ppt版本-哈工大版理論力學課件全套.ppt
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1、,,,,理論力學,1,,,,理論力學,,2,力系按作用線分布分為:平面力系、空間力系 平面力系:作用線分布在同一平面內(nèi)的力系。 空間力系:作用線分布在不同平面內(nèi)的力系。 力系按作用線匯交情況分為 匯交力系 平行力系(力偶系是其中的特殊情況 ) 一般力系(任意力系),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3,1 1,FR F2 F22 2FF2cos,1,F FR sin sin(180),一、平面匯交力系合成的幾何法 1、兩個共點力的合成,合力方向由正弦定理: 理論力學,由余弦定理:,由力的平行四邊形法則作圖(左),也可用力的三角形來作圖(右)。,
2、2-1,平面匯交力系,A,FR F1,F2 ,FR,A,F2, F1 力三角形,1800-,,,,,,理論力學,,4,F3,F2,F1,F4,A,F2,F3,FR,a,b F1,c,d F4 e,a,F2,d F4 e,c F3,FR F1 b,各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力多邊形。 用力多邊形求合力的作圖規(guī)則稱為力的多邊形法則。 力多邊形中表示合力矢量的邊稱為力多邊形的封閉邊。,2、任意個共點力的合成,力多邊形:各分力矢首尾相連, 組成一個不封閉的力多邊形。 封閉邊表示合力的大小和方向。,,,,理論力學,,5,,,,理論力學,,6,1 i,1
3、 i,結(jié)論:平面匯交力系可簡化為一合力,其合力的大小與方向等 于各分力的矢量和(幾何和),合力的作用線通過匯交點。 用 矢量式表示為: FR F F2 Fn F 3、平面匯交力系平衡的幾何法 平面匯交力系平衡的必要和充分條件是: 該力系的合力等于零。 FR F F2 Fn F 0 上述方程的幾何表達為:該力系的力多邊形自行封閉。 用幾何方法求平面匯交力系平衡時,要做出自行封 閉的力多邊形,一般只適合三個力的平衡問題。,OE EA24 cm,tan , arctan 140,sin180 ,FB F 750N,理論力學,例圖示是汽車制動機構(gòu)的一部分
4、。司,機踩到制動蹬上的力F=212 N,方向與 水平面成 =450角。當平衡時,DA鉛,直,BC水平,試求拉桿BC所受的力。 已知EA=24cm, DE=6cm點E在鉛直,F,,24cm,6cm,A,C,B,D,線DA上 ,又B ,C ,D都是光滑鉸鏈,O 機構(gòu)的自重不計。,E,A,O,F, FD,B E FB D 7,解:取制動蹬ABD作為研究對象,并畫出受力圖。 作出相應(yīng)的力多邊形。 F FD FB,DE 6 OE 24 1 4,由力三角形圖可得 sin ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,FB ,tan 0.577,理論力學,,8,取分離
5、體畫受力圖 當碾子剛離地面時FA=0,拉力F最大,這時 拉力F和自重P及約束力FB構(gòu)成一平衡力系。,由平衡的幾何條件,力多邊形封閉,故,F Ptan 又由幾何關(guān)系:,P cos r2 (rh)2 rh,F=11.5kN, FB=23.1kN,所以,例已知壓路機碾子重P=20kN,r =60cm,欲拉過h=8cm的障礙 物。求在中心作用的水平力F的大小和碾子對障礙物的壓力。 解: 選碾子為研究對象,O P A,B h,F r FA,FB,FB,F P ,,,,理論力學,,9,由作用力和反作用力的關(guān)系,碾子對障礙物的壓力等于23.1kN。 幾何法解題步驟:選研究對象;作出受力圖; 作力多邊形
6、; 用幾何方法求出未知數(shù)。 幾何法解題不足: 一般只適合三個力時的平衡;做出的 封閉多邊形為三角形,可用三角形的 正弦和余弦定理求解; 不能表達各個量之間的函數(shù)關(guān)系。 下面我們研究力系合成與平衡的另一種方法: 解析法。,,,,,,,,,,,,,,,,,,F Fx Fy,, cosb ,理論力學,,10,反之,已知投影可求,力的大小和方向,已知力可求投影,Fx=F cosq Fy=F cosbF sinq,F,x,二、平面匯交力系合成的解析法 1、力的投影 y,Fy O,q 分力:Fx 投影:Fx,Fy A,b,2,2,力的大小,Fx Fy F F,cosq ,方向余弦,
7、,,,,,,,,,,方向: cos(FR R, j) ,,i) ,,cos(F,理論力學,,11,2、合力投影定理 合力投影定理:合力在任一軸上的投影,等于各分力在同一 軸上投影的代數(shù)和。,若以 Fx , Fy 表示力沿直角坐標軸的正交分量,則:,F Fxi Fy j,所以:,FRx Fix,FRy Fiy,合力的大?。?作用點:,FRx FR,FRy FR,為該力系的匯交點,FR (F ix)2 (F iy)2,而各分力 Fx Fxi,F(xiàn)y Fy j,力的分解 F Fx Fy,,,,,,,,,,,,,,,cos 0.7548,cos 0.6556,
8、理論力學,,12,1,1,2 2,FR FRx FRy 171.3N,FRx FR FRy FR, 40.99 , 49.01,例已知:圖示平面共點力系;求:此力系的合力。 解:用解析法 FRx Fix F cos30 F2cos60 F3cos45 F4 cos45 129.3N FRy Fiy F sin30 F2sin60 F3sin45 F4 sin45 112.3N,y,F1,F2,F3,F4,x,300 450,600 450,FR,,,,,,,,,理論力學,,13,平面匯交力系平衡的必要和充分條件是: 各力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。,3、平面匯交力系的平衡方程
