第三章冪級數(shù)展開

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1、第三章 冪級數(shù)展開 3.1 復數(shù)項的級數(shù) 一． 復數(shù)的無窮級數(shù)可表示為： （1） 其中： 前n項和為： = 當時級數(shù)：級數(shù)： 故 一個復數(shù)項級數(shù)可分解為實部項級數(shù)可虛部項級數(shù)兩個級數(shù)的組合 收斂問題是線性討論級數(shù)的一個重要方面，而復數(shù)項級數(shù)的收斂問題可以歸結為兩個實數(shù)項級數(shù)（實部和虛部）的收斂 1. 柯西收斂判據(jù)： 一個級數(shù)還可寫為： （4） 其中是錢n項和 為余項 判據(jù)：任何一個小正數(shù) 若能找到一個N使得n>N時則稱收斂，其中p為任意整數(shù) 2. 絕

2、對收斂 若是收斂的，則絕對收斂 兩個斂的級數(shù)相乘后所得的級數(shù)耶是絕對收斂的，其和等于相乘級數(shù)和的乘積 二．復變項級數(shù)（復變函數(shù)項級數(shù)） 1．函數(shù)項級數(shù)一般表示為： （5） 函數(shù)項級數(shù)的收斂問題得涉及到z的取值域，若z在B上取值是（5）收斂，則稱 在B上收斂。B稱為的收斂域 函數(shù)項級數(shù)也可表示為： （6） 2. 函數(shù)項級數(shù)的收斂 如在B上，對于個點 任意給，若存在N使得n>N時有則稱級數(shù)在B上一致收斂 3.收斂級數(shù)性質 （1）在B上一致收

3、斂的函數(shù)項級數(shù)的每一項都是B上的連續(xù)函數(shù) （2）在B上一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的每一項都可積分逐項積分 (3) 若有，而是收斂的，則絕對且一致收斂 3.2 冪級數(shù) 最典型也最常見的級數(shù)——即級數(shù)的各項都是冪函數(shù) (1) 其中、、、 都是復常數(shù)，這一的級數(shù)叫做以為中心展開的冪級數(shù) 一.級數(shù)收斂判別法 1. 比值判別法（達朗貝爾判別法）： 若： （3） 則（2）正項級數(shù)收斂，亦即級數(shù)（1）絕對收斂 2. 根值判別法 若： （4） 則級

4、數(shù)（2）收斂，亦即級數(shù)（1）絕對收斂 3. 收斂域和收斂半徑 函數(shù)級數(shù)的收斂問題（從根本上）具體要涉及的是收斂u的問題即，z在什么樣的范圍內取值級數(shù)是收斂的，收斂判別法本身給出了z的取值范圍： 由判別法“1”： (5) 則 （6） 為級數(shù)（1）的收斂半徑 只要滿足 的所有點其級數(shù)（1）都收斂 則以 為中心R為半徑的區(qū)域是（1）的收斂區(qū)域，對應圓稱（1）的收斂圓。

5、 由判別法“2”： 收斂圓： （7） 即有 （8） 這樣我們就有了兩種求收斂圓的方法 以上的收斂判別是從絕對收斂的角度考慮討論，因此得到的收斂域比“全收斂域”要小，記載收斂域外仍有收斂的可能性。 另外，由于（5）、（7）式是絕對不等號，故收斂的邊界上夠絕對收斂域，可作半徑為 的圓，使 （稍小于） 則稱 對應圓的“收斂內圓” 級數(shù)在收斂內圓上是“一致收斂” 例1， 求級數(shù) 的收斂圓及在

6、收斂域內的收斂性 解：利用此值判別法： 在域內： 公比為t 推論：關于交錯級數(shù)： 收斂半徑R=1 公比為-t 域內： 例2 設： 其逐項求導或逐項求積的收斂半徑不變 解： 收斂半徑： 例3 求的收斂半徑 解：第k項小數(shù)： （） 解法1： 解法2：根值法 例4 已知和 的收斂半徑分別是和 求 和 的收斂半徑 解：（1）

7、 為兩個級數(shù)之和，由于兩個收斂級數(shù)的和也收斂，收斂域顯然要取其中較小的一個： （1） 令 3.3 泰勒級數(shù)的展開 冪級數(shù)的和在其收斂圓的內部為解出函數(shù) 例： 反之：一個解析函數(shù)在其域內可寫為冪（泰勒）級數(shù) 定理：設在以為圓心的圓域內解析則對圓內任一點z , 可寫為冪（泰勒）級數(shù)： （1） 其中 （2） 其中 是的內圓 證明從略 結合（1）、（2）兩式，函數(shù)的泰勒展開式（泰勒級數(shù)）

8、可寫為： （3） 可以證明（略）由泰勒展開得到級數(shù)具有唯一性 例1.將 在 附近展開為冪級數(shù) 解： 由（3）得： 例2. 將和在的附近展開 解： 可見每4階導數(shù)完成一個循環(huán)： 當時： 級數(shù)只存在奇數(shù)項（偶數(shù)項為零） 且：

9、 （2）. 當 時： 所以級數(shù)只存在偶數(shù)項而奇數(shù)項為零： 回顧：定義的,顯然：將的奇數(shù)項都消去， 而只留下了偶數(shù)項 （消去偶數(shù)項，留奇數(shù)項） 例4. 求以上、、在展開的級數(shù)的收斂域 解：

