立體幾何高考真題大題.docx

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1、立體幾何高考真題大題 1．（2016高考新課標1卷）如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是． （Ⅰ）證明：平面ABEF平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先證明平面,結(jié)合平面,可得平面平面．（Ⅱ）建立空間坐標系,分別求出平面的法向量及平面的法向量 ,再利用求二面角． 試題解析：（Ⅰ）由已知可得,,所以平面． 又平面,故平面平面． （Ⅱ）過作,垂足為,由（Ⅰ）知平面． 以為坐標原點,的方

2、向為軸正方向,為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標系． 由（Ⅰ）知為二面角的平面角,故,則,,可得,,,． 由已知,,所以平面． 又平面平面,故,． 由,可得平面,所以為二面角的平面角, ．從而可得． 所以,,,． 設(shè)是平面的法向量,則 ,即, 所以可?。? 設(shè)是平面的法向量,則, 同理可取．則． 故二面角的余弦值為． 考點：垂直問題的證明及空間向量的應(yīng)用 【名師點睛】立體幾何解答題第一問通?？疾榫€面位置關(guān)系的證明,空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理

3、片面,該類題目難度不大,以中檔題為主．第二問一般考查角度問題,多用空間向量解決． 2．（2016高考新課標2理數(shù)）如圖，菱形的對角線與交于點，，點分別在上，，交于點．將沿折到位置，． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）證，再證，最后證；（Ⅱ）用向量法求解． 試題解析：（Ⅰ）由已知得，，又由得，故． 因此，從而．由,得． 由得．所以，． 于是，， 故． 又，而， 所以． （Ⅱ）如圖，以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系， 則，，，，，，，．設(shè)是平面的法向量，則，即， 所

4、以可以?。O(shè)是平面的法向量，則， 即， 所以可以取．于是， ． 因此二面角的正弦值是． 考點：線面垂直的判定、二面角． 【名師點睛】證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性質(zhì)．線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直． 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 3．（2016高考山東理數(shù)）在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線． （Ⅰ）已知G,H

5、分別為EC，F(xiàn)B的中點，求證：GH∥平面ABC； （Ⅱ）已知EF=FB=AC=，AB=BC．求二面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)線線、面面平行可得與直線GH與平面ABC平行；（Ⅱ）立體幾何中的角與距離的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，其中解法一建立空間直角坐標系求解；解法二則是找到為二面角的平面角直接求解． 試題解析： （Ⅰ）證明：設(shè)的中點為,連接, 在,因為是的中點，所以 又所以 在中，因為是的中點，所以， 又,所以平面平面， 因為平面，所以平面． （Ⅱ）解法一： 連接,則平面， 又且是圓的直徑，所以

6、 以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系， 由題意得，，過點作于點， 所以 可得 故． 設(shè)是平面的一個法向量． 由 可得 可得平面的一個法向量 因為平面的一個法向量 所以． 所以二面角的余弦值為． 解法二： 連接，過點作于點， 則有, 又平面， 所以FM⊥平面ABC, 可得 過點作于點，連接， 可得, 從而為二面角的平面角． 又,是圓的直徑， 所以 從而，可得 所以二面角的余弦值為． 考點：1．平行關(guān)系；2．異面直線所成角的計算． 【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題．解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與

7、平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，給出規(guī)范的證明．立體幾何中的角與距離的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法．本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運算能力等． 4．（2016高考天津理數(shù)）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2． （Ⅰ）求證：EG∥平面ADF； （Ⅱ）求二面角O-EF-C的正弦值； （Ⅲ）設(shè)H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 試題

8、分析：（Ⅰ）利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，利用法向量與直線方向向量垂直進行論證（Ⅱ）利用空間向量求二面角，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角相等或互補關(guān)系求正弦值（Ⅲ）利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角互余關(guān)系求正弦值 試題解析：依題意，，如圖，以為點，分別以的方向為軸，軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得，． （Ⅰ）證明：依題意，．設(shè)為平面的法向量，則，即 ．不妨設(shè)，可得，又，可得，又因為直線，所以． （Ⅱ）解：易證，為平面的一個法向量．依題意

9、，．設(shè)為平面的法向量，則，即 ．不妨設(shè)，可得． 因此有，于是，所以，二面角的正弦值為． （Ⅲ）解：由，得．因為，所以，進而有，從而，因此．所以，直線和平面所成角的正弦值為． 考點：利用空間向量解決立體幾何問題 5．（2016年高考北京理數(shù)）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，． （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在， 【解析】 試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定理知AB⊥平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知，再由線面垂直判定定理可知平面；（2）取

10、的中點，連結(jié)，，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點共線，設(shè)，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值． 試題解析：（1）因為平面平面，， 所以平面，所以， 又因為，所以平面； （2）取的中點，連結(jié)，， 因為，所以． 又因為平面，平面平面， 所以平面． 因為平面，所以． 因為，所以． 如圖建立空間直角坐標系，由題意得， ． 設(shè)平面的法向量為，則 即 令，則． 所以． 又，所以． 所以直線與平面所成角的正弦值為． （3）設(shè)是棱上一點，則存在使得． 因此點． 因為平面，所以平面當(dāng)且僅當(dāng)，