9、 平面匯交力系平衡的必要和充分條件是: 該力系的合力等于零。 2 2,F ix 0 , F iy 0,必有,,,,,FBA BC 11.35kN, F,14,例已知:F=3kN,l=1500mm,h=200mm,忽略自重; 求:平衡時,壓塊C對工件與地面的壓力,AB桿受力。 解:AB、BC桿為二力桿,取銷釘B為對象。,0,Fx,FBA cos FBC cos 0,FBA FBC 0 FBA sin FBC sin F 0 F 2sinq,得 Fy 解得 理論力學,,,,,,理論力學,,15,選壓塊C為對象,0,FCB cosFCx 0,11.25kN,Fl 2h,
10、cot ,F 2,FCx ,Fx 解得,0,Fy 解得,F CBsinq FCy 0 F Cy 1.5kN,列平衡方程,理論力學,,16,例如圖所示,重物G=20kN,用鋼絲繩掛在支架的滑輪B 上,鋼絲繩的另一端繞在鉸車D上。桿AB與BC鉸接,并以 鉸鏈A,C與墻連接。如兩桿與滑輪的自重不計并忽略摩擦,和滑輪的大小,試求平衡時桿AB和BC所受的力。,A,B,D,30,60,C,G,解:取滑輪B為研究對象, 忽略滑輪的大小,畫受力圖。,x,y,B 30,60,FBA,F1,FBC,1,1,F2 Fx 0, FBA F cos 60 F2 cos 30 0,Fy 0,F(xiàn)BC F cos 30
11、F2 cos 60 0,解方程得桿AB和BC所受的力: FBA 0.366G 7.321kN FBC 1.366G 27.32 kN,當由平衡方程求得 某一未知力的值為 負時,表示原先假 定的該力指向和實 際指向相反。,,,,理論力學,,17,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,理論力學,,18,,2-2 平面力對點之矩 平面力偶,MO(F) O,h,r,F A,一、力對點之矩(力矩) B,力F與點O位于同一平面內(nèi), 稱為力矩作用面。點O稱為矩心, 點O到力作用線的垂直距離h 稱,為力臂。 力對點之矩是一個代數(shù)量,它的 絕對值等于力的大小與力臂的乘積,,它的正負可按下法確定:力使物體繞 矩
12、心逆時針轉(zhuǎn)動時為正,反之為負。,移動效應(yīng)____ 取決于力的大小、方向 轉(zhuǎn)動效應(yīng)____取決于力矩的大小、轉(zhuǎn)向,力對物體可以產(chǎn)生,,,,,,,,,,,,理論力學,,19,M,h,, MO(F)是代數(shù)量。 MO(F)是影響轉(zhuǎn)動的獨立因素。 當F=0或h=0時, O(F) =0。 單位N m或kNm 。 MO(F) =2AOB=F,2倍形面積。,MO(F) F h,力對點之矩,+,,MO(F) O,h,r,F A,B,,,,,,,,,,,y,理論力學,,20,F,Fx,Fy,x,y,O,q,x,A,MO(F) xFsinq yF cosq, xFy yFx,力矩的解析表達式,i,合力對坐標原點之
13、矩 MO(FR) (xiF iy yF ix),二、合力矩定理與力矩的解析表達式 合力對某點之矩,等于所有各分力對同一點之矩的代數(shù)和。 n (F (F i1 按力系等效概念,上式必然成立,且適用于任何有合力存在的力系。,理論力學,,21,r,h,,,O,例已知Fn=1400N,齒輪的節(jié)圓(嚙合圓)的半徑 r =60mm, 壓力角 =200,求力Fn對O點的矩。,MO(Fn)FnhFnrcos 78.93Nm,按力矩的定義得,根據(jù)合力矩定理,將力Fn分 解為圓周力Ft 和徑向力Fr ,,r,O,,Fn,Fr,Ft,MO(Fn) MO(Fr)MO(Ft) MO(Ft) Fn cos r,
14、,,,理論力學,,22,,,,理論力學,,23,,,,理論力學,,24,,,,理論力學,,25,三、平面力偶及其性質(zhì) 由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成 的力系,稱為力偶,記為(F, F)。力偶的兩力之間的垂 直距離d 稱為力偶臂,力偶所在的平面稱為力偶作用面。,,,,,,,,,,,,理論力學,,26,大?。篎R=F1+F2 方向:平行于 F1、F2且指向一致,作用點:C處,1,確定C點,由合力距定理 MB(FR) MB(F),1,1,FR F F2 FR CB F AB,AB ACCB 代入,1,ACF2 CB F,性質(zhì)1:力偶沒有合力,本身又不平衡,是一個基本力學量。,兩個同向平
15、行力的合力,F2,F1,A,B,F,F,FR1,FR2,FR,C,,,,,,,,理論力學,,27,力偶無合力 FR=FF=0,1,,F F,CB CA,,CB CA,1,兩個反向平行力的合力 大?。篎R=F1F2,方向:平行兩力且與較大的相同,作用點:C處 CB F CA F2,F2,F1,A,B,C FR,A,B,C,F,F 若CB=CA=CB+d 成立,且d0,必有CB 即合力作用點在無窮遠處,不存在合力。,,,,,,,,,,,理論力學,,28,MO(F)MO(F)F(xd)Fx Fd,說明: M是代數(shù)量,有+、; F、 d 都不獨立,只有力偶矩 M=Fd 是獨立量; M的值M=2 AB
16、C ; 單位:N m,由于O點是任取的 M Fd,,+,性質(zhì)2:力偶對其所在平面內(nèi)任一點的矩恒等于力偶矩,而 與矩心的位置無關(guān),因此力偶對剛體的效應(yīng)用力偶矩度量。,A,B,O,d,C,x,F,F,,,,理論力學,,29,性質(zhì)3:平面力偶等效定理 作用在同一平面內(nèi)的兩個力偶,只要它的力偶矩的大小相等, 轉(zhuǎn)向相同,則該兩個力偶彼此等效。,=,=,=,由上述證明可得下列兩個推論: 力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動,而不影響它對剛體的 作用效應(yīng)。 只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變,可以任意改變力偶中 力的大小和相應(yīng)力偶臂的長短,而不改變它對剛體的作 用效應(yīng)。,,,,理論力學,,30,=,=,=,=,,,,理論