10、 （2） 此值判別： 即： （2） 同理： 復習：利用函數(shù)的級數(shù)展開的唯一性質，很多級數(shù)不用直接一年泰勒展開式做 例5. 的展開 解：令 例6. 求 解：令 例7. 求 ， 例8 求和在處的展開 解：是的原函數(shù)

11、 （級數(shù)經(jīng)求導和求和后，收斂圓不變） 3.4 解析延拓 將一個在一定區(qū)域b上解析的函數(shù) 延拓到；一個更大的區(qū)域B上，此時在B上可以找到 另一個函數(shù)，使得在b域上有 這就稱為解析的延拓 例： 在整個復平面解析 但 Z在處不解析 若定義： （利用 ，并非隨便找個函數(shù)來拼湊） 顯然在全復平面解析，可視為的延拓（延拓至） 3.5裸朗級數(shù)展開 泰勒展開是將函數(shù)在解析域的展開，若在不解析域中（有奇點）時，就不能再將函數(shù)展為泰勒級數(shù)了 在有奇點時，需要考慮在挖去奇點的環(huán)域上展開。（通常以奇點的心），此即為級數(shù)洛朗的展開。 ?

12、一 雙邊冪級數(shù) 以前（1） 稱雙邊（向右）級數(shù) 若有： （2） 稱單邊（向左）級數(shù) 而： （3） 稱為雙邊級數(shù) 雙邊數(shù)的收斂域一般作一下判斷： 右單邊： 左單邊：可設 則左單邊級數(shù)： 設（4）的收斂半徑為 亦即（3左邊的收斂域） 合起來有： （5）稱為（3）的收斂域（一般奇點被圍在半徑環(huán)內） 二 洛朗展開 定理：設在環(huán)形區(qū)域的內部單值解析，則對環(huán)域上任一點z , 可為冪級數(shù) 即： (6) 其中： (7) 積分路徑c 為環(huán)內的逆時針方向圓（閉合） 定理的解讀： 域

13、： 環(huán)意味著環(huán)域上是而可能是奇點 （6）式的展開稱為洛朗展開，洛朗展開的意義是在挖去奇點的環(huán)心附近的展開（與泰勒展開不同） 正因為可能是奇點, 在的導數(shù)一定不存在，所以 不滿足柯西公式 當是解析點時且無別的奇點 此時羅朗級數(shù)泰勒級數(shù) 對應收斂域 一般 小結以上思路 也可證明，羅朗級數(shù)的展開也是唯一的 根據(jù)這一點在實際應用中，很少直接由（6）、（7）展開級數(shù)。常常利用已知級數(shù)作展開 例1. 在的鄰域上把展開 解： 例2 在的環(huán)域上將展開為洛朗級數(shù) 解： 分析：展開中心：O點 函數(shù)

14、的奇點： 且奇點在上 （在附近的導數(shù)存在點解析，然而若延C積分，時積分不存在，故不能展開為泰勒級數(shù)） 可對Z做變形 顯然 利用展開式 比較以上兩例 例2中 在（展開中心）處是解析的（奇點在處） 例1中， 在（展開中心）是奇點 例3 在對于 若展開中心為（某一奇點處），求其冪級數(shù) 解：由于要展為關于（z-1）的冪級數(shù) 于是理法解析 令 解得： 其中，第一項已經(jīng)是關于的冪函數(shù)，處理第二項： （2） 因為是的寄點，若以為中心展開，則在環(huán)域上是解析的 又

15、對于（2）式在時可將其展開為級數(shù)： （2）中令 所以（2）式可展開為： （1）式為： 這是一個典型的雙邊級數(shù) 例4. 在附近的展開 略 （利用） 習題：（1）、（2）、（3） 提示： 奇點： 圖示本身就是， 問題： 講義：34頁附 例：對于 （1） 其中： （2） 對于 有 利用已形成： （3） 代回（2）式

16、： （4） 代回（1）得： （5） 于是有 利用 故可求出 的開 3.6孤立奇點的分類 — 孤立奇點： 設是的一個奇點， 若在的任意小鄰域內處處可導（除點） 則稱是孤立奇點 若總可找到一個的鄰域（無論多?。┦共豢蓪В瑒t是的孤立奇點，以下我大多討論孤立奇點 二 孤立奇點的分類 洛朗級數(shù)一般是雙邊級數(shù)，右單邊的正冪部分稱解析部分，而左單邊的

17、負冪部分稱主要部分（或無限部分） 通過以上例題，我們想到挖去奇點而形成的環(huán)形區(qū)域的解析函數(shù)的洛朗形式可分三種情況： （1） 沒有負冪項，只有解析部分 （2） 只有有限的冪項和解析 （3） 完整的雙邊級數(shù)（主要是解析或只有主要部分） 我們把對應上述三種情況的奇點分別叫做（1）可去奇點 （2）極點 （3）本性奇點。 1 對于可去奇點的洛朗級數(shù)： （是一定值，有限） 此時，我們可以定義： 對于來說，在全集平面上（復空間）解析，不再是奇點 ，故稱是可去奇點（級數(shù) 即是的洛朗級數(shù)，又是的泰勒級數(shù)）好像對是不是奇點都我所謂。 故以后可將可去奇點作非奇點處理。 2 對于（2）情況——極點情況 設m是主要部分的最大項，則m 稱作極點的階。 m=1的極點叫一階極點，又稱單極點 一般地， 發(fā)散 且： 收斂 3 本性極點情況 的極限隨的方式會有不同，參P62頁 無極限