′|·h≤bc

6、.當(dāng)A與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，(S△ABF)max＝bc. 答案　bc 7．解析　建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)向量＝(2,0)，向量＝(1，)．設(shè)向量＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤.由＝m＋n，得(2cos α，2sin α)＝(2m＋n，n)， 即2cos α＝2m＋n,2sin α＝n，解得m＝cos α－sin α，n＝sin α. 故m＋n＝cos α＋sin α＝sin≤. 答案　 8．解析　設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為E，則|PF|－|PE|＝4，|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|，當(dāng)A、P、E共線(xiàn)時(shí)，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝＝5，|PF|＋|PA

7、|的最小值為9. 答案　9 9．解　(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故＋＝1，可得＝. 于是e2＝＝1－＝，所以橢圓的離心率e＝. (2)設(shè)直線(xiàn)OQ的斜率為k，則其方程為y＝kx，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)． 由條件得消去y0并整理得x＝.① 由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，而x0≠0，故x0＝，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4. 由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4， 即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5. 所以直線(xiàn)OQ的斜率k＝±. 10．解　(1)f′(x)＝3x

8、2＋2ax＋b， 依題意有即 解得 ∴f′(x)＝3x2－5x－2.由f′(x)＜0，得－＜x＜2. ∵y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是. (2)由得 不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示： 由得 ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－1)． 設(shè)z＝，則z表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(a，b)與點(diǎn)P(1,0)連線(xiàn)斜率． ∵kPQ＝1，由圖可知z≥1或z＜－2， 即∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)． 11．解　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1，＋∞)，f′(x)＝－k. 當(dāng)k≤0時(shí)，∵x－1＞0，∴＞0，f′(x)＞0. 則f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)． 當(dāng)k＞0時(shí)，令f′(x)＝0，即－k

9、＝0，得x＝1＋. 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＝－k＞－k＝0， 則f(x)在上是增函數(shù)． 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)＝－k＜－k＝0， ∴f(x)在上是減函數(shù)． 綜上可知，當(dāng)k≤0時(shí)，f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)； 在上是減函數(shù)． (2)由(1)知，當(dāng)k≤0時(shí)，f(2)＝1－k＞0，不成立． 故只考慮k＞0的情況． 又由(1)知f(x)max＝f＝－ln k. 要使f(x)≤0恒成立，只要f(x)max≤0即可． 由－ln k≤0得k≥1. (3)證明：由(2)知當(dāng)k＝1時(shí)，有f(x)≤0在(1，＋∞)內(nèi)恒成立， 又f(x)在[2，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，f(2)＝0. ∴x∈(2，＋∞)時(shí)，恒有f(x)＜0成立， 即ln(x－1)＜x－2在(2，＋∞)內(nèi)恒成立． 令x－1＝n2(n∈N*且n＞1)，則ln n2＜n2－1. 即2ln n＜(n－1)(n＋1)， ∴＜(n∈N*，且n＞1)． ∴＋＋＋…＋＜＋＋＋…＋＝，即＋＋＋…＋＜(n∈N*且n＞1)成立．