17、力學,,31,同平面內(nèi)力偶等效定理證明,,,,,,理論力學,,32,d,F,力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量,只有 力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如圖所示 的符號表示力偶。M為力偶的矩。 F,=,M,=,M,,,,理論力學,,33,,,,,,,,,,,,理論力學,,34,1,M1 Fd1 F 3d,M2 F2d2 F4d,M1(F1,F(xiàn)1), M2(F2,F(xiàn)2),,F F 3 F4,F F 3F4,M Fd (F 3 F4)d F 3d F4d M1 M2 在同平面內(nèi)的任意個力偶可以合成為一個合力偶,合力偶 矩等于各個力偶矩的代數(shù)和。,F2,,F2,d2,F1,,F 3,F 3,
18、四、平面力偶系的合成和平衡 F1 F d1 4,F 4,d,F,F,d, M,理論力學,,35,平面力偶系平衡的充要條件是: 所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。(力偶只能和力偶平衡),n Mn Mi i i1,即: M M1 M2 ,i,0,M,即,A,B,D,M,45,l,A,B,M,FB,FA,,,,,FB 300N,理論力學,,36,FB0.2m1m2 m3 m4 0 FA FB 300 N,解:,各力偶的合力偶矩為,根據(jù)平面力偶系平衡方程有: 60 0.2,Mm1m2m3m4 4(15)60Nm 由力偶只能與力偶平衡的性質(zhì), 力FA與力FB組成
19、一力偶。,例,在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直,徑的孔,每個鉆頭的力偶矩為 m1m2m3m415Nm 求工件的總切削力偶矩和A 、B端水平約束力?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,12 F C C C(Nm),24 18 2F (Ncm) 0.255F,理論力學,37,例圖示結(jié)構(gòu),已知M=800N.m,求A、C兩點的約束力。,F C 3137N Mi 0 MAC M 0,2 2 2 2,M AC F Cd F C,解:注意到CB為二力構(gòu)件,畫受力圖,FA C , F,理論力
20、學,38,解:1、 AD為二力桿。,2、研究對象: 整體,M l,FA F C ,例圖示桿系,已知M,l,求A、B處約束力。,A,C,B,D,l,l,M,FA,l FC,M作用在AD桿上又如何?,A,C,B,D,l,l,M,BC為二力桿,FA l,FC,M lsin450,2M l,,,,,,,,,,,,,,,,,,,理論力學,,39,60o,60o,A,B C,D,M1,M2,例不計自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶 矩為M1與M2的力偶作用 ,轉(zhuǎn)向如圖。問M1與M2的比值為多,大,結(jié)構(gòu)才能平衡? 解:取桿AB為研究對象畫受力圖。,B,A,C,M1,FA,FC,桿AB只受力偶
21、的作用而平衡且C處為 光滑面約束,則A處約束力的方位可定。,FA = FC = F,,AC = a, Mi= 0,Fa- M1= 0,M1= Fa,(1),,,,,,,,,理論力學,,40, Mi= 0 -0.5aF + M2= 0 M2= 0.5 Fa (2),聯(lián)立(1)(2)兩式得:M1/M2=2,,取桿CD為研究對象。因C點約束力方位已定 , 則D點約束力,方位亦可確定,畫受力圖。 FD = FC= F,FC,,60o,60o,A,B C,M2 D FD,,,,理論力學,,41,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,理論力學,,42,作用在剛體上的力可以平行移
22、到同一剛體內(nèi)任意一 點,但必須同時附加一個力偶。附加力偶的力偶矩 等于原來的力對新作用點的矩。,,力線 平移 定理,2-3 平面任意力系的簡化 一、力線平移定理,A 力F力偶(F,F(xiàn)),B,M,A 力系 F,F,F,B,F,F,F F,A 證 力F,B,F,,,,,,理論力學,,43,d,說明: 力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系:力 力+力偶 ; (例如一個力功絲時容易功壞螺紋或折斷絲錐) 力線平移的條件是附加一個力偶M,且M=F ; 一個力和一個力偶也可合成為一個力,即力線平移定理的 反定理同樣成立:力 +力偶 力; 力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。,,,,理論力學,,44,,,,,
23、,,,,,,,,,,,,,,,,,理論力學,45,O,x,y,i,j,O,x,y,Fn,F1,,F2,,Fn,,M2,M1,FR MO,,F1 F1 F2 F2,Fn Fn,M1 MO(F1) M2 MO(F2),Mn MO(Fn),二、平面任意力系向一點的簡化 F1 F2,O,任選O點為 簡化中心,,,,,,理論力學,,46,平面任意力系,平面匯交力系+平面力偶系,向一點簡化,1 i, 1 1 i,其中平面匯交力系的合力為 FR = F+F2++Fn = F +F2++Fn =
24、F 平面力偶系的合力偶為 MO M1 M2 Mn MO(F )MO(F2)MO(Fn) MO(F) 平面匯交力系的合力FR,不是原來任意力系的合力。 平面力偶系的合力偶MO 也不是原來任意力系的合力偶。,,,,,,,,,,,,,,,,, R R, j) iy,Fix,方向:cos(F ,i),FR R,理論力學,47,原力系各力的矢量和,稱為原力系的主矢。(不是原力系的合力),原力系各力對簡化中心的矩,稱為原力系對簡化中心的主矩。,主矢與簡化中心位置無關(guān) (因主矢等于各力的矢量和),FR,,2 2,F,cos(F,