11、 即，解得． 所以在棱上存在點使得平面，此時． 考點：1．空間垂直判定與性質(zhì)；2．異面直線所成角的計算；3．空間向量的運用． 【名師點睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用：當(dāng)兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而可以證明線線垂直（必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關(guān)系），構(gòu)造（尋找）二面角的平面角或得到點到面的距離等． 6．（2016高考新課標3理數(shù)）如圖，四棱錐中，地面，，，，為線段上一點，，為的中點． （Ⅰ）證明平面； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）取的中點，

12、然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）以為坐標原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，然后通過求直線的方向向量與平面法向量的夾角來處理與平面所成角． 試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，． 又，故，四邊形為平行四邊形，于是． 因為平面，平面，所以平面． （Ⅱ）取的中點，連結(jié)，由得，從而，且． 以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系， 由題意知，，，，， ，，． 設(shè)為平面的法向量，則，即，可取， 于是． 考點：1、空間直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、棱錐的體積． 【技巧點

13、撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^建立空間直角坐標系，利用空間向量中的夾角與距離來處理． 7．（2016高考浙江理數(shù)）如圖,在三棱臺中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3． （Ⅰ）求證：EF⊥平面ACFD； （Ⅱ）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先證，再證，進而可證平面；（Ⅱ）方法一：先找二面角的平面角，再在中計算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空

14、間直角坐標系，再計算平面和平面的法向量，進而可得二面角的平面角的余弦值． 試題解析：（Ⅰ）延長，，相交于一點，如圖所示． 因為平面平面，且，所以， 平面，因此， ． 又因為，，，所以 為等邊三角形，且為的中點，則 ． 所以平面． （Ⅱ）方法一： 過點作，連結(jié)． 因為平面，所以，則平面，所以． 所以，是二面角的平面角． 在中，，，得． 在中，，，得． 所以，二面角的平面角的余弦值為． 方法二： 如圖，延長，，相交于一點，則為等邊三角形． 取的中點，則，又平面平面，所以，平面． 以點為原點，分別以射線，的方向為，的正方向， 建立空間直角坐標系． 由題意

15、得 ，，， ，，． 因此， ，，． 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為． 由，得，??； 由，得，?。? 于是，． 所以，二面角的平面角的余弦值為． 考點：1、線面垂直；2、二面角． 【方法點睛】解題時一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯誤．證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線． 8．（2016年高考四川理數(shù)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E為邊AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90． （Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一

16、點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由； （Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）探索線面平行，根據(jù)是線面平行的判定定理，先證明線線平行，再得線面平行，而這可以利用已知的平行，易得CD∥EB；從而知為DC和AB的交點；（Ⅱ）求線面角，可以先找到這個角，即作出直線在平面內(nèi)的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知圖形中的垂直建立空間直角坐標系，用向量法求出線面角（通過平面的法向量與直線的方向向量的夾角來求得）． 試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行． 延長AB，DC，相

17、交于點M（M∈平面PAB），點M即為所求的一個點．理由如下： 由已知，BC∥ED，且BC=ED． 所以四邊形BCDE是平行四邊形．，所以CD∥EB 從而CM∥EB． 又EB平面PBE，CM平面PBE， 所以CM∥平面PBE． （說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點） （Ⅱ）方法一： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A， 所以CD⊥平面PAD． 從而CD⊥PD． 所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角． 所以∠PDA=45． 設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2． 過點A作AH⊥CE，交CE的延長線于點H，連接

18、PH． 易知PA⊥平面ABCD， 從而PA⊥CE． 于是CE⊥平面PAH． 所以平面PCE⊥平面PAH． 過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE． 所以∠APH是PA與平面PCE所成的角． 在Rt△AEH中，∠AEH=45，AE=1， 所以AH=． 在Rt△PAH中，PH== ， 所以sin∠APH= =． 方法二： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A， 所以CD⊥平面PAD． 于是CD⊥PD． 從而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角． 所以∠PDA=45． 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD． 設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD

19、=2． 作Ay⊥AD，以A為原點，以 ,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C（2,1,0），E（1,0,0）， 所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2） 設(shè)平面PCE的法向量為n=（x,y,z）， 由 得 設(shè)x=2，解得n=（2,-2,1）． 設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα= = ． 所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為 ． 考點：線線平行、線面平行、向量法． 【名師點睛】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計算能力．證

20、明線面平行時，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過面外的直線的一個平面與此平面相交而得，證明時注意定理的另外兩個條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫全，否則會被扣分，求線面角（以及其他角），一種方法可根據(jù)定義作出這個角（注意還要證明），然后通過解三角形求出這個角．另一種方法建立空間直角坐標系，用向量法求角，這種方法主要是計算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可． 9．（2016高考上海理數(shù)）將邊長為1的正方形（及其內(nèi)部）繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè)。 （1）求三棱錐的體積； （2）求異面直線與所成的角的大小。 【答案】（

21、1）．（2）． 【解析】 試題分析：（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑． 確定．計算后即得． （2）設(shè)過點的母線與下底面交于點，根據(jù)，知或其補角為直線與所成的角．確定，．得出． 試題解析：（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑． 由的長為，可知． ， ． （2）設(shè)過點的母線與下底面交于點，則， 所以或其補角為直線與所成的角． 由長為，可知， 又，所以， 從而為等邊三角形，得． 因為平面，所以． 在中，因為，，，所以， 從而直線與所成的角的大小為． 考點：1．幾何體的體積；2．空間的角． 【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題．解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題．立體幾何中的角與距離的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法．本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運算能力等． 試卷第17頁，總18頁