25、 F,,,移動 效應(yīng),主 矢,i,MO M1 M2 M3 , MO(F 1)MO(F2),MO(F),主矩,主矢, 1 1 i,FR = F+F2++Fn = F F2++Fn =F,,,,,理論力學,,48,i,大?。?MO MO(F),主矩MO,轉(zhuǎn)向:,轉(zhuǎn)向規(guī)定,+,,轉(zhuǎn)動,效應(yīng),雨搭,主矩一般與簡化中心有關(guān) (因主矩等于各力對簡化中心之矩的代數(shù)和) 固定端(插入端)約束,車刀,,,,理論力學,,49,理論力學,50,A,一物體的一端完全固定在另一物體上所構(gòu)成的約束 稱為固定端約束。(與固定鉸不同),A,FAy FA MA FA
26、x A MA A FAx、 FAy、 MA為固定端的約束力; FAx 、 FAy限制物體移動, MA限制物體轉(zhuǎn)動。,,,,理論力學,,51,,,,理論力學,,52,,,,理論力學,,53,,,,理論力學,,54,, ,三、平面任意力系簡化結(jié)果分析 平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化得一力和一力偶,該 力等于原力系的主矢,力偶矩等原力系對簡化中心的主矩。 下面針對主矢、主矩的不同情況分別加以討論。 1、若FR 0,MO 0,則力系合成為合力偶,合力偶矩等于原 力系對簡化中心的主矩MO,此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。 2、若FR 0,MO 0,則力系
27、合成為一個合力,主矢 FR 等于 原力系的合力矢 FR ,合力FR通過簡化中心O點。(合力與簡 化中心位置有關(guān),換個簡化中心,主矩不為零),,,,,,,,,,,,,,,,,,理論力學,,55,,3、若 FR 0,MO 0,則力系仍合成為一個合力,合力等于原 力系的主矢。作用點不在簡化中心。,o,o,,FR,MO,o,,FR,FR,,o,o,FR,=,o =,MO FR,d ,i,d FR MO(FR) FRd MO MO(F),d 合力矩定理,,4、若FR 0,MO 0, 則該力系平衡,下節(jié)專門討論。, q(x)dx,, xq(x)dx, q(x)dx,理論力學,,56,,l 0 l 0,
28、MO FR,d ,,,d,x,A,O,q(x),l,x,dx,MO,l 0,,主矢: F R ,l 0,xq(x)dx,主矩: MO ,力系可進一步簡化為一合力,其作用線距O點的距離為:,四、平行分布載荷的簡化 取O點為簡化中心,將力系向O點簡化。 dF R q(x)dx,dF R,,F R,,FR,結(jié)論:,合力的大小等于線荷載所組成幾何 圖形的面積。 合力的方向與線荷載的方向相同。 合力的作用線通過荷載圖的形心。 理論力學,l/2,q,F,1 2,ql,l/2 F,3,2l,3,l,q,1、均布荷載 F ql 2、三角形荷載 F 3、梯形荷載,l,q2 57,q1,可以看作一個三角
29、形荷載和一 個均布荷載的疊加,平行分布載荷簡化的特例,,,,,,,,,,,,,,,,,2m,58,F1,F2,F3,F4,O,A,B,C,x,y,3m,30,60,例在長方形平板的O,A,B,C點上分別作用著有四個 力:F1=1kN,F(xiàn)2=2kN,F(xiàn)3=F4=3kN(如圖),試求以上 四個力構(gòu)成的力系對O點的簡化結(jié)果,以及該力系的最后,合成結(jié)果。,解:求向O點簡化結(jié)果,1.求主矢 FR , 建立如圖坐標系Oxy。,,,FRx Fx, F2 cos60F 3 F4 cos30 0.598 kN,,1,FRy =Fy F F2sin60F4sin30,所以,主矢的大小 理論力學, x y,
30、0.768 kN FR FR2 FR2 0.794 kN,,,,,,,,,,cosFR , j= =0.789,d 0.51m,理論力學,,59,最后合成結(jié)果,由于主矢和主矩都不為零,所以最后合,成結(jié)果是一個合力FR。如右圖所示。,主矢的方向:,=0.614,FRx FR,,,,cosFR ,i=,,FR , i 52.1,FR y FR,,,,2. 求主矩MO MO MOF, 2F2 cos602F 3 3F4sin300.5kNm,合力FR到O點的距離,,FR FR,MO FR,,C,y,x,O,A,FR , j 37.9 B,MO,,FR,F,R,理論力學,,60,例重力壩
31、受力如圖所示。 設(shè)G1=450kN,G2=200kN,,F1=300 kN,F(xiàn)2=70 kN。,求力系的合力FR的大小 和方向余弦,合力與基線,OA的交點到O點的距離x,,以及合力作用線方程。,9m,3m,5.7m,3m,x,y,B,C,O,q,90,F1,1.5m G1 3.9m,G2 A,F2,,解: 1、 求力系的合力FR的大小和方向余弦。 AB 主矢的投影 F FR y Fy G1 G2 F2sinq 670.1 kN,,,,,,,,,,,,,,,,,,cosFR ,i ,Fx,FR ,cosFR , j,Fy,FR ,理論力學,,61,A,C,,FRx FR
32、,,,MO O FRy,,所以力系合力FR的大小 FR FR (Fx)2 (Fy)2 709.4kN,,,方向 余弦 則有, 0.328 0.945 FR ,i 70.84 FR , j 180 19.16,1,力系對O點的主矩為 MO MOF F 3 mG11.5 mG23.9 m 2 355 kNm,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x 3.514m,FR x,O,70.84,70.84,理論力學,,62,A,O,C,,FR,FRy,FRx,x,A,C,FR,,FRy,,MO 70.84o,2、求合力與基線OA的交點到O點的距離 x。 由合力矩定理得,MO M
33、O(FR) MO(FRx)MO(FRy),其中 MO(FRx) 0,故,MO MO(FR y) FR y x MO 解得 FR y,,,,,,,,,,,,理論力學,,63,將合力作用于此點,則,3、求合力作用線方程。 設(shè)合力作用線上任一點的坐標為(x,y),,A,O,C,FR,FRy,FRx 70.84,x,x,y,MO MOFR xFR y yFRx xFx yFy 可得合力作用線方程 2355kNm 670.1 kNx232.9kN y,即,670.1 kNx232.9 kN y2 355 kNm0,,,,,,,,,,,,,,,,R (Fx) (Fy)2,F,理論力學,,64,2-4,平
34、面任意力系的平衡條件及方程,即:,一、平面任意力系的平衡條件 平面任意力系平衡的必要和充分條件為: 力系的主矢FR 和對任一點的主矩 MO都等于零,,,2 MO MO(Fi),,,, Fiy 0,M A(F) 0,M B(F) 0,理論力學,,65,上式只有三個獨立方程,只能求出三個未知數(shù)。,二、平面任意力系的平衡方程,,基本式 Fix 0 MO(Fi) 0,,二矩式 Fx 0 M B(F) 0 條件:x 軸不 垂直 AB 連線,,三矩式 M A(F) 0 MC(F) 0 條件:A,B,C 三點不共線,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b,M A Fa qb2 0,FAx qb,理論力
35、學,66,例求圖示剛架的約束力。,F,a,q,解:以剛架為研究對象,受力如圖。 A,Fx 0:FAx qb 0 Fy 0:FAy F 0,MA(F) 0:,1 2,解之得:,FAy F MA Fa 12 qb2 中南大學土木建筑學院,F,q,A FAy,MA FAx,理論力學,,67,Fx 0:FAx Fcosq 0 Fy 0:FAy FB Fsinq 0 MA(F) 0:FBaFsinq (ab)M 0,解之得:,FAx Fcosq,M Fsinq(ab) a,FB ,M Fbsinq a,FAy ,例求圖示梁的支座約束力。 解:以梁為研究對象,受力如圖。,A,C,a,b,F B q,M,
36、A,C,F,B q,M,FB,FAy,FAx,理論力學,,68,例 外伸梁的尺寸及載荷如圖所示,F(xiàn)1=2 kN,F(xiàn)2=1.5 kN,M =1.2 kNm, l1=1.5 m,l2=2.5 m,試求鉸支座A及支座B的約束力。,F1,l2,l1,ll,F2 60,M B,FAx,A,x,y FAy,FB,F2,60,F1 M B,3、解方程,1,解:1、取梁為研究對象,受力分析如圖 2、列平衡方程 Fx 0 FAx F2 cos 60 0 A M A(F) 0 FBl2 M Fl1 F2(l1 l2)sin 60 0,0,Fy,1,FAy FB F F2sin 60 0,FAx 0.75
37、kN FB 3.56kN FAy 0.261kN,,,,理論力學,,69,例懸臂吊車如圖所示。橫梁AB長l2.5 m,重量P1.2 kN, 拉桿CB的傾角30,質(zhì)量不計,載荷Q7.5 kN。 求圖示位置a2m時拉桿的拉力和鉸鏈A的約束力。,,,,,,,,,,,,,,,,FT sin l P Qa 0 (3),FT ,(P Qa) 13.2 kN,理論力學,,70,解:取橫梁AB為研究對象,受力如圖,B,E P,FT H Q,FAy A,FAx,a,,FAx FT cos 0 (1) FAy FT sin PQ 0 (2),Fx 0 Fy 0,l 2,MA(F) 0 解得 1 l
38、sin l 2,FAx FT cos 11.43kN FAy QPFT sin 2.1kN,,,,,,,,,,,,,,,,,P Q(l a)FAy l 0 (4),MC(F) 0,FAx tan l P Qa 0 (5),理論力學,,71,C,B,E,P,Q,FT H,FAy A,FAx,a,,或分別取B和C為矩心列平衡方程 得 MB(F) 0,l 2,l 2,注意每個對象獨立的平衡方程只有3個。,,,,,,理論力學,,72,F,為:,Fy 0; MO(F) 0,平面平行力系的平衡方程也可表示為二矩式: MA(F) 0; MB(F) 0 其中AB連線不能與各力的作用線平行。,O,x,平面
39、平行力系為平面任意力系的特殊 y 情況,當它平衡時,也應(yīng)滿足平面任意力 系的平衡方程,選如圖的坐標,則 x0 自然滿足。于是平面平行力系的平衡方程,F2,F1,F3 Fn,三、平面平行力系平衡方程 力的作用線在同一平面且相互平行的力系稱平面平行力系。,理論力學,,73,例 一種車載式起重機,車重G1= 26kN,起重機伸臂重 G2 = 4.5kN,起重機的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重G3 = 31kN。 尺寸如圖所示。設(shè)伸臂在起重機對稱面內(nèi),且放在圖示 位置,試求車子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。,G2,FA,G1,G3,G,FB,A,B,3.0 m,2.5 m,1.8 m,2.0 m,理論力學,,7
40、4,解: 1、取汽車及起重機為研 究對象,受力分析如圖。,2、列平衡方程,G,G2,FA,G1,G3,A,B,3.0 m,2.5 m,1.8 m,2.0 m FB,F 0,FA FB GG1 G2 G3 0 MBF 0 G(2.5m3m)G22.5mG 12mFA(1.8m2m) 0,理論力學,,75,3、聯(lián)立求解,1 2G1 2.5G2 5.5G FA 3.8 4、不翻倒的條件是:FA0, 所以由上式可得,G,1 5.5,2G1 2.5G2 7.5kN 故最大起吊重量為 Gmax= 7.5 kN,G,G2,FA,G1,G3,FB,A,B,3.0 m,2.5 m,1.8 m,2.0 m,,,
41、,,,,,,,,,,理論力學,,76,當:獨立方程數(shù)目未知數(shù)數(shù)目時,是靜定問題(可求解) 獨立方程數(shù)目<未知數(shù)數(shù)目時,是靜不定問題(超靜定問題),2-5 靜定與靜不定 物系的平衡 一、靜定與靜不定問題的概念,兩個獨立方程,只能求兩個獨立未知數(shù)。,平面 力偶系 平面 任意力系,平面 匯交力系,F x 0 F y 0,i,Mi 0 一個獨立方程,只能求一個獨立未知數(shù)。 F x 0 F y 0 三個獨立方程,只能求三個獨立未知數(shù)。 MO(F ) 0,,,,理論力學,,77,,,,理論力學,,78,靜不定問題在變形體力學(材力,結(jié)力,彈力) 中用位移諧調(diào)條件來求解。,,,,理論力學,79,二、物體系
42、統(tǒng)的平衡問題 物體系統(tǒng)(物系):由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)。,外力:外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。 內(nèi)力:系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。 外力、內(nèi)力都是某研究對象而言的, 對不同的研究對象而言,可轉(zhuǎn)換。,,,,,,,,理論力學,,80,物系平衡的特點: 物系靜止,物系中每個單體也是平衡的; 每個單體可列3個平衡方程,整個系統(tǒng)可列 3n個方程(設(shè)物系中有n個物體) 解物系問題的一般方法:,由整體,局部,由局部,整體,由問題性質(zhì)決定,,,,理論力學,,81,三、解題步驟與技巧,解題步驟 選研究對象,畫受力圖(受力分析) 取矩點最好選在未知力的交叉點上;,選坐標、取矩點、列 平衡方
43、程。 解方程求出未知數(shù), 充分發(fā)揮二力桿的直觀性; 靈活使用合力矩定理。,解題技巧 選坐標軸最好是未知力投影軸;,四、注意問題 力偶在坐標軸上的投影不存在; 力偶矩M =常數(shù),它與坐標軸和取矩點的選擇無關(guān)。,6,例 :先以CD為研究對象,受力如圖。,MC D 3q 0,(F) 0:3F,FD 3q,FB 1 F 3q,FAy 1 F 1 q,理論力學,,82,3 2 2 再以整體為研究對象,受力如圖。,8FD 4FB 2F 4q6 0,Fx 0:FAx 0 Fy 0:FAy FB FD F 4q 0 M A(F) 0:,C,q,B 2,2,F,例求圖示多跨靜定梁的支座約束力
44、。 解 A,D,3,FCx,q,F,FAx,FAy,FD,FB,1 q,2,2 2,解得,C FCy,D FD,C,B,A,D,,Fy 0 FC E 0,q F,q M FE 0,理論力學,,83,l/8,q,B,A,D,M,F,C,H,E,l/4,l/8,l/4,l/4,例 組合梁AC和CE用鉸鏈C相連,A端為固定端,E端為活動鉸鏈支座。 受力如圖所示。已知: l =8 m,F(xiàn)=5 kN,均布載荷集度q=2.5 kN/m,力 偶矩的大小M= 5 kNm,試求固端A,鉸鏈C和支座E的約束力。,解:1.取CE段為研究對象,3
45、.列平衡方程,l 4,MCF 0,l l l 4 8 2 4.聯(lián)立求解 FE=2.5 kN, FC=2.5 kN,2.受力分析如圖,M l/4,q l/4,C FC,E FE,D,,,,,,,,,,,,,,,,,,Fy 0,FA C F q 0,F,理論力學,,84,6.列平衡方程。,FA= 15 kN,,MA= 2.5 kN,5.取AC段為研究對象,受力分析如圖。,l 4,MAF 0,l l 3l l 8 4 8 2 7.聯(lián)立求解,F,MA,q,l/4,B,A,C,H,l/8 l/8,FA,,FC,a,例5,FBy 2aFaqa 3
46、a 0,FAy 1 qa 1 F,FBy 1 F 3qa,理論力學,,85,例求圖示三鉸剛架的支座約束力。 解:以整體為研究對象,受力如圖。,Fx 0: FAx FBx F 0 Fy 0: FAy FBy qa 0,2,M A(F) 0:,C,B,q,a,a,A,F,FAx,FAy,q,C,B,A,F,FBx,FBy,解得:,2 4,4 2,a,例 以 5 AC為研究對象,受力如圖。,FAx FAy 1 qa 1 F,FBx 1 F 1 qa,理論力學,,86,再 MC(F) 0: FAxaFAya 0,解得:,4 2,2 4,FAx,FCx,FCy,A FAy,F,C,C,
47、B,q,a,a,A,F,,,,理論力學,,87,例A,B,C,D處均為光滑鉸鏈,物塊重為G,通過繩子繞過滑 輪水平地連接于桿AB的E點,各構(gòu)件自重不計,試求B處的約束力。,FAy,FAx FCx,FCy,解、1.取整體為研究對象。,2.受力分析如圖 3.列平衡方程 MAF 0,5rG2rF Cx 0,F Cx 2.5G G MCF 0 5rG2rFAx 0,解得,FAx 2.5G,解得 若,,,,,,,,理論力學,,88,G,FCx,D,FT,FBy,B FBx C,FCy,FBx,FAy,FAx,FBy,FE,4.取桿CD連滑輪為研究對象,受力分析如圖。,0,5.列平衡方程 Fx 0
48、 F Cx FT FBx 0 MCF 0 2rFBy 5rGrF T,求解可得,FBx 1.5G,FBy 2G,若取桿AB為研究對象,受力分析如圖。,FBx FE 0,2rFBx 2rFBy rFE 0,Fx 0 FAx M AF 0,聯(lián)立求解才得結(jié)果。,,F 0 F,ME A 22l P l 0,FEx Ey Asin 45 , P,F PF,理論力學,89,D K,C,A,B,E,, P,例 如圖所示,DC=CE=AC=CB=2l; 定滑輪半徑為R,動滑輪半徑為r, 且R=2r=l, q =45已知重力P 。試求:,A,E支座的約束力
49、及BD桿所受的力。,解、1. 選取整體研究對象,受力分析如圖所示。,FA q,FEx FEy,5 2,2.列平衡方程 Fx 0 FA cos 45 FEx 0 Fy 0 FAsin45 FEy P 0,3.解平衡方程得,P,5 13P 8 8,5 2 8,FA ,FK ,式中,,理論力學,,90,4. 選取DCE研究對象,受力分析如,E,D,K C,A,B,E D K C,q,, P,圖所示。 5.列平衡方程 MCF 0,FEy,FEx,FDB FK,FCy,FCx,FDB cos 45 2l FK l FEx 2l 0 P 2 6.解平衡方程 3 2
50、P FDB 8,順時鐘取正,若取AB為對象,如何畫受力圖?,b,a,7,例 :先以BC為研究對象,受力如圖。,F C , FB,M A F(ab) 1qa FBa 0, F, FAy A , qa, M,理論力學,,91,例 求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束力。 解,,M 0:F CbM 0 M b 再以AB部分為研究對象,受力如圖。 Fx 0:FAx F FB 0,2,B,Fy 0:FAy qa 0 MA(F) 0 2 F FB 求得 M FAx b,C,q,F,A,a FB,M B C M,B,FC,q,F,B,A FAy,FB,MA FAx,a,FDa q(2ab)2
51、0,FAx ,理論力學,,92,Fx 0: FAx FD 0,Fy 0: FAy q(2ab) 0 M A(F) 0 1 2 解之得: q(2ab)2 FD 2a,q(2ab)2 2a FAy q(2ab),a,a,A E,F,B,例 組合結(jié)構(gòu)如圖所示,求支座約束力和各桿的內(nèi)力。 q,2 C,F,B,3 q,A E D 1,2 C,3,FAx FD,D 1 b FAy,a,理論力學,,93,1,q(2ab)2 2a,F3 ,2,q(2ab) 2a,F2 ,F1,F3,C,y F2,45x,2,1,q(2ab) 2a,F FD ,再以鉸C為研究對象,受力如圖,建立如圖坐標。 Fx 0
52、: F F 3cos45 0 Fy 0: F2 F 3sin45 0,a,a,A E,F,B,q,D 1 b,2 C,3,FB 1000N,理論力學,,94,MA(F) 0:,1,4FB 2F2 6F 0 解得:,2m 2m,2m,例 圖示結(jié)構(gòu),各桿在A、E、F、G處均為鉸接,B處為光滑 接觸。在C、D兩處分別作用力F1和F2,且F1F2500 N, 2m 2m 2m 解:先以整體為研究對象,受力如圖。,A,D,E,H,G,B,C,F1,F2,F1,F2,A,D,E,H,G,B,C,FAx,FAy,FB,例 9 M,(F) 0:,2F2 2FHy 0,FHy F2 500 N,理論力學,
53、,95,最后以桿BG為研究對象,受力如圖。,MG(F) 0:, ,4FB 2FHy 2FHx 0 解得:,,FHx 1500 N,再以DH為研究對象,受力如圖。 D E F2 解得:,FHx,FEy FHy E FExH,FB,H,G,B,FGy,FGx,FHy,FHx,2m,2m,2m,2m,2m,2m,A,D,E,H,G,B,C,F1,F2,FAyl W l FT sin45 l 0,理論力學,,96,B C,例三根等長同重均質(zhì)桿(重W) 在鉛垂面內(nèi)以鉸鏈和繩EG 構(gòu)成正方形。已知:E、G是AB、BC中點,AB水平,求,解1:取AB分析,受力如圖。不妨設(shè)桿長為l。,(1)
54、(2),MB(F) 0: 2 2 再以整體為研究對象,受力如圖。 Fy 0: FAy FDy 3W 0,FBy,FBx,A,B,FAx,繩EG的張力。 FAy,W,FT,W,W,FAx FDx,FAy A W FDy D,A,B,C,D,E,G,例 M10 F) 0:,FDyl W l 0,F Cx l FTsin45 l 0,理論力學,,97,(3),2,聯(lián)立求解(1)、(2)、(3)得:,F T 4 2W,最后以DC為研究對象,受力如圖。 C(,FCy,FCx,D,C,FDx,FDy,W,解2:先以BC為研究對象,受力如圖。,(4),2,再以DC為研究對象,受力如上圖。
55、,FCx,FCy,FBy FBx,B,W C,MB(F) 0:,FT,Fx 0,(5),FDx F Cx 0,A,B,C,D,例 后 10 整體為研究對象,受力如圖。,FDxl 2W l Wl 0,理論力學,,98,聯(lián)立求解(4)、(5)、(6)即可的同樣結(jié)果。,最 以,(6),2,MA(F) 0:,B,C,W,W,W,FAx,FAy A,FDx,FDy D,A,B,C,D,l,例11,M A Bl F l 0,(F) 0:F,FAy 1 F,FB 2 F,理論力學,,99,例 三無重桿AC、BD、CD如圖鉸接, B處為光滑接觸,ABCD為正方形,在,CD桿距C三分之一處作
56、用一垂直力F,,求鉸鏈 E 處的約束力。,2 3,解:先以整體為研究對象,受力如圖。 Fx 0:FAx 0 Fy 0:FAy FB F 0,解得:,3,3,F,l,D,2l/3,C,A,B,E,F,D,C,A,B,E,FAx,FAy,FB,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例 法1 11 先以DC為研究對象。,MD Cy l F 0,(F) 0:F,FCy 2 F,FEy 1 F,MC(F) 0:FEx l F l FEy l 0,理論力學,,100,E,F,D,2l/3,C,B,下面用不同的方法求鉸鏈 E 的受力。 方 :,2l 3,3 再以BD
57、C為研究對象。,Fy 0:FEy FB F Cy F 0,2 3 2,3 FEx F,類似地,亦可以DC為研究對象,求FDy,再以ACD為研究對象求解。,D,2l/3,C,FDx,FDy,FCx,F FCy,FEx,FEy,FCx,FCy,FB,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例11M,FAxl FEx l FEy l F 2l 0,FAxl FAyl FEx l FEy l 0,聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結(jié)果。 類似地,亦可以BDC和BD為研究對象, 進行求解。 理論力學,D,C FEx,F FEy,2l/3 E FAx,FDy FDx
58、 FAy A,FAy A,FEx,FCx E FEy FAx,C FCy 101,方法2:分別以ACD和AC為研究對象。 ACD上 D(F) 0: 2 2 3 AC上 MC(F) 0: 2 2,例11,FE1 2 2 F,FAxl FE2 2 l FAyl 0,FE 2 2 F FE2,理論力學,,102,A,FAx,FAy,E FE1,FDx,FDy D,FE2,FE1 FCx E FE2,B FB C FCy,方法3:分別以BD和AC為研究對象,受力如圖。 MD(F) 0: FBl FE1 2 l 0 2,3 MC(F) 0: 2 3
59、 用FE1、FE2表示的約束力和用FEx、FEy表 示的約束力本質(zhì)上是同一個力。,FCy 2 kN,理論力學,,103,l/2 A,q0,例 兩根鉛直梁AB、CD與水平梁BC鉸接,B、C、D均為光滑 鉸鏈,A為固定支座,各梁的長度均為l2 m,受力情況如圖 所示。已知水平力F6 kN,M4 kNm,q03 kN/m。求固 定端A及鉸鏈C的約束力。 D 解: (1) 取BC分析 2l/3 M B C B C F,FBx FCx FBy MB(F) 0: M F Cy l 0 M l 求得結(jié)果為正說明與假設(shè)方向相同。,例12,理論力學,,104,(2)
60、 取CD分析,C,D,FCx,FCy,FDx F,FDy,2l 3,, 0,MD(F) 0: FCx l F ,2 3,,FCx ,F 4 kN,求得結(jié)果為正說明與假設(shè)方向相同。,A,B,C,D,2l/3 F,l/2,M,q0,例12,Fx Ax q0l FCx 0, 0: F,FAx Cx q0l 4 32 1kN, F,M A M q0l l FCy Cx l 0,l F,理論力學,,105,M,FCx,FCy,MA FAy,q0 FAx,C,A,(3) 取AB、BC分析 1 2 1 1 2 2,Fy 0: FAy F Cy 0,1 1 2
61、3,FAy F Cy 2kN M A(F) 0:,MA 6kNm 求得結(jié)果為負說明與假設(shè)方 向相反,即為順時針方向。,A B,B,D C,2l/3 F,l/2,M,q0,a,例13, F( x) F, FND,F(x ) F, FND,理論力學,,106,A,B,E,D,解:本題為求二力桿(桿1)的內(nèi)力FA1或FC1。為 此先取桿2、4及銷釘A為研究對象,受力如圖。,F,FA1,FE y,FND,b b b b FA1 NB 2 2 2 2,b b b b FA1 NB 2 2 2 2
62、, 0 (a), 0 (a1),ME(F) 0:,例 編號為1、2、3、4的四根桿件組成平面結(jié)構(gòu), 其中A、C、E為光滑鉸鏈,B、D為光滑接觸,E,為中點,各桿自重不計。在水平桿 2 上作用一鉛,垂向下的力 F,試證明無論力 F 的位置 x 如何改,變,其豎桿 1 總是受到大小等于F 的壓力。,x,1,2,3,4,E,A,C,B,D,F,b,上式中FND和FNB為未知量,必須先求得; 為此再分別取整體和桿2為研究對象。,FEx FNB,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a,例13,FND ,理論力學,,107,A,B,F,FAy,取整體為研究對象,受力如圖。 MC(F) 0: F
63、NDbFx 0,FNB,FAx,1,2,3,4,E,A,C,B,D,b,FNBbFx 0,MA(F) 0:,Fx b 取水平桿2為研究對象,受力如圖。,Fx b,FNB 代入(a)式得,FA1 F,FA1為負值,說明桿1受壓,且與x無關(guān)。,x,F,FND,FCy,FCx,4,2,2,理論力學,108,F2,A,B,C,D,4.5,4.5,3,P75習題2-43構(gòu)架尺寸如圖所示(尺寸單位為m),不計各桿件 自重,載荷F1=120 kN, F2=75 kN。求AC及AD兩桿所受的力。 F1,B,C,F2 FAx A,FAy,FAD,解:1、取三角形ABC分析,其中A、C處應(yīng)帶有銷釘: 4 3
64、5 5,4 3 FCD,F CD 145.83kN CD桿受壓力。,4,2,2,例14 3(習題 4.5 3-32) FBx B,F 14.5FCD CA 9 0:, 9F,理論力學,,109,F2,F1,A,B,C,D,4.5,F1,C,FBy,FCA,2、取BC分析,注意在C處應(yīng)帶有銷釘。,MB(F) 0:,4 4 5 122 42,4 3 FCD,F CA 179.19kN 3、取銷釘D分析,由Fx=0可求得FDA。 3 5,45,理論力學,,110,例重為G = 980N的重物懸掛 在滑輪支架系統(tǒng)上,如圖所示。 設(shè)滑輪的中心B與
65、支架ABC相連 接,AB為直桿,BC為曲桿,B,為銷釘。若不計滑輪與支架的,自重,求銷釘B作用在與它相連,接的每一構(gòu)件上的約束力。,C A,D,E,I,H,0.6 m,0.8 m B F,,G,Fx Bx 2 cos 45 0, 0,sin 45 0,sin 45 847N,理論力學,,111,解、1. 取滑輪B為研究對象,受力分析如圖。,2.列平衡方程,G 2,H,G 2,FBy B F FBx,45,A,C,D,E,B F,I,H,0.6 m,0.8 m,45,G,G,F,G G 2 2,Fy 0 FBy ,,解得,G 2,G G 2 2
66、,FBx ,cos 45 347N,FBy , F F,FBx AB CB 0,FCB 0,理論力學,,112,3. 再取銷釘B為研究對象,受力分析如圖所示。,B,4.列平衡方程,G 2,FBA,,FBC,,FBy,,FBx,,A,C,D,E,B F,I,H,0.6 m,0.8 m,45,G,3 5,Fx 0,G 4 2 5,,FBy ,Fy 0,解得,FAB 1 340N,FCB 1 660N,,,,,,,,,,,理論力學,,113,由物系的多樣化,引出僅由桿件組成的系統(tǒng)桁架,2-6,平面簡單桁架的內(nèi)力計算,,,,理論力學,114,工程中的桁架結(jié)構(gòu),,,,理論力學,115,工程中的桁架結(jié)構(gòu),,,,理論力學,,116,,,,理論力學,,117,桁架是由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接形成的幾何形狀 不變的結(jié)構(gòu)。桁架中所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架稱為 平面桁架。桁架中的鉸鏈接頭稱為節(jié)點。 為簡化桁架計算,工程實際中采用以下幾個假設(shè): (1)桁架的桿件都是直桿; (2)桿件用光滑鉸鏈連接; (3)桁架所受的力都作用到節(jié)點上且在桁架平面內(nèi); (4)桁架桿件的重量略去不計,